Таблицы в решении задач на смеси, сплавы, растворы

Рассмотрим задачи, при решении которых удобно использовать таблицы. Они позволяют быстрее ввести обозначения и составить уравнения для решения.

1.К сплаву с 25% содержанием олова добавляют 3 кг чистого олова. Чему равна масса исходного олова, если процентное содержание олова повысится при этом в 2,8 раза?

Решение.

Решение задачи удобно начинать с составления таблицы по данным задачи.

Заполняем оставшиеся ячейки таблицы, вычисляя их как неизвестные элементы пропорции: .

Таблица примет вид

	исходный		добавили		новый
	кг	%	кг	%	кг	%
олово		25	3	100		25·2,8
сплав	x	100	0	0	х+3	100

Из последней заполненной нами строки составляем и решаем уравнение:

+3 = , 25х+300 = (х+3)·25·2,8

х+12 = 2,8х+ 8,4 1,8х = 3,6 x = 2

Ответ: 2 кг

2. Смешали два раствора 30%-й и 15%-й серной кислоты. Получили 450 г 20%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли?

Решение.

Заполняем таблицу, приняв массу одного раствора за x г. Тогда масса второго раствора будет равна (450 – x) г.

Заполним оставшиеся ячейки, составим уравнение и решим его.

	первый		второй		получили
	г	%	г	%	г	%
серная кислота		30		15		20
раствор	x	100	450 – x	100	450	100

+=. 2х+ 450 – х = 600

х =150 (г) – взяли первого раствора,

450 –150 = 300 (г) – взяли второго раствора.

Ответ: 150 г, 300 г.

3. Из бака, наполненного полностью кислотой, вылили несколько литров и долили водой, затем опять вылили столько же литров смеси. Тогда в баке чистой кислоты осталось 12 литров. Сколько кислоты вылили в первый раз, если емкость бака 27 литров?

Решение.

Заполним таблицу, используя данные и приняв искомую величину за х. л.

Заполним вторую часть, учитывая, что процентное содержание кислоты, после того как долили воды и затем отлили раствор, оставалось без изменения.

	стало		отлили во второй раз		осталось во второй раз
	л	%	л	%	л	%
кислота	27 –x				12
раствор	27	100	x	100	27– x	100

Заполним оставшуюся ячейку таблицы, вычислив ее как неизвестный элемент пропорции. Вторая часть таблицы примет вид:

	стало		отлили во второй раз		Осталось во второй раз
	л	%	л	%	л	%
кислота	27 –x				12
раствор	27	100	x	100	27– x	100

Составим уравнение.

Количество кислоты после добавления воды минус количество отлитой в последний раз кислоты равно остатку кислоты, т.е.

(27–х.) –=12,

27 – x – ·x =12. Умножим на 27. Получим:

729 – 27x – 27х + x² = 324,

x ² – 54х + 405 = 0 .

x = 45 (не удовлетворяет смыслу задачи, т.к. емкость бака 27 литра),

x = 9 (л) – кислоты вылили в первый раз.

Ответ: 9 л.

4. Имеется 2 сплава меди и цинка. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, в другом 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором медь и цинк относились бы как 1:4?

Решение.

Решение этой задачи аналогично предыдущим, только вместо процентов здесь части, и сплав содержит число частей, равное сумме входящих в него компонентов.

Заполняем оставшиеся ячейки, составляем и решаем уравнение.

	первый сплав		второй сплав		третий сплав
	кг	части	кг	части	кг	части
медь		1		2		1
сплав	x	10	15 –x	5	15	5

Ответ: 10 кг, 5 кг.

5. На завод поступило 20 т меди, 10 т свинца. Из них приготовили 3 сплава: в первый сплав медь и свинец входят как 3:2, во второй – как 3:1, а в третий – как 5:1. Найти вес изготовленных сплавов, если известно, что первого и второго сплава вместе было приготовлено в 4 раза больше, чем третьего.

Решение.

Пусть третьего сплава приготовили х т, первого приготовили у т, тогда второго приготовили 4х– у т.

Заполните оставшиеся ячейки таблицы, составьте систему уравнений, учитывая, что масса меди во всех сплавах составляет 20 т, а масса всех сплавов составляет 30 т.