“В задачах, которые ставит перед нами
жизнь,
экзаменатором является природа”.
(Сойер.У.)
Цель урока: познакомить учащихся с задачами практического применения линейных неравенств, линейными неравенствами с двумя переменными.
Задачи урока:
- повторить свойства числовых неравенств, способствовать развитию прочных навыков их решения, связать все имеющиеся у учащихся знания в систему, помочь им выйти на новый, более серьезный уровень понимания;
- показать связь неравенств с понятиями: функция, график;
- воспитание умений взаимодействия, исходя из особенностей задач, чувства прекрасного, любви к природе.
Содержание урока
1. Актуализация знаний.
Учитель:
Вы были в Лапландии летом?
Где в голубые озера
Льется пьянящего света
Солнечный дождь золотой
И, неуловимые взору,
Вычерчивают узоры
Птицы в ладонях ветра
Над трепетною водой? (Приложение 1. Слайды 2-13)
Ребята, как прекрасна наша северная природа! Путешествуя, мы открываем для себя много интересного и познавательного. Я очень люблю ходить в походы. Там сделаны фотографии, которые вы видите на слайдах. А вы любите ходить в поход?
2. Постановка цели.
Большой туристический опыт подсказал, чтобы поход был успешным необходима основательная подготовка. Сегодня на уроке, я предлагаю вам провести небольшую тренировку подготовки к походу. Итак, мы собираемся в поход!
3. Решение задач.
Блок 1. “Рюкзачок”: повторение свойств линейных неравенств.
Учитель: Что мы делаем первым делом, когда собираемся в поход? – Собираем рюкзак. Поэтому первое задание – “Рюкзачок”. (Приложение 1. Слайд 14)
Задание “Рюкзачок”: Определите, что необходимо взять с собой в поход?
Чтобы ответить на этот вопрос вам необходимо решить линейные неравенства и определить, решение каких попадет в промежуток на рисунке. Решения, которые попали в заданный промежуток, подскажут нам, какие из предложенных предметов или вещей необходимо взять в поход.
Решая неравенства, ученики проговаривают свойства числовых неравенств, на которые опирались.
Ответ: б), в), д).
Учитель: Итак, в поход мы берем - палатку, аптечку, вещи, а также предметы, необходимые для приготовления еды.
Блок 2. “Закупка продуктов”: решение практической задачи экономического характера, взаимосвязь неравенств, функций и их графиков.
Учитель: А что мы еще возьмем с собой? – Продукты.
Если мы путешествуем группой, то купить их – Дело не простое.
Как вы думаете почему? – Стараемся купить дешевле и с наименьшими затратами.
Чтобы справиться с этой задачей, предлагаю выполнить следующее задание. (Приложение 1. Слайд 15)
Задача 1. Для похода можно купить из расчета на одного человека в ближайшем магазине на 55 рублей, в супермаркете на 38 рублей, затратив 80 рублей на транспорт, и на оптовой базе на 30 рублей, затратив на транспорт 200 рублей. Где выгоднее купить продукты для группы, учитывая их численность?
Решение:
Проанализируем условие задачи:
Что известно? – Стоимость продуктов из расчета на одного человека и затраты на транспорт.
Вопрос задачи - Где выгоднее купить продукты для группы, учитывая их численность?
Что означает “выгоднее” купить? – Заплатить меньше.
Можно сразу ответить на вопрос? – Нет (можно только сделать предположение).
О каких величинах идет речь? – О стоимости продуктов, о затратах на поездку и количестве человек в группе.
Какая величина зависит от другой? – Стоимость от количества.
В математике слово “зависимость” можно заменить словом - “Функция”.
И тогда можно сказать, что – Стоимость есть функция от количества, т.е. стоимость зависит от количества.
Обозначим количество людей – n, n є N, а стоимость продуктов – f(n). Когда мы покупаем в магазине, то платим 55n рублей, значит, f(n) = 55n, если покупаем в супермаркете, то 38n + 80 рублей, значит, f(n) = 38n + 80 (мы учли затраты на транспорт). Покупая на оптовой базе, мы затратим 30n + 200. Тогда f(n) = 30n + 200.
На доске:
f(n) = 55n
f(n) = 38n + 80
f(n) = 30n + 200
Для удобства поставим индексы:
f(n) М = 55n
f(n) С = 38n + 80
f(n) Б = 30n + 200.
Где можно увидеть зависимость одной переменной от другой? – На графике.
Если мы построим графики функций в одной системе координат, то получим следующий рисунок. (Приложение 1. Слайд 16)
На горизонтальной оси мы отложили независимую величину - количество гостей, на вертикальной оси – зависимую – стоимость продуктов.
По смыслу задачи обе величины положительные. Надо отметить, что графиком функции будет множество точек, лежащих на луче, т.к. количество гостей есть число натуральное (1,2,3…). Для удобства решения будем рассматривать лучи.
Можно ли теперь, посмотрев на графики, ответить, где выгоднее купить продукты и для какого количества гостей? – Да. Из трех графиком выбираем тот, который ниже. В этом случае стоимость покупки будет меньше.
Ученик проговаривает ответ, “показывая” его на слайде.
Ответ:
на четверых и менее человек, выгодно покупать в магазине,
от 5 до 15 лучше в супермаркете,
для 16 и более человек на оптовой базе,
для 15 человек можно купить, как в супермаркете, так и на оптовой базе, затраты будут одинаковы.
Учитель: Ребята, чем интересен данный способ решения? – Не выполняя решения неравенств, построив графики функций, можно сразу “увидеть” ответ задачи.
Что помогло нам рационально купить продукты? - Знание функции, умение решать неравенства графически.
Блок 3. “Выбор транспорта”: неравенства с двумя переменными.
Учитель: Вещи мы собрали, продукты закупили, остается определиться с транспортом. На чем поедем? Предлагаю автомобиль.
Вопрос: можем ли мы вместе с грузом уехать на одной машине? Что для этого надо знать? – Грузоподъемность машины.
Грузоподъемность машин разная. Нам нужно определиться и выбрать машину.
Задача 2. Если первый автомобиль сделает 4 рейса и второй 4 рейса, то они перевезут меньше 21 т груза. Если первый автомобиль сделает 7 рейсов, а второй 1 рейс, то они перевезут больше 21 т груза. Какой автомобиль имеет большую грузоподъемность? (Приложение 1. Слайд 17)
Решение:
Обозначим грузоподъемность первого автомобиля х, а второго у. Исходя из условия задачи, составим неравенства: 4х + 4у < 21 и 7х + у > 21. Опираясь на свойство числового неравенства: если а < в и в < с, то а < с, мы можем составить неравенство: 4х + 4у < 7х + у. Отсюда мы имеем:
3у < 3х, следовательно, у < х.
Ответ: грузоподъемность первого автомобиля больше.
Учитель: Зная грузоподъемность машины, мы не будем волноваться, что кого-то или что-то “оставим”, и можем смело отправляться в путешествие.
5. Подведение итога урока.
Учитель: Ребята, тренировка подготовки к походу закончена.
Напомним: собираясь в поход, мы возьмем с собой? - Палатку, аптечку, вещи, предметы, необходимые для приготовления еды. Закупим продукты и определимся с транспортом.
Что нам помогло в подготовке? – Знание свойств числовых неравенств, умение решать линейные неравенства, знание функции, умение решать неравенства графически.
Какие задачи мы сегодня решали? – Задачи практического содержания, задачи из жизни.
Вы хорошо справились с этим на уроке. Но как говорил У. Сойер. “В задачах, которые ставит перед нами жизнь, экзаменатором является природа”. (Приложение 1. Слайд 18)
Успехов вам в применении знаний и умений на практике, в жизни, интересных и увлекательных походов!