«Прихоть случая управляет миром»
Саллюстий Гай Крисп
Представленные методические рекомендации по применению презентации к уроку «Решение простейших комбинаторных задач» по алгебре в 9 классе (УМК А.Г. Мордкович и др. «Алгебра 9»). Они могут использоваться в качестве пособия для учителей, ведущих курс математики в средней общеобразовательной школе (базовый уровень). Содержание урока опирается на государственный образовательный стандарт.
Цели: знакомство с комбинаторными задачами: на перестановки, размещения, сочетания (без повторения – без возвращения); применение правил суммы и произведения при решении простейших комбинаторных задач; Формирование и развитие общеучебных умений и навыков: обобщения, сравнения, анализа, синтеза, поиска способов решения.
Тип урока: изучение нового материала и его первичное закрепление.
Место урока в курсе алгебры 9 класса: данный урок четвёртый-пятый из одиннадцати, отводимых на главу «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Проводится после изучения темы «Элементы статистики» (2 урока) и «Классического определения вероятности» (1 урок). Первый (вводный) по комбинаторным задачам (2 часа). Предполагается на основную отработку навыка решения комбинаторных задач провести ещё один урок.
Оборудование:
- компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска;
- таблицы по биологии: моногибридное и дигибридное скрещивание гороха;
- карточки с домашним заданием.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Учащиеся разбиваются на группы.
II. Активизация
Вступительное слово учителя (постановка проблемы урока):
Дома учащиеся выполняли практическую работу по
обработке статистических данных, используя
любимые стихи А.С.Пушкина. А знаете, что Александр
Сергеевич, как и многие великие деятели
искусства обращались к математике? Что стоит его
изречение: «Вдохновение нужно в геометрии, как и
в поэзии».
Много замечательных произведений написаны
Пушкиным, но мне у него очень нравится «Пиковая
дама»
Учитель читает отрывок: (Приложение 1)
«Герман вздрогнул: в самом деле, вместо туза у
него стояла пиковая дама. Он не верил своим
глазам. Не понимая, как мог он обдёрнуться. В
эту минуту ему показалось, что пиковая дама
прищурилась и усмехнулась…
Герман сошёл с ума. Он сидит в Обуховской
больнице в 17-м нумере, не отвечает ни на какие
вопросы и бормочет необыкновенно скоро: «Тройка,
семёрка, туз! Тройка, семёрка, дама!..» [9]
Тройка, семёрка, туз! А какова вероятность
выпадения выигрышной комбинации? Но чтобы
ответить на вопрос «какова вероятность вытащить
«Тройку, семёрку, туз» надо знать, а что
такое вероятность события. Об этом мы уже вели
разговор на прошлом уроке. 
, где m – число
благоприятных исходов, n – общее число
исходов.
А как подсчитать эти исходы?
Эти варианты складываются в разнообразные
комбинации. Которые, в свою очередь, входят в
раздел математики КОМБИНАТОРИКА.
Этот раздел занят поисками ответов на вопросы:
сколько комбинаций существует в том или ином
случае, как из этих комбинаций выбрать лучшую.
Вот и мы сегодня начнём искать ответы на эти
вопросы.
Тема: «Решение простейших комбинаторных задач (без повторений)»
Ещё Конфуций сказал: «Три пути ведут к знанию.
Путь размышлений – самый благородный, путь
подражания – самый лёгкий, путь опыта – самый
горький».
Эти слова, я хочу взять эпиграфом к нашему уроку.
III. Новая тема
«Люди, владеющие техникой решения
комбинаторных задач, а, значит, умеющие
рассуждать, перебирать различные варианты
решений, часто находят выход, казалось бы, из
самой безвыходной ситуации.
Вот один пример умелого решения
комбинаторной задачи:
ЗАДАЧА О БЕСПЛАТНОМ ОБЕДЕ (Приложение 2)
Найти такой красивый выход из этой и многих других ситуаций, нам помогает умение решать простейшие комбинаторные задачи».
