Цель:
- При решении нестандартных задач работать над развитием логического мышления у учащихся, развивать интуицию.
Ход урока
Тысячная задача по алгебре, как раз приходится на решение квадратных уравнений.
Квадратные уравнения описывают многие физические процессы, происходящие в природе?
Устно:
1. Назвать коэффициенты квадратного уравнения
А) х2+ (в +с ) х - вс = 0
Б) х2 - ( в + с) х + вс = 0
2. Разбить следующие уравнения на типы и рассказать способы решения этих уравнений. Сколько корней имеют каждое из этих уравнений:
А) 2х2 + 3 = 0
Б) 2х2 - 3= 0
В) х2 - 4х = 0
Г) х2 + 4х = 0
Д) х2 + 10х + 25 = 0
3. Решить устно следующее уравнения:
1000 х2 + 5000 х - 6000 = 0
Решение:
| х1 * х2 = - 6 | х1 = -6 |
| х1 + х2 = - 5 | х2 = 1 |
Перечислить, какими утверждениями мы здесь пользовались?
Ответ:
1) если разделить уравнение на одно и тоже число, то уравнение останется равносильное данному;
2) теорема Виета: сформулировать.
2. История о самом Виете, он сформулировал так:
| (в+д) * а - а2 = в * д | Можно ли расшифровать в наше время эту запись, что означают буквы? |
| а = в |
а = д
Ответ: (в +с ) х - х2 = вс
- х2 + ( в + с) х - вс = 0
х2 - (в + с) х + вс = 0
| (в+д) * в - в2 = вд | (в+д) * д - д2 = в * д |
| в2 + вд - в2 = вд | вд + д2 - д2 = вд |
| вд = вд | вд =вд |
а - неизвестная величина
в и д - корни этого уравнения
Эта теорема позволяет вывести и использовать еще одну формулу сокращенного умножения,
(х+5) (х+8) = х2 +8х +5х +40 = х2 +13х + 40
(х+3) (х+4) = х2 +7х +12
7 - это сумма 3 и 4
12 - это их произведение
Тогда по т. Виета -3 и -4 являются корнями уравнения х2 +7х +12 = 0
Разложить на множители:
Х2 +11х +18 = (х+2)(х+9)
Х2-15х+44 = (х-4)(х-11)
( х + а ) ( х + в ) = х2 + ( а + в ) х + ав
3. Класс разбивается на 2 группы Теоретики и Практики.
Теоретики - предлагают идею, обсуждают ход решения.
Практики - решают
Задачи:
1. Составьте квадратное уравнение, зная его корни:
| а) х1 = - 0,4; | х2 = 1,4 |
| б) х1 = -2,5; | х2 = 2 |
в) х1 = 1 - ; |
х2 = 1 + |
Ответ:
а) х2 - х - 0,56 = 0
б) х2 + 0,5 х - 5 = 0
в) х2 - 2х - 1 = 0
2. Существуют такие числа m и n, что
а)
m + n = 18
m * n = - 27
Ответ: да и они являются корнями квадратного уравнения х2 - 18х - 27 = 0
б)
m + n = - 250
m * n = 1000
Ответ: х2 + 250х + 1000 = 0
Теоретики составляют алгоритм решения задачи. Практики, используя основные положения, непосредственно выполняют предписания.
После идет обсуждение, при котором практики и теоретики находят точки соприкосновения.
3. Записать теорему Виета для следующих уравнений:
4х2 - 8х + 16 = 0
3х2 + 7х - 9 = 0
-х2 + 16х - 11 = 0
-0,5 х2 + х - 1 = 0
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что, лучше скажи постоянства такого:
Умножить ты корни - и дробь уж готова?
В числители с, в знаменатели а,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь, что за беда,
В числители в, в знаменатели а.
Записать общий вид приведенного квадратного уравнения и записать формулы для его решения.
х2 + pх + q = 0
Д = p2 - 4q
х1 = 
х2 = 
Проверить теорему Виета
4. Итог урока: тест (см. презентацию)