Итоговое занятие по алгебре и началам анализа "Показательные уравнения и неравенства. Показательная функция". 11-й класс

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике – серьёзное испытание в жизни каждого выпускника школы. Основная подготовка к ЕГЭ осуществляется на уроках. Особую роль при новой форме проведения выпускного экзамена приобретает организация итогового повторения. Теперь уже недостаточно привычных обобщения и систематизации знаний и способов действий. Не менее важным является необходимость формирования у выпускников умений:

• быстрее переключаться с одного типа задания на другой;
• выбирать оптимальную стратегию при решении как одной задачи, так и всей работы в целом;
• проверять полученный результат решения.

Основной характеристикой методики проведения обобщающих занятий является активизирующее воздействие на обучаемых – систематическое убеждение их в том, что лишь при активной позиции по отношению к данному предмету можно рассчитывать на успех.

А.Дистерверг писал: “Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение”.

Таким образом, при подготовке выпускников наряду с обычными требованиями важнейшим становится динамика вариативности в выборе методов, развитие системного мышления, вообще – уход от жестких формальных схем и алгоритмов.

С этой целью итоговое повторение разбито на две части:

1. обобщение и систематизация знаний и способов действий;
2. проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий.

В первой части идет повторение и систематизация базовых знаний и способов действий при решении стандартных задач. Во второй – в процессе повторения ученики должны последовательно перейти от одного уровня математической деятельности к следующему, более высокому. На этой стадии итогового повторения необходимо составить тестовые задания таким образом, чтобы они максимально содействовали не формальному усвоению программного материала, а глубоко осознанному пониманию его и применению при решении задач на уровне узнавания и соотнесения с базовыми знаниями, способами действий и опорными сигналами. Кроме того, тесты должны обеспечить:

• разнообразие типов и уровней заданий по данной теме;
• быстрый замер уровня усвоения информации учащимися;
• активизацию обучающей функции при контроле знаний и умений учащихся;
• предоставление учащимся быстрой обратной связи о правильности выполненных заданий;
• предоставление учащимся возможности обсуждения типичных ошибок, их анализа и коррекции.

При составлении тестов использовались задания из источников, указанных в списке литературы и авторские задания.

Организацию итогового повторения спланирована таким образом, чтобы его можно было использовать при работе по учебникам различных авторов, рекомендованных МО РФ.
Предложенную разработку урока можно использовать как урок-конструктор при организации повторения любой темы.

Опыт работы показал, что учащиеся постепенно приобретают “вкус” к работе:

• по классификации заданий по видам;
• по классификации заданий по способам действий;
• по использованию опор;
• по выявлению ошибок и их анализу;
• по оценке результатов своей деятельности и деятельности своих товарищей.

Опыт проведения данных уроков дал положительные результаты при подготовке учащихся к ЕГЭ по математике.

Урок 1–2. Показательная функция, её свойства и применение
B5, B7, B12, B14)

Цели. Создать условия для:

• выявления и искоренения типичных ошибок учащихся;
• обучения самоконтролю, взаимоконтролю, быстрому переключению с одного типа заданий на другой;
• развития самостоятельности, внимательности, формирования умения выбирать оптимальную стратегию при решении конкретной задачи и работы в целом;
• развития умений аргументировано участвовать в обсуждении решений;
• формирования культуры поведения при работе в парах, уважительного отношения к одноклассникам.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал, презентация.

Структура урока:

1. Ознакомление с темой, целью и задачами урока, инструктаж учащихся по организации работы на уроке.
2. Актуализация знаний и способов действий.
3. Проверка знаний учащимися основных понятий, правил, свойств и умений объяснять аргументировано результаты своих действий. Обсуждение полученных результатов.
4. Проверка умений учащихся самостоятельно применять знания в стандартных ситуациях. Обсуждение полученных результатов.
5. Проверка умений учащихся применять знания в изменённых, нестандартных условиях. Обсуждение результатов.
6. Подведение итогов урока. Объяснение домашнего задания.
7. Рефлексия.

