Решение квадратных уравнений

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (335 кБ)

Цель:

  • Систематизирование и обобщение знаний учащихся по теме.
  • Совершенствование навыков решения квадратных уравнений разными способами.
  • Развитие логического мышления, повышение интереса к предмету.

Оборудование:

1. Компьютерный класс, мультимедийный проектор с экраном, презентация.

2. Компьютерный тест по теме "Решение квадратных уравнений" (в программе Excel).

3. Карточки уравнений, формул корней, формул дискриминантов для магнитной доски.

"Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы".
С.Коваль.

"Посредством уравнений, теорем
Он уйму разрешил проблем:
И засуху предсказывал, и ливни -
Поистине его познанья дивны".
Д. Чосер.

Ход урока

I. Организационный момент.

Презентация. Учитель зачитывает высказывание на экране (2 слайд) С.Коваль.

- А о ком написал эти слова Д.Чосер вы узнаете сегодня на уроке.

Учитель сообщает тему и цель.

- Систематизировать и обобщить способы решения квадратных уравнений, закрепить навыки решения квадратных уравнений различными способами, познакомиться с новыми способами, в частности со способом переброски.

II. Актуализация знаний. Исторические сведения.

1. Диктант. (3 слайд)

На экране 8 квадратных уравнений. Залог успеха - огромное внимание.

  1. 2х2 - 8х + 4 = 0
  2. 3х2 + 4х - 1 = 0
  3. 4х2 - 8 = 0
  4. 4х2 - 10х + 100 = 0
  5. 5х2 + 6х = 0
  6. х2 - 8х + 12 =0
  7. 3х2 = 0
  8. 4 - 2х2 + х = 0.

а) Выпишите номера полных квадратных уравнений (1, 2, 4, 6 ,8)

б) Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 8.

в) Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень

г) Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 5

д) Найдите дискриминант в уравнении 6

е) Найдите дискриминант в уравнении 4 и сделайте вывод о количестве корней.

Ответы: (появляются позже)

а) 1, 2, 4, 6, 8; б) а = - 2, в = 1, с = 4.
в) 7; г) а = 5, в =6, с = 0;
д) Д = 16; е) -1500, корней нет.

Проверяем и оцениваем себя сами.

  • Нет ошибок " 5"
  • 1 - 2 ошибки "4"
  • 3 - 4 ошибки "3".

2. Историческая справка.

- Какие ученые математики занимались изучением уравнений, их классификацией, способами их решения?

- Виет, Фибоначчи.

- Сегодня мы узнаем имя еще одного математика. Для этого ответьте на вопросы по способам решения квадратных уравнений (предлагать более простой, рациональный способ решения). 4 слайд.

А 3х2 - 2х - 5 = 0
Д х2 = 5
И 7х2 + 14х = 0
Н х 2 + 5х + 4 = 0
О х 2 + 4х + 4 = 0
Т х 2 - 4 = 0
Ф 2х 2 - 11х +5 = 0
Е х 2 + 2х = х 2 + 6
1. Какое уравнение можно решить извлечением квадратного корня? Д
2. Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки? И
3. Какое уравнение можно решить, представляя в виде квадрата двучлена? О
4. В каком уравнении надо применять общую формулу корней? Ф
5. Какое уравнение решается по формуле, используя четный коэффициент? А
6. Какое уравнение можно решить по теореме Виета? Н
7. Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов? Т

В результате получили имя Диофант. Один из учеников сообщает краткие сведения из жизни Диофанта. (На экране появляется 5 слайд)

На экране появляются (слайды 6 и 7) решения квадратных уравнений по следованию букв Диофант.

  1. х2 = 5, х = .
  2. 7х2 + 14х = 0,
    7х (х+2) = 0
    х=0 или х+2=0
    х = -2
  3. х2 + 4х +4 = 0
    (х + 2)2 = 0
    х + 2 = 0
  4. 2х2 - 11х + 5 = 0
    а = 2, в = - 11, с = 5
    Д= в2-4ас, Д = 121 - 40 = 81.
    Уравнение имеет два корня.
    х1,2 =, х1 = 5, х2 = .
  5. 3х2 - 2х - 5 = 0, а = 3, в = -2, с = -5,
    Д1 = к2 - ас = (-1)2 +15 = 16, 16 >0 - два различных корня
    х1,2 =, х1 = -1, х2 = .
  6. х2 + 5х + 4 = 0,
    р = 5, g = 4, Д = в2-4ас=25 -16 = 9, 9>0
    уравнение имеет два различных корня, по т. Виета х1+х2 = - 5, х1 * х2 = 4
    х1= -1, х2 = - 4.
  7. х2 - 4 = 0,
    х + 2 = 0 или х - 2 = 0,
    х = -2 х = 2

III. Систематизация и обобщение.

1. На экране 8 слайд

3х2 + 4х - 5 = 0

3х2 - 4х + 5 = 0

х2 + 4х + 3 = 0

х2 - 4х + 3 = 0

х2 + 4х - 5 = 0

х2 - 4 х - 5 = 0

- Как, не решая уравнения, узнать имеет ли уравнение корни?

- Если а и с с противоположными знаками, то уравнение имеет действительные корни

- Как определить знаки корней?

- Если свободный член - положительное число, то корни имеют одинаковые знаки. Дальше выясняем знак второго коэффициента. Если он отрицательный, то корни положительные, и наоборот. Если же свободный член - отрицательное число, то корни имеют противоположные знаки. Причем, если второй коэффициент положительный, то больший корень по модулю - отрицательный, и наоборот.

2. На экране 9 слайд.

- С чего лучше начать решение квадратного уравнения 2х2 + 4х - 10 = 0?

- Обе части разделить на 2.

- 3х2 +7х -8 = 0?

- Обе части уравнения умножить на минус единицу.

-Ученики часто спрашивают, для чего нужно анализировать, можно сразу начать решение, чтобы вы ответили?

- Для проверки и самоконтроля.

3. Определить: какие формулы каким уравнениям соответствуют?

На магнитной доске карточки с уравнениями (красного цвета), формулами корней (зеленого цвета) и формулами дискриминантов (синего цвета).

ах2 + вх + с = 0, ах2 + 2кх + с = 0, х2 + рх + g = 0,

Д = в2- 4ас, Д1 = к2 - ас, Д2 = р2 - 4g,

Х1,2= , Х1,2 = , х1 +х2 = - р, х1 х2 = q.

Формулы надо знать. А вот умение решать быстро, устно, уметь анализировать, к сожалению, дано не каждому. Но к этому надо стремиться, и при желании этого может достичь каждый.

IV. Решение квадратных уравнений.

1.Решить квадратное уравнение х2+2х-3=0 несколькими способами (по общей формуле, по четной, выделением полного квадрата, графическим, по т. Виета). Мальчики соревнуются с девочками.

2. На экране 10 слайд.

- А какие еще способы решения квадратных уравнений вы знаете?

- Способ коэффициентов. Если а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 =

1) 132х2- 247х+115=0 (х1=1, х2=)

2) 2008х2 - 2009х + 1 = 0.

Слайд 11.

Метод переброски.

1) 2х2 + х - 10 = 0

х2 + х - 20 = 0 (х1= х2==2)

Слайд 12.

2) 6х2 + 5х - 6 = 0

х2 + 5х - 36 =0 (х1= = -1,5, х2==)

Слайд 13.

Метод коэффициентов.

Если в уравнении ах2+ вх +с=0 а = с = mn, в = m 2+ n2, то х1 = -, х2 = -,

6х2 - 13 х + 6 = 0, 6 = 2*3, 13 = 32 +22 , х1 = , х2 =

Если а = - с = mn, в2 = m2 - n2, то корни имеют разные знаки х1= -, х2 = .

Знаки перед дробями определяются знаками второго коэффициента.

6х2 + 5х - 6 = 0, 6 = 2 * 3, но 5 = 32 - 22, х1 =, х2= -.

3. Работа на компьютере.

Решить квадратные уравнения. Тест.

1) 5х2 + 2х + 7 = 0,

1. Д<0, корней нет. 2. х1 = 2,5; х2 = - 3,5 .

3. х1 = 0; х2 = 10. 4. х1 = 2; х = 5.

2) 2х2 +3х - 5 = 0,

1. х1 = 2; х2 = -5. 2. х1 = 1; х2 = - 2,5.

3. х1 = 1; х2 = - 5. 4. х1 = 5; х2 = - 1.

3) х2 - 6х + 5 = 0,

1. х1 = 1; х2 = - 6. 2. х1 = - 5; х2 = -1.

3. х1 = 1; х2 = 5. 3. х1 = 5; х2 = -6.

4) х2 - 6х + 9 = 0,

1. Корней нет; 2. х1 = 1; х2 = 9.

3. х = 3. 4. х1 = 3; х2 = 6.

5) 12в2 + 2в - 2 = 0,

в2 + 2в - 24 = 0,

1. х1 = - ; х2 = . 2. х1 = -2; х2 = 6.

3. х1 = 4; х2 = - 6. 4. Корней нет.

Ответ: 12331

Слайд. 14

V. Итог урока. Домашнее задание.

Игра "Следствие ведут знатоки".

- Домашнее задание спрятано в кабинете. Я даю вам небольшую зацепку в деле. Бригада, которая будет действовать дружно, первой справится с заданием. Если вы правильно решите квадратное уравнение

х2 -7х + 10 = 0,

то х1 - укажет номер ряда, х2 - номер парты, где спрятано домашнее задание.

Слайд 15

2х2 +7х -74 = 0.

- Записываем найденное задание. Вычислите дискриминант. Это и есть номер задания в учебнике.

Слайд 16

Д =641.

- В нем 8 уравнений. Можно решить любое количество разными способами.

Литература.

  1. Алгебра 8 класс. Учебник для ОУ. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова; под редакцией С.А.Теляковского. М.: Просвещение, 2008.
  2. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. В.И.Жохов, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. М.: Просвещение, 2008.
  3. Как сделать презентацию к уроку? С.Л.Островский. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок". Первое сентября.
  4. Рабочая тетрадь по математике под общей редакцией Я.С.Безиковича. Газета "Первое сентября" Математика № 42/2001г
  5. Е.Ившина. "Решение квадратных уравнений". Газета "Первое сентября" Математика № 30/2004.