Элементарными комбинаторными задачами являются задачи на перестановки, размещения и сочетания двух видов без повторения (без возвращения), и в повторением (возвращением).
Для их подсчёта используют правило суммы и правило произведения.
1. Правило суммы.
Задача 1. На 8 марта мальчики вашего класса решили подарить девочкам по красивой розе. Сколько различных букетов из одной розы можно составить, если в магазине есть 20 белых и 15 кремовых роз?
Разбор задачи идёт с использованием
интерактивной доски.
В результате выводится правило суммы: если
в первой группе – m элементов с данным
свойством, а во второй – n элементов с данным
свойством, то общее количество объектов с данным
свойством m + n.
Задача 2. Сколько двузначных чисел делится на 2 или на 3?
Работа в группах и подгруппах:одни считают количество чисел, которыеделятся на 2, а другие на 3.
Правильный ли ответ 75? Почему? В чём противоречие с правилом суммы?
Ответ: 60.
Задача 3. И чтобы попасть сегодня
сюда, учителя математики нашего района сначала
доехали до площади Ленина, а потом они должны
вернуться домой, и опять от площади Ленина. К
площади ведут 5 дорог, и от площади 5 дорог. (Для
краткости обозначим их начальными буквами
названий) (Приложение 3)
Сколькими способами они могут составить свой
маршрут?
Можно ли решить эту задачу по правилу сложения?
Почему? Один из вариантов оформления решения –
это дерево возможных вариантов. (Ученик на
интерактивной доске) (Приложение
3.2)
Но кроме этого способа оформления решения
этой задачи, можно применить очень вам знакомый
табличный: (комментированное решение)(Приложение 3.3)
ЭТА ТАБЛИЦА ОЧЕНЬ НАПОМИНАЕТ ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ.
Вот и правило, которое мы будем применять при
решении комбинаторных задач ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
(возвращаемся к слайду с помощью кнопки 
)(Формулируется
правило умножения. [10] и записывается в
тетрадь).
Совсем недавно на уроке биологии вы работали
с такого типа задачей. Что это такое было? (Таблица
по скрещиванию гороха – дигибридное
скрещивание)
Но сначала вспомним более простой пример. (Таблица
по моногибридному скрещиванию гороха ) Почему
одно носит название моногибридное, а другое –
дигибридное скрещивание? (Ответы учащихся)
Задача 4. У нас есть 2 организма,
женский и мужской. Генотип – гетерозиготный.
Каждый организм даёт два типа гамет. Какие
возможные сочетания генотипов могут получиться?
Ответ на этот вопрос можно оформить двумя
способами. (К доске вызваны два ученика,
остальные в тетради оформляют решение любым из
способов) (Приложение 4.1).
А можно ли решить эту задачу по правилу
произведения? (Приложение 4.2).
Вернёмся к дигибридному скрещиванию. (Таблица
по дигибридному скрещиванию гороха) и ответим
на тот же вопрос.Какие возможные сочетания
генотипов могут получиться? (Приложение
4.3)
Разбирая эту задачу, мне вспомнился один эпизод
замечательной передачи «ЖДИ МЕНЯ».
Мальчик-мулат рассказывал историю своих
родителей: они познакомились в нашей стране: она
– голубоглазая светлокожая девушка, он –
темнокожий молодой человек с карими глазами.
Полюбили друг друга и поженились. От этого брака
у них родился темнокожий сын с голубыми глазами.
Так сложились обстоятельства, что жизнь
разъединила родителей, и мальчик искал отца.
Эта история имела счастливый конец.
А у меня возник не совсем уместный вопрос: если
светлокожая девушка с голубыми глазами (светлокожая
кукла с голубыми глазами) выходит замуж за
темнокожего юношу с карими глазами (темнокожая
кукла с карими глазами). А какие дети могут
родиться? Какова вероятность рождения у данных
родителей темнокожего ребёнка с голубыми
глазами? (25%) (Приложение 4.4)
(Ученик у доски, остальные – в тетради)
Мы увидели, что содержание многих задач различно,
а принцип решения один.