Ход урока

Урок 3–4. Виды показательных уравнений и способы их решения

Цели:

• cпособствовать выработке навыка решения показательных уравнений;
• обучения самоконтролю, взаимоконтролю, быстрому переключению с одного типа заданий на другой;
• развития самостоятельности, внимательности, формирования умения выбирать оптимальную стратегию при решении конкретной задачи и работы в целом;
• развития умений аргументировано участвовать в обсуждении решений;
• формирования культуры поведения при работе в парах, уважительного отношения к одноклассникам.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания, выявление типичных ошибок, определение путей их устранения.
2. Повторение видов показательных уравнений и способов их решения

Показательным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени некоторого числа или алгебраического выражения.

Основными методами решения показательных уравнений после некоторых преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших показательных уравнений вида , которое, если b является степенью числа a, т.е. , равносильно уравнению , а в противном случае – уравнению . К простейшим показательным уравнениям можно отнести и уравнение вида , которое равносильно уравнение . Заметим, что переход от уравнения к равносильному ему уравнению может быть объяснён различными способами: исходя из свойств показательной функции с основанием a или логарифмированием обеих частей уравнения (по свойствам логарифмической функции).

Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений

1. Алгебраические преобразования. уравнения, непосредственно сводимые к простейшим

Пример 1. Решите уравнение .

Решение:

Ответ: 3; 9.

Вынесение общего множителя

Этот метод применяют при решении уравнений вида и сводимым к ним. После вынесения общего множителя приходим к уравнению , откуда

При отсутствии арифметических ошибок правая часть последнего уравнения, как правило, является степенью числа a. Разумеется, возможны и другие типы уравнений. Рассмотрим примеры.

Пример 2. Решите уравнение .

Решение. Вынесем общий множитель и выполним преобразования:

Ответ: 1.

Группировка и разложение на множители

Основная идея решения задач этого типа отражена в названии: после группировки и вынесения общих множителей такие уравнения обычно удаётся привести к виду , а последнее уравнение – к одному или двум простейшим показательным уравнениям. Такие уравнения схожи с уравнениями предыдущего типа, но требуют большего числа действий

Пример 3. Решите уравнение

Решение. Перенесём выражение из правой части уравнения в левую и сгруппируем слагаемые: . Вынесем общий множитель: . Ещё раз вынесем общий множитель: , откуда и, значит,

Ответ: 3; 0.

Пример 4. Решите уравнение .

Решение.

Ответ: 0; 1.

2. Замена переменной

Большинство показательных уравнений, в которых используется замена переменной, сводится после этой замены к квадратному уравнению. Найдя корни этого уравнения и выполнив обратную замену, получают одно или два простейших показательных уравнения. Так, уравнение сводится к квадратному уравнению заменой . Для решения однородного уравнения вида нужно обе его части разделить на (заметим, что по свойству показательной функции ни при каких x). После деления получится уравнение , которое заменой , сводится к квадратному уравнению относительно y.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. . Пусть .

Тогда Сделаем обратную замену:

Ответ: 2.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Пусть . Уравнение примет вид , откуда t=1 либо t=4. Сделаем обратную замену: , откуда x=1, либо . Последнее уравнение не имеет корней.

Ответ: 1.

В качестве следующего примера рассмотрим задачу 10 из части I вводной диагностической работы.

Пример 3. Решите уравнение

Решение.

Разделим обе части уравнения на : Пусть Уравнение примет вид , откуда Вернёмся к прежней переменной:

Ответ: -1; 0.

3. Отбор корней в показательных уравнениях

Иногда встречаются комбинированные уравнения, в которых неизвестная содержится не только в показателе степени, но и в знаменателе дроби или под знаком корня чётной степени. В простейших случаях это не влияет существенным образом на уровень сложности задания, но приводит к необходимости ввода дополнительных ограничений (условия неравенства нулю знаменателя дроби, условия неотрицательности подкоренного выражения для корня чётной степени). В этих случаях следует проявлять внимание и осторожность: ведь часть найденных корней может не удовлетворять указанным ограничениям. Такие корни будут посторонними, включение их в ответ является грубой математической ошибкой, и решение не будет засчитано.

