Цели: дать понятия, алгоритмы нахождения среднего арифметического и медианы, размаха и моды ряда чисел, показать значимость этой темы в практической деятельности человека; приобретение практических навыков выполнения этих заданий; повышение уровня математической подготовки, предъявляемой новыми стандартами.
Задачи:
- вооружить учащихся системой знаний по теме "Определение вероятности событий, среднего арифметического и медианы набора чисел";
- сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;
- подготовить учащихся к сдаче ГИА;
- сформировать навыки самостоятельной работы.
Ход урока
1. Теоретическая часть.
1). Нахождение вероятности событий.
В повседневной жизни, в практической и научной деятельности часто наблюдают те или иные явления, проводят определенные эксперименты.
В процессе наблюдения или эксперимента приходится встречаться с некоторыми случайными событиями, т. е. такими событиями, которые могут произойти или не произойти. Например, выпадение орла или решки при подбрасывании монеты, поражение мишени или промах при выстреле, выигрыш спортивной команды во встрече с соперником, проигрыш или ничейный результат- все это случайные события.
Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей. Методы теории вероятностей применяются во многих областях знаний.
Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то, или иное событие в большой серии происходящих в одинаковых условиях испытаний со случайными исходами.
Для того чтобы оценить вероятность интересующего нас события необходимо провести большое число опытов или наблюдений, и только после этого можно определить вероятность этого события.
Например, бросание игрального кубика. При бросании кубика шансы выпадения на его верхней грани каждого числа очков от 1 до 6 одинаковы. Говорят, что существует 6 равновозможных исходов опыта с бросанием кубика: выпадение 1,2,3,4,5, и 6 очков.
Исходы в этом опыте считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы.
Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.
Определение: отношение числа благоприятных исходов N (A) события A к числу всех равновозможных исходов N этого события называется вероятностью события A.
P (A) = N(A)/N
Схема нахождения вероятности события.
Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого испытания следует:
- найти число N всех равновозможных исходов данного испытания;
- найти количество N(A) тех благоприятных исходов испытания, в которых наступает событие А;
- найти отношение N(A)/N; это и есть вероятность события A
Например: 1. В коробке лежат 10 красных, 7 желтых и 3 синих шара. Какова вероятность, что взятый наугад шар окажется желтым?
Решение. Равновозможные исходы- (10+7+3)=20
Благоприятные исходы-7
P(A)= 7/20=0,35
2. В коробке лежит 5 черных шаров. Какое наименьшее число белых шаров нужно положить в эту коробку, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки черный шар была не больше 0,15?
Решение: Пусть x-белые шары.
5/ (5+x)*0,15
::::
x=29
2) Определение и нахождение среднего арифметического и медианы ряда чисел.
Определение: средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.
Среднее арифметическое набора чисел x1,x2,x3,x4,x5 принято обозначать x.
Например, среднее арифметическое пяти чисел запишется так:
X = (x1+x2+x3+x4+x5)/5
Пример: найти среднюю оценку учащегося по математике, если за истекший период он получил: 3,4,4,5,3,2,4,3.
Решение: (3+4+4+5+3+2+4+3)/8=3,5
Определение: медианой называется число, разделяющее набор чисел на две части, равные по численности, так что с одной стороны от этого числа все значения больше медианы, а с другой меньше. Вместо "медиана" можно было бы сказать середина.
Схема нахождения медианы набора чисел:
Для нахождения медианы набора чисел следует:
- упорядочить числовой набор (записать в порядке возрастания);
- одновременно зачеркиваем "самое большое" и "самое маленькое" числа данного набора чисел до тех пор, пока не останется одно число или два числа;
- если останется одно число, то оно и есть медиана (для нечетного набора чисел);
- если останется два числа, то медианой будет среднее арифметическое двух оставшихся чисел (для четного набора чисел).
Медиану принято обозначать буквой М.
Пример: найти медиану набора чисел: 9,3,1,5,7.
Решение: запишем числа в порядке возрастания: 1,3,5,7,9.
Вычеркнем 1 и 9, 3 и 7. Оставшееся число 5 и есть медиана. М=5
Пример: найти медиану набора чисел 2,3,3,5,7,10.
Решение: вычеркнем 2 и 10, 3 и 7. Для нахождения М нужно: (3+5)/2= 4. М=4
Определение и нахождение размаха и моды.
Определение: размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Размах ряда находят, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.
Определение: модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.
Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем.