Задача.Сколькими способами можно на шахматной доске расставить белую и чёрную ладьи, так, чтобы они не били друг друга. (Решение в группах)
Ответ: 3136.
Подведение итогов первого урока (Приложение 5)
Урок №2
Комбинаторные задачи бывают разных видов (Возвращаемся
к слайду с помощью кнопки )
2. Комбинации без повторений (без возвращений).
Различные игры со словами – одно из самых известных и любимых развлечений многих. Для большинства из этих игр необходимы только карандаш и бумага, а нередко и того не требуется. Зато в этих задачах нужны аблюдательность, эрудиция и умение решать комбинаторные задачи.
АНАГРАММА – ? (в группах на листочках) в течение 1 минуты составьте как можно больше слов, состоящих из всех букв слова УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ (словом считается любая комбинация, даже если она не имеет смысла). Максимальное число таких слов? Применяем правило произведения. 13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)
Особенности составления этих слов: 1) все элементы (буквы); 2) важен порядок.
Такие комбинации называются перестановками.
Определение перестановок из n элементов. [10] Обозначаются Рn.
Задача. У нас есть пятитомник Пушкина.
Сколькими способами вы можете расставить их на
полке?
Ответ на наш вопрос будет следующим
5*4*3*2*1=120.Математики придумали символическую
запись произведения всех натуральных чисел
от 1 до n – это n! n – факториал., т.е5*4*3*2*1= 5!, а
13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1= 13!
Рn.= n!
Задача.Недавно завершился
чемпионат Европы по фигурному катанию. После
ухода из большого спорта наших ведущих
фигуристов: Евгения Плющенко, Татьяны Навки и
Романа Костомяниной Татьяны Татьмяниной и
Максима Маринина, Ирины Слуцкой и несовсем
удачных выступлений на последней зимней
олимпиаде этот чемпионат принёс нам огромную
массу положительных эмоций. Практически в каждом
виде программы наши молодые спортсмены вошли в
число самых сильнейших и боролись за победу.
Выступления в каждом виде проходили 2 дня. После
короткой программы в каждом виде были определены
сильнейшие спортсмены, 6 из которых должны катать
свою произвольную программу в последней
разминке. Порядковый номер в разминке
определяется жеребьёвкой. Сколько различных
вариантов распределения порядка выступления в
последней разминке существует?
(Работают в группах) Р6.= 6! = 1*2*3*4*5*6=720 Ответ: 720.
Задача. Сколько различных
четырёхзначных чисел, в которых не повторяются
цифры можно составить из цифр 0, 2, 4, 6? (Решают
самостоятельно)
Р4 – Р3.= 4! – 3!= 1*2*3*4 – 1*2*3 = 24 – 6 = 18. Ответ: 18.
Задача. Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если Олег и Игорь должны стоять рядом.[25] (Решают, обсуждая в группах)
Р6*Р2= 6!*2!= 720*2=1440. (При окончательном обсуждении решения следует обратить внимание на принципиальные отличия в двух последних задачах)
Следующий тип задач (возвращаемся к
слайду с помощью кнопки )
б) Размещения
Прежде чем дать определение размещениям, решим такую проблему:
Около 2-х недель назад закончился очередной этап кубка мира по биатлону. В рамках которого состоялась очередная эстафета. В женской эстафете ( по словам диктора Д.Губерниева) состав был экспериментальный: Слепцова, Богалий-Титовец, Гусева (наша землячка из г. Тихвина), Зайцева. Но в нашей команде есть ещё две хорошие спортсменки: Екатерина Юрлова и Яна Романова. Из скольких вариантов придётся выбирать эстафетный женский квартет для участия в чемпионате мира, который пройдёт в нашей стране, если для спортсменок важно какой этап бежать? (В группах)
Опять правило произведения. 6*5*4*3 = 360.
Особенности составления команды: 1) Не все элементы (спортсменки); 2) Важен порядок.
Определение размещения из n элементов по m элементов (m < n). [10]
Обозначение 
.