Пример 1. Решите уравнение

Решение.

Ответ: -1,5; – 1; 1,5.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Пусть Тогда

Вернёмся к прежней переменной:

Ответ: 0.

4. Применение свойств функций

Некоторые уравнения, в том числе и показательные, не могут быть решены стандартными методами, изложенными выше. В таких случаях часто приходится использовать такие свойства функций, как монотонность и ограниченность.

Пример 1. Решите уравнение

Решение. Функция возрастает на R. Значение функции в точке x=3

Следовательно, x=3 – единственный корень.

Ответ: 3.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Довольно легко заметить, что x=1 – корень уравнения. Попробуем доказать, что других корней нет. Для доказательства используем свойство монотонности показательной функции. Разделим обе части уравнения на : . Функция монотонно убывает (как сумма двух монотонно убывающих функций), поэтому каждое своё значение она принимает ровно один раз. Поскольку y(1)=1, то x=1 – единственный корень уравнения , а значит, и данного уравнения.

Ответ: 1.

Пример 3. Решите уравнение

Решение. Даже если бы в уравнении не было знака модуля, решить его стандартным образом было бы невозможно. Поскольку (и, значит, ), при всех значениях переменной, получим, что левая часть уравнения не меньше 2. Знак равенства возможен, только если каждое из слагаемых левой части принимает своё наименьшее значение, откуда

Ответ: 0.

Закрепление материала. решение показательных уравнений (С 1).

Самостоятельная работа учащихся по вариантам (1 вариант – все номера под буквой а, второй вариант под буквой б)

(Приложение 7)

Минимальное количество выполненных на уроке заданий – 5. Учащимся с высокой мотивацией – 10.

Большое количество уравнений дано для того, чтобы заинтересованные учащиеся выполнили их дома.

Домашнее задание

Тренировочная работа 1 (Приложение 8)

3. Список использованной литературы

1. Гин А.А. “Приемы педагогической техники: Свобода выбора. Открытость. Деятельность. Обратная связь. Идеальность”. – Пособие для учителя. 4-е изд. М.: Вита-Пресс. 2002 г.
2. Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики. – Кн. для учителя С.Г. Манвелов М.: Просвещение. 2002 г. (Библиотека учителя).
3. Шамова Т.И., Давыденко Т.М. “Управление процессом формирования системы качеств знаний учащихся”. – Методическое пособие. М. 1990 г.
4. Гущин Д.Д., Малышев А.В. / ред А.Л.Семенова и И.В.Ященко. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В10. – Рабочая тетрадь. М.: Издательство МИОО. 2010 г.
5. Шестаков С.А. / ред А.Л.Семенова и И.В.Ященко. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В3. – Рабочая тетрадь.М.: Издательство МЦНМО. 2010 г.
6. Шестаков С.А. / ред А.Л.Семенова и И.В.Ященко. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В7. – Рабочая тетрадь. М.: Издательство МЦНМО. 2010 г.
7. Шестаков С.А. / ред А.Л.Семенова и И.В.Ященко. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В11. – Рабочая тетрадь. М.: Издательство МЦНМО. 2010 г.
8. Гущин Д.Д., Малышев А.В. / ред А.Л.Семенова и И.В.Ященко. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В10. – Рабочая тетрадь. М.: Издательство МЦНМО. 2010 г.
9. Шестаков С.А., Захаров П.И. / ред А.Л.Семенова и И.В.Ященко. ЕГЭ 2011 Задача С1. Уравнения и системы уравнений. М.: Издательство МЦНМО. 2011 г.
10. “Учебные проекты с использованием Microsoft Office” Изд. “Бином. Лаборатория знаний” 2007г.
11. Открытый банк заданий по математике. – http://mathege.ru