Пример: На уроке физкультуры 14 школьников прыгали в высоту, а учитель записывал их результаты. Получился такой ряд данных (в см):
125, 110, 130, 125, 120, 130, 140, 125, 110, 130, 120, 125, 120, 125.
Найти медиану, размах и моду измерения.
Решение: выпишем все варианты измерения в порядке возрастания, разделяя пробелами группы одинаковых результатов:
110, 110, 120, 120, 120, 125, 125, 125, 125, 125, 130, 130, 130, 140.
Размах измерения равен 140-110=30.
125-встретилось наибольшее число раз, т. е. 5 раз; это мода измерения.
Если двигаясь по ряду слева направо отсчитать половину (7) результатов, то мы остановимся на результате 125 см. Следующая половина результатов начинается также со 125. Значит, 125-медиана измерения.
2. Практическая часть.
1). Задачи для самостоятельного решения на теорию вероятностей.
1. На 100 электрических лампочек в среднем приходится 4 бракованных. Какова вероятность, что взятая наугад лампочка окажется исправной? Ответ: 0,96.
2. На 400 компакт-дисков в среднем приходится 8 бракованных. Какова вероятность, что взятый наугад компакт-диск окажется исправным? Ответ: 0,98.
3. 17 точек из 50 покрашены в синий цвет, а 13 точек из оставшихся покрашены в оранжевый цвет. Какова вероятность того, что случайно выбранная точка окажется окрашенной? Ответ: 0,6.
4. Из слова "математика" случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность, что выбранная буква встречается в этом слове только 1 раз? Ответ: 0,3.
5. Из слова "аттестация" случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность, что выбранная буква окажется буквой "а"? Ответ: 0,2
6. Из 30девятиклассников 4 выбрали экзамен по физике, 12 - по обществознанию, 8- по иностранному языку, а остальные по литературе. Какова вероятность, что выбранный ученик будет сдавать экзамен по литературе. Ответ: 0,2.
7. Контрольная работа по математике состоит из 15 задач: 4 задачи по геометрии, 2 задачи по теории вероятностей, остальные по алгебре. Ученик ошибся в одной задаче. Какова вероятность, что ученик ошибся в задаче по алгебре? Ответ: 0,6.
8. На 1000 автомобилей, выпущенных в 2007-2009 г. г., 150 имеют дефект тормозной системы. Какова вероятность купить неисправную машину? Ответ: 0,15.
9. В соревнованиях по художественной гимнастике участвуют: 3 гимнастки из России, 3 гимнастки из Украины и 4 гимнастки из Белоруссии. Порядок выступления определятся жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России. Ответ 0,3
10. На чемпионате по художественной гимнастике выступает 18 гимнасток, среди них 3 гимнастки из России, 2 гимнастки из Китая. Порядок выступления определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что последней будет выступать гимнастка или из России, или из Китая? Ответ: 5/18.
11. Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию 1 дежурного. Какова вероятность того, что это будет мальчик? Ответ: 0,6.
12. Одновременно бросают 2 монеты. С какой вероятностью на них выпадут 2 решки? Ответ 0,25.
2) Задачи на нахождение среднего арифметического и медианы, размаха и моды набора чисел.
Фрезеровщики бригады затратили на обработку одной детали разное время (в мин.), представленное в виде ряда данных: 40; 37; 35; 36; 32; 42; 32; 38; 32. На сколько медиана этого набора отличается от среднего арифметического? Ответ: 0.
В саду посадили 5 саженцев яблони, высота которых в сантиметрах следующая: 168, 13, 156, 165, 144. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Ответ: 3, 8
Растущие в саду 6 деревьев груши дали урожай, масса которого (в кг) для каждого из деревьев следующая: 29, 35, 26, 28, 32, 36. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Ответ: 0,5
Время обслуживания кассиром каждого из нескольких покупателей магазина образовало следующий ряд данных: 2 мин. 42 сек., 3мин. 2 сек., 3 имн. 7сек., 2 мин. 54 сек., 2 мин. 48 сек. Найдите среднее значение и медиану этого ряда данных. Ответ: 2 мин. 55 сек., 2 мин. 54 сек.
Время между семью звонками, поступившими в службу такси образовало следующий ряд данных: 34 сек., 45 сек., 1 мин. 16 сек., 38 сек., 43 сек., 52 сек. Найдите среднее значение и медиану этого ряда данных. Ответ: 48 сек., 44 сек.
Литература
: