Тема урока: "Показательные уравнения"

• познакомить учащихся с определением показательного уравнения;
• рассмотреть способы решения показательных уравнений;
• создать условия для выработки умений и навыков решения показательных уравнений;
• развивать логическое мышление, вычислительные навыки;
• воспитывать интерес к предмету, активизировать внимание учащихся на том, что изучаемая тема является неотъемлемой частью при подготовке к ЕГЭ.

Оборудование: презентация к уроку, проектор.

Учитель: Урок мы начнем с повторения геометрического смысла производной. Прошу вас ответить на вопрос в чем заключается геометрический смысл производной? (Это задание В8 в КИМах ЕГЭ) (Приложение 1, слайды 1–2)

а)

– Дайте определение показательной функции.
– Перечислите свойства показательной функции. (Слайд 3)

1) Какие из перечисленных функций являются показательными

a) y = 2^x;
б) y = x²;
в) y = π^x;
г) y = (0,2)^х;
д) y = (-5)^x;
е) y = 0,5х³;

y =25 ^{– 0,5х}?

2) Какие из показательных функций возрастающие, какие убывающие на R?

3) Разложите на множители

6^х-3; 3^х+1; 7^х+2; 5^х+3

4) Представьте в виде квадрата

4^х; 25^х; 9^х; 16^х.

3^х = 4 – х.

Дайте определение уравнению, которое вы решили. (Слайд 4)

Показательное уравнение a^x = b, где a>0, a ≠1; при b<0 и при b=0 решения не имеет, при b>0 имеет один корень.

a^x = a^c
x=с

Рассмотрим способы решения показательных уравнений

1. Способ приведения к одинаковому основанию (Слайд 5)

а) 7^х-2 = ³√49,
7^х-2 = 7^2/3,
х-2 = 2/3,
х = 2²/₃

Ответ: 2²/₃

б) 5 ^х2-2х-1=25,
5^{х2 -2х – 1} = 5²,
х² – 2х – 1 = 2,
х² – 2х – 3 = 0,
х₁= – 1; х₂ = 3.

Ответ: -1; 3.

2. Способ вынесения общего множителя за скобки.

а) 7^х+2 + 4 ^. 7^х+1 =539,
б) 7^х + 7^х+2 =350, заметим, что

7^х+2 =7^{х .}7². а 7^х+1 = 7^{х .}7, поэтому данные уравнения можно записать в виде

7х .72 + 4. 7х .7 = 539, 7х (49 + 28) = 539, 7х .77 = 539, 7х = 539 : 77, 7х = 7, Х = 1. Ответ: х = 1

7х + 7х . 72 = 350, 7х(7 + 49) = 350, 7х . 50 = 350, 7х = 350 : 50, 7х = 7, Х = 1. Ответ: х = 1

3. Способ замены переменной

4^х – 5 ^. 2^х +4 = 0. Сделаем замену t = 2^x. Заметим, что 4^х =( 2^х)² = t². Поэтому данное уравнение принимает вид t² – 5t + 4 = 0. Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета. Корни квадратного уравнения: t₁ = 1 и t₂ = 4. Решаем уравнения 2^х =1 и 2^х = 4.

2х = 1 2х = 20 Х = 0

2х = 4 2х = 22 х = 2.

Ответ: 0; 2.

Выполнение упражнений № 461(а,б), № 463 (а,в), № 464 (а,б)

– Дайте определение показательного уравнения.
– Сколько корней имеет показательное уравнение?
– Назовите способ, которым бы вы решили данные уравнения (Слайд 6)

4^х = 256; 2^{х .}3^х = 36; 2^х+1 + 2^х = 6; 9^х+1 + 3^х+2 = 18