Элементы комбинаторики

Предметно-содержательная область: алгебра 7 класс

Раздел программы: Элементы комбинаторики

Количество уроков: 7 часов

Основная цель:

• Развить комбинаторное мышление, сформировать умение организованного перебора упорядоченных и неупорядоченных комбинаций из двух - трех элементов.
• Способствовать развитию теоретического, творческого мышления, формированию операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений нестандартных задач.

Задачи

• Образовательные: обобщить и систематизировать знания по теме, научить решать задачи
• Воспитательные: способствовать формированию познавательного интереса к обучению, научного мировоззрения; создать условия для проявления самостоятельности, настойчивости.
• Развивающие: способствовать развитию исследовательских способностей, умения видеть проблему, анализировать ситуацию, находить пути решения проблемы; способствовать развитию коммуникативных способностей, навыков взаимодействия; способствовать развитию активности, инициативности.

Содержание

1. В данной теме интегрируются арифметические, начальные алгебраические и геометрические знания учащихся.

2. Рассматриваются исторические комбинаторные задачи, способы составления фигурных чисел, магических и латинских квадратов, выводится формула n - го треугольного числа.

3. В ходе организованного перебора различных комбинаций элементов двух множеств обосновывается правило произведения. С его помощью решаются простейшие комбинаторные задачи.

Применение: презентацию можно использовать на уроках объяснения нового материала, уроках закрепления и повторения

Оборудование: компьютерный класс, интерактивная доска, мультимедийный проектор

Планирование уроков:

1. Исторические комбинаторные задач - 1 час

2. Различные комбинации из трех элемент - 2 часа

3. Таблица вариантов и правило произведения - 2 часа

4. Подсчет вариантов с помощью графов - 1 час

5. Контрольная работа - 1 час

Тема: Исторические комбинаторные задачи

Цель: Рассмотреть исторические комбинаторные задачи, способы составления фигурных чисел, магических и латинских квадратов, вывести формулу n-го треугольного числа.

1. Орг.момент
2. Вступительное слово учителя
3. Фигурные числа
4. Магические квадраты
5. Решение задач
6. Домашнее задание

Вступительное слово учителя (слайд № 5)

В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу.

Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. - в период, когда возникла теория вероятности.

Фигурные числа

В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры.

1. Квадратные числа - слайд № 7

2. Треугольные числа - слайд № 8

3. Пятиугольные числа - слайд № 9

4. Прямоугольные числа - слайд № 10

5. Непрямоугольные числа - слайд № 11

6. Магические квадраты - слайды №№ 12-13

7. Решение задач - слайд № 14

8. Домашнее задание - слайд № 15

Тема урока: Различные комбинации из трех элементов

Цель: научиться решать задачи, которые имеют не одно, а несколько решений, которые нужно сравнить и выбрать наиболее подходящее для конкретной ситуации

1. Орг.момент

2. Сочетания

3. Размещения

4. Перестановки

5. Решение задач

6. Домашнее задание

Сочетания - слайды №№ 20 - 22

В задачах были составлены всевозможные сочетания из трех элементов по два: пары элементов из имеющихся трех элементов. Пары отличались друг от друга только составом элементов, а порядок расположения элементов в паре не учитывался.

Размещения - слайды №№ 23 -25

В задаче из трех элементов выбирались пары элементов и фиксировался их порядок расположения в паре, т.е. все составленные пары отличались друг от друга либо составом элементов, либо их расположением в паре. В комбинаторике такие пары называют размещениями из трех элементов по два.

Перестановки - -слайды №№ 26 - 28

В задаче были составлены всевозможные перестановки из трех элементов - комбинации из трех элементов, отличающихся друг от друга порядком расположения в них элементов.

Решение задач - слайды №№ 29 - 33

Домашнее задание - слайд № 33

Тема урока: Таблица вариантов и правило произведения

Цель: научиться решать комбинаторные задачи различными способами, исключающими возможность "потери" какой-либо комбинации элементов:для подсчета числа комбинаций из двух элементов таким средством является таблица вариантов.

1. Орг.момент

2. Таблица вариантов

3. Правило произведения

4. Решение задач

5. Домашнее задание

Таблица вариантов -

• Для решения комбинаторных задач существуют различные средства, исключающие возможность "потери" какой-либо комбинации элементов.
• Для подсчета числа комбинаций из двух элементов таким средством является таблица вариантов.

Для решения задач, аналогичных задачам 1 и 2, необязательно каждый раз составлять таблицу вариантов. Можно пользоваться правилом, которое получило в комбинаторике название "Правило произведения": если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n·m различных пар с выбранными первым и вторым элементами.

Решение задач - слайды № 48

Домашнее задание - слайд № 48

Тема урока: Подсчет вариантов с помощью графов

Цель: научиться составлять графы и использовать их при решении задач

Перебрать и подсчитать всевозможные комбинации из данных элементов несложно, когда их количество невелико. Однако, когда их количество больше, например, 20, то при переборе легко упустить какую-либо из них.

Нередко подсчет вариантов облегчают графы.

Графы - геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа).

1. Орг.момент

2. Подсчет вариантов с помощью графов

3. Полный граф

4. Граф - дерево

5. Решение задач

6. Домашнее задание

Граф - геометрические фигуры, состоящие из точек(их называют вершинами) и соединяющих их отрезков(их называют ребрами графа). При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества(предметов, людей, числовых или буквенных кодов и т.д.), а с помощью ребер - определенные связи между этими элементами.

В полном графе проводятся все возможные ребра

Слайды № 50 - 54

Граф - дерево

Назван так за внешнее сходство с деревом

Слайды № 55 - 58

Тема: Контрольная работа

1. С помощью цифр 7, 8 и 9 записать всевозможные двузначные числа, в которых цифры: а) должны быть разными; б) могут повторяться.
2. Анна, Белла и Вера купили билеты в кинотеатр на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять эти места.
3. У лесника три собаки: Астра, Вега и Гриф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.

1. Перечислить все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 8, 9 и 0, если: а) одинаковых цифр в числах не должно быть; б) цифры в числах могут повторяться.
2. Из трех стаканов сока - ананасового, брусничного и виноградного - Иван решил последовательно выпить два. Перечислить все варианты, которыми это можно сделать.
3. У Марии 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Марии?