При подготовке к ЕГЭ очень часто решение задач на движение вызывает у старшеклассников трудности. Они связаны с тем, что такие задачи они решали давно, в курсе основной школы. Это были в основном задачи на основные типы движения - по прямой, по воде, на среднюю скорость, и совсем редко встречались задачи по замкнутой трассе, на протяженные тела. Повторение темы "Задачи на движение" надо начинать с темы "Задачи на движение по прямой". При этом при решении каждой задачи необходимо учитывать сложности, которые возникают при анализе процесса движения, выполнении чертежа, выборе способа решения и как следствие - создании математической модели задачи.
Цели урока:
- обобщить и систематизировать знания, умения решения задач на движение по прямой;
- познакомить с новым методом решения - методом подобия.
Задачи урока:
- повторить основные формулы пути, движения, на сближение и удаление;
- решить задачи на движение по прямой из открытого банка задач ЕГЭ, применяя различные способы;
- развивать навыки рассуждения, наблюдательности, умения проводить аналогии, обобщать, обосновывать, анализировать, делать выводы;
- формировать сознательное отношение к учебе, подготовке к экзамену.
Содержание урока.
Актуализация знаний.
В 2012 году задание В13 открытого банка задач ЕГЭ по математике включает в себя практически все типы текстовых задач, которые раньше предлагались на вступительных экзаменах в вузы: задачи на движение и работу, задачи на проценты, на растворы, сплавы и смеси, на движение по замкнутой трассе и нахождение средней скорости.
Постановка цели.
Сегодня на уроке мы повторим решение задач на движение по прямой (навстречу и вдогонку), рассмотрим различные способы решения. Познакомимся с новым методом решения.
Повторение теоретического материала.
Вспомним, что при решении задач на движение
принимают такие допущения: (Приложение
1.Слайд 4)
Полезный совет.
При решении задач на движение, рисуйте картинки. Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается, или "болтается" между пунктами А и В туда и обратно: На картинке сразу видно, какие отрезки пути можно просчитать. Картинка реально облегчает составление математической модели. Не знаешь, что делать, загляни в Памятку опорного конспекта!
Повторить по опорному конспекту (Приложение 2): взаимосвязь времени, скорости и расстояния; скорость и время удаления (сближения).
Решение задач.
Задача № 1. (Устно) По чертежу найдите скорость сближения и скорость удаления объектов и определите, на каком расстоянии друг от друга они будут через 1 ч после начала движения. (Приложение 1.Слайд 5)
Рисунок 1 Рисунок 2
Рисунок 3 Рисунок 4
Ответ: 1) 20 км/ч, 40 км; 2) 20 км/ч, 80 км; 3) 4 км/ч, 56 км; 4) 4 км/ч, 64 км.
Задача № 2. Расстояние между городами А и В 250 км. Из города А в город В со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 85 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах. (Приложение 1.Слайд 6)
Решение:
Выполним чертеж к задаче:
Рисунок 5
В задаче известны скорости каждого автомобиля, движение навстречу друг другу (опорный конспект). Решим задачу по действиям:
2 * 55 = 110 (км) - путь 1-ого автомобиля за 2 часа.
250 - 110 = 140 (км) - расстояние, которое надо проехать 1-ому и 2-ому автомобилю до встречи.
55 + 85 = 140 (км/ч) - скорость сближения.
140 : 140 = 1 (ч) - время встречи.
110 + 55 = 165 (км).
Напомним, что в бланках ЕГЭ ответ должен быть целым числом или конечной десятичной дробью, единицы измерения не пишут.
Ответ: 165 .
Задача № 3. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 112 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 6 км/ч большей прежней. По дороге он сделал остановку на 6 часов. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько и на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч. (Приложение 1.Слайд 7)
Решение:
Скорость велосипедиста из В в А на 6 км/ч больше, чем скорость из А в В. Пусть скорость из А в В х км/ч (х >0), тогда (х + 6) км/ч скорость из В в А.
Выполним чертеж к задаче:
Рисунок 6
Составим таблицу. (Приложение 2)
| Скорость v (км/ч) |
Время t (ч) |
Расстояние s (км) |
|
| из А в В | х |  |
112 |
| из В в А | х + 6 |  |
112 |
Зная, что на обратном пути он останавливался на 6 ч и в результате на него он затратил столько же времени, сколько на путь из А в В, составим уравнение:
Умножая обе части уравнения на х(х+6), 
, после
решения полученного уравнения приходим к
квадратному уравнению 
. Корни уравнения 
. Отсюда, 
, где х2
= - 14 не удовлетворяет условию х > 0.
Скорость из А в В равна 8 км/ч, значит, из В в А: 8 + 6 =
14 (км/ч).
Проверка: 1) 112 : 8 = 14 (ч) - время из А в В
2) 112 : (8 + 6) + 6 =14 (ч) - время из В в А.
Ответ: 14 .
Задача № 4. Из городов А и В навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 10 часов раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 55 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?
Решение:
Ни скорость мотоциклиста и велосипедиста, ни расстояние от А до В нам неизвестны. Мы знаем, что движение обоих равномерное, скорость - постоянная величина. Расстояние зависит от времени, s(t) = vt, где v = const, - функция прямой пропорциональности, графиком которой является прямая. Выполним чертеж к задаче, построив схематические графики движения мотоциклиста и велосипедиста. (Приложение 1.Слайд 8)
Рисунок 7
AR - схематический график движения мотоциклиста, BK - схематический график движения велосипедиста, точка N соответствует моменту их встречи через 55 минут. Пусть х мин (х >0) - время мотоциклиста от момента встречи до прибытия в пункт В., т.е. DR = x минут. Из условия задачи следует, что МК = 600 минут. (Приложение 1.Слайд 9)
Рисунок 8
BD = AC = 55, DR = CM = x. Из подобия двух пар
треугольников BDN и CNК, DNR и CAN, получим пропорции: 
. Откуда 
Решая
пропорцию, приходим к квадратному уравнению,
корни которого 
Отсюда, 
, что не удовлетворяет условию х >0.
Найдем сколько часов затратил велосипедист на путь из В в А:
55 + 5 = 60 (мин) = 1 (ч), 2) 1 ч + 10 ч = 11 ч.
Метод, которым мы решали, называют методом подобия.
Ответ: 11.
Задача № 5. Расстояние между городами А и В равно 203 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 3 часа следом за ним со скоростью 110 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ в километрах. (Приложение 1.Слайд 10)
Решение:
Выполним чертеж к задаче:
Рисунок 9
Пусть скорость автомобиля х км/ч (х > 0),
а искомое расстояние АС = у км. На участке
АС движение вдогонку, причем время, затраченное
обоими транспортными средствами на этом участке,
равно t = АС : 110 = у : 110 (ч). Расстояние, пройденное
автомобилем за первые три часа AD = 3х (км).
Учитывая, что на участке АС движение вдогонку и в
пункте С они встретились, получаем AD = 
(км).
Составим уравнение: 
После встречи в пункте С автомобиль и мотоцикл,
двигаясь в противоположных направлениях,
начинают и заканчивают движение одновременно.
Расстояние, которое они проходят за время t = у : 100
(ч), АВ = 
(км). Зная, что АВ = 203 км, составим уравнение: 
Составим
и решим систему уравнений:
, приравниваем
полученные выражения: 
Решая пропорцию, приходим к
квадратному уравнению 
Корни уравнения
Отсюда, 
. Значит, х