(данную
формулу проверите дома)
Размещения можно назвать перестановками, если m = n.
Начиная с 1-го класса, вы сталкивались с такой
проблемой на уроках математика.
Сколько цифр у нас, а чисел? Составляли
различные числа из всех цифр.
Как в контексте нашего урока можно назвать цифры,
а как числа?
Цифры сегодня мы можем назвать – элементами, а
числа – комбинациями.
Задачи (в группах на подгруппы для решения двух задач)
- Сколько двузначных чисел (без повторения) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?
- Сколько таких чисел можно составить из всех 10-ти цифр?
(Решение разобрать: обратить внимание на различия в решении задач)
Задача. Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в эстафете надо составить 3 команды (на 1 этапе – 1-я команда, на 2-м – вторая, на третьем – третья), которые состоят из 1-го мальчика и 1-й девочки. Сколькими способами это можно сделать? (Решают в самостоятельно с дальнейшим разбором решения и демонстрацией одного из вариантов оформления решения)
Эту задачу мы решали по правилу произведения, а что надо изменить в тексте задачи, чтобы она решалась по правилу СУММЫ?
Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в эстафете надо составить команду, которая состоит или из 3-х мальчиков или 3-х девочек (каждый член команды имеет свой порядковый номер). Сколькими способами это можно сделать?
Здесь работает правило СУММЫ.
А как изменить условие задачи, чтобы порядок был не важен?
Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в эстафете надо составить команду, которая состоят из 3-х мальчиков и 3-х девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Особенности составления таких команд: не все
элементы берём; про порядок ничего не говорится,
значит, он неважен.
Это задача не на перестановки, не на размещения.
Сочетания. (Возвращаемся к
слайду с помощью кнопки )
в) СОЧЕТАНИЯ. Сходство – берём не все элементы, Различие – порядок не важен.
Определение сочетания из n элементов по m элементов. [10]
Обозначение 
.Вычисляется 
Доказать её справедливость дома.
Задача. В этом году вам предстоит сдавать экзамены, в том числе и в традиционной форме. Сколько различных по составу комиссий из трёх человек (без учёта должности в комиссии) может составить завуч гимназии Вера Николаевна, если претендентов 8? (Ответ: 56)
И вновь о А.С.Пушкине.
Задача.Перед уроком литературы Виктория Валентиновна решила приготовить три тома А.С. Пушкина взяв их с полки, где стоят все шесть томов. Она знает, что среди них должен быть пятый том, так как там на печатан роман «Евгений Онегин»? (Ответ: 10)
Задача. Для уборки территории требуется вашему классному руководителю Ларисе Николаевне выделить 4-х мальчиков и 3-х девочек Сколькими способами можно это сделать, если в классе учатся 14 мальчиков и 11 девочек?
Заключительный этап
– Сегодня на уроке мы вспомнили много значимых событий как лично в вашей жизни, так и жизни страны. Но не могу пройти мимо ещё одного – это 50 лет с момента первого полёта человека в космос. Но сейчас нас трудно удивить просто полётом в космос и хотелось, чтобы слова из знаменитой в те годы песни на слова Е.Долматовского и музыку В.Мурадели.
Жить и верить – это замечательно!
Перед нами небывалые пути.
Утверждают космонавты и мечтатели,
Что на Марсе будут яблони цвести!
Воплотились в жизнь. И на Марс тоже полетят наши корабли. (Приложение 6)
Краткое подведение итогов
«Какова же вероятность выпадения тройки, семёрки, туза?» – теперь мы ответим без особого труда.
В решении этой задачи, нам помогли комбинаторные задачи без повторений. Сегодня мы говорили об их решении.
Домашнее задание: доделать те задачи, которые были не завершены, расспросить родителей о их работе и на основе этого опроса составить мини-сочинение или просто задачи по теме «Комбинаторные задачи в жизни моих родителей».
Рефлексия (Приложение 6.2)
– Спасибо за урок!
Используемая литература: Приложение 7.