Из всех наук математика пользуется особым уважением, потому что ее теоремы абсолютно верны и неоспоримы, тогда как законы других наук в известной степени спорны и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями.
Существует огромное множество приемов ускоренного выполнения арифметических действий-приемов, предназначаемых для обиходных вычислений.
Школьники начальных классов должны уметь производить в уме несложные арифметические вычисления. Например, дети должны уметь складывать и вычитать в уме двузначные и трехзначные числа.
У взрослых сложение и вычитание двузначных и трехзначных чисел не вызывает затруднений, так как взрослый человек самостоятельно выработал для себя способы элементарного устного счета.
Складывать и вычитать, делить и умножать в уме двузначные и трехзначные числа очень просто, если знаем прием. Описанные ниже способы не отличаются от вычисления столбиком, зато гораздо понятнее.
80 - 67 = 80 - 60 - 7 = 20 - 7 = 13 (отделение разряда единиц при вычитании)
Комбинации разных способов
78 - 49
79 - 50 (прибавление к числам единицы)
70 - 50 + 9 = 20 + 9 = 29 (отделение разряда единиц)
79 + 68
80 + 67 (перенос единицы с числа 68 на число 79)
80 + 67 = 80 + 20 + 47 = 100 + 47 = 147
Аналогичными способами легко складываются и вычитаются в уме и трехзначные числа.
157 + 238
(100 + 200)
300 + 57 (+3) + 38(-3) (перенос тройки с 38 на 57)
300 + 60 + 35
300 + 95 = 395
387 - 129
(300 - 100)
287 (+1) - 29 (+1) (прибавление единицы к уменьшаемому и к вычитаемому)
288 - 30 = 258
419-297(400-200), 219 (+3) - 97 (+3) (прибавление тройки к уменьшаемому и к вычитаемому).
Одним из приемов ускоренного умножения является прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался "способом молнии" или "умножением крестиком".
"Умножением крестиком".
Пусть требуется перемножить 24
32.Мысленно располагаем числа по
следующей схеме, одно под другим:
2 4
3 2
Теперь последовательно производим следующие действия:
1) 4
2=8-это последняя
цифра результата;
2) 2
2=4; 43=12; 4+12=16; 6-средняя цифра результата;
единицу запоминаем;
3) 23=6 да еще удержанная
в уме единица, имеем 7-это первая цифра
результата.
Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8=768
Другой способ, состоящий в употреблении так называемых "дополнений".удобно применяется в тех случаях. когда перемножаемые числа близки к 100.Полученный результат верен, наглядно видно из следующих преобразований;
8896=88(100-4)=88100-884
496= 4(88+8)= 48+884
929 =8832+0
Таблица умножения на "9".
Существует огромное множество приемов ускоренного выполнения арифметических действий-приемов, предназначаемых для обиходных вычислений.
Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на "5".
Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит, =4225
| 35*35 45*45 55*55 65*65 75*75 85*85 95*95 |
=1225 3*4=12 =2025 4*5=20 =3025 5*6=30 =4225 6*7=42 =5625 7*8=56 =7225 8*9=72 =9025 9*10=90 |
все ответы заканчиваются числом 25. Но как получаются первые две цифры ответа? Они получаются умножением цифры десятков на следующее за ней натуральное число. Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит =4225.
Запоминания таблицы значений Sin, Cos, tg для острых углов.
Видите, пальцы левой руки образуют углы:
мизинец-0 (нулевой палец)
безымянный-30 (первый палец)
средний-45 (второй палец)
указательный- 60(третий палец)
большой-90 (четвёртый палец)
Зная синусы, можно заполнить косинусы (наоборот),тангенсы и котангенсы острых углов.
Способ умножения чисел близких к 100
Пример: 95 * 93
Чтобы получить 2 последние цифры ответа (десятки и единицы), нужно
1) 100 - 95 = 5
2) 100 - 93 = 7
3) 5 * 7 = 35
Чтобы получить первые 2 цифры ответа (тысячи и сотни), надо
4) 93 - 5 = 88 или (95 - 7 = 88)
Получим 8835
Пример 2: 98 * 92
1) 100 - 98 = 2
2) 100 - 92 = 8
3) 2 * 8 = 16
4) 92 - 2 = 90
Получим 9016
Предположим, что требуется перемножить 92*96.Дополнение для 92 до 100 будет 8, а для 86-4. Действие производят по следующей схеме:
Множители: 92 и 96.
Дополнения: 8 и 4.
Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя "дополнения" множимого или наоборот: т.е. из 92 вычитают 4 или из 96-8.В том и другом случае имеем 88;к этому числу приписывают произведение "дополнений":8?4=32.Получаем результат 8832.
Еще пример - требуется перемножить 78 на 77:
Множители:78 и 77.
Дополнения: 22 и 23.
78-23=55,
22*23=506,
5500+506=6006
Числа 1, 5 и 6
Вероятно, все знают, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся на 1, 5 или 6, получается число, оканчивающее той же цифрой.
Пример:
46 = 2116; 46 = 97 336
Извлечение
из под корня
1). Чтобы извлечь число из под корня, например, разделим это
число по два разряда справа налево так: = 568
2).
1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)
2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы (число 2). Так мы получаем первую цифру числа.
3. Находим квадрат первой цифры (22=4).
4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).
5. Сносим следующие две цифры (получили число 196).
6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).
7. Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа.
8. Находим разность (196-176=20).
9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).
10. Удваиваем число 24, получаем 48.
11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа.
Далее процесс повторяется.
Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают удивительной особенностью. Кто бы мог подумать что
102 + 112 + 122 = 132 + 142. Докажем это: 100 + 121 +144 = 169 + 196
365 = 365
Сложение чисел, близких друг к другу по величине.
В практике технических и торговых вычислений нередки случаи, когда приходится складывать столбцы чисел, близких друг к другу по величине. Например;
43
38
39
45
41
39
42
Для сложения таких чисел применяется следующий прием
43=40+3
38=40-2
39=40-1
45=40+5
41=40+1
39=40-1
42=40+2
40*7=280, 3-2-1+5+1-1+2=7, 280+7=287.
Точно также находим сумму:
752=750+2
753=750+3
746=750-4
754=750+4
745=750-5
751=750+1
750*6+1=4501
Среднее арифметическое чисел, близких между собой по величине
| Руб. |
| 465 |
| 473 |
| 475 |
| 467 |
| 478 |
| 474 |
| 468 |
| 472 |
Сходным образом поступают, когда находят среднее арифметическое чисел, близких между собой по величине. Найдем например, среднюю из следующих цен:
Намечаем на глаз круглую цену, близкую к средней, т.е. 470 рублей. Записываем отклонения всех цен от средней: избытки со знаком плюс +, недостатки со знаком -.
Получаем: -5+3+5-3+8+4-2+2=12. Деля сумму отклонений на их количество. Имеем:12:8=1,5.
Отсюда искомая средняя цена 470+1,5=471,5(471 рублей 50 копеек).
Умножение на числа 5, 25, 125
Перейдем к умножению.
Здесь, прежде всего, укажем, что умножение на числа 5, 25, 125 значительно ускоряется, если иметь в виду следующее:
5=
, 25=
, 125=
.
Поэтому, например,
36*5=
;
36*25=
=900;
36*125=
=4500;
87*5=
=435;
87*25=
=2175;
87*125=
=10875.
Умножение на 15.
При умножении на 15 можно воспользоваться тем, что
15=10*1
.
Поэтому легко производить в уме вычисления вроде таких:
36*15=360*1
=360+180=540,
Или проще: 36*1*10=540;
87*15=870+435.
Умножение на 11.
При умножении на 11 нет надобности писать пять строк:
Достаточно лишь под умноженным числом подписать его еще раз, отодвинув на одну цифру:
4213 или 4213 и произвести сложение.
Полезно запомнить результаты умножения первых девяти чисел на 12, 13, 14, 15.Тогда умножение многозначных чисел на такие множители значительно ускоряется. Пусть требуется умножить
4587 на 13.
Поступаем так. Каждую цифру множимого умножаем в уме сразу на 13:
7*13=91; 1 пишем, 9 запоминаем;
8*13=104;104+9=113; 3 пишем, 11 запоминаем;
5*13=65;65+11=76; 6 пишем; 7 запоминаем;
4*13=52; 52+7=59.
Итого 59631.
После нескольких упражнений прием этот легко запоминается.
Весьма удобный прием существует для умножения двузначных чисел на 11: надо раздвинуть цифры множимого и вписать между ними их сумму:
43*11=473.
Если же сумма цифр двузначная, то число ее десятков прибавляют к первой цифре множимого:
48*11=4(12)8,то есть 528.
Деление на 5; 25; 125.
Укажем некоторые приемы ускоренного деления.
При делении на 5 умножают делимое и делитель на 2:
3471:5=6942:10=694,2
При делении на 25 умножают оба числа на 4:
3471;25=13884:100=138,84. Аналогичным образом поступают
при делении на 1(=1,5) и на 2
(=2,5); 3471: 1=6942:3=2314; 3471: 2,5=13884:10=1388,4
Русский способ уножения.
Вот пример:
32*13; 16*26; 8*52; 4*104; 2*208; 1*416
Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.
Как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? В случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением.19*17; 9*34; 4*68; 2*136; 1*272. Сложив незачеркнутые числа, получаем правильный результат: 17+34+272=323.
Умножение чисел, оканчивающихся на 5.
При умножении пары чисел, у которых цифры десятков были четные или нечетные, а цифра единиц 5, надо перемножить цифры десятков и к их произведению прибавить полусумму этих цифр. Получим число сотен. К числу сотен надо прибавить произведение 5*5=25.
Например:
85*45=(8*4+(8+4)/2)сотен+5*5=38*100+25=3825
35*55=(3*5+(3+5)/2)сотен+5*5=19*100+25=1925
Возьмем пример, который нам знаком с 5 класса.Найдите сумму первых ста натуральных чисел:
1+2+3+4+5+6+ : +94+95+96+97+98+99+100=?
А как проще вычислить следующий пример:
34*48+18*12+23*24=34*2*24+9*24+23*24=24*(68+9+23)=24*100=2400
Самостоятельно можно составить примеры на каждое правило и отработать устные вычисления. Составляя примеры, выполняя задания, ребята не испытывают трудностей.
Литература:
- Энциклопедия для детей. Математика. М., Аванта,2002.
- Я.И.Перельман, Занимательная арифметика. М., 1954.
- Журнал "Практический журнал для учителя и администрации школы".№9, 2004.
- Ж. "Математика", №4,1994.
- http://www.math.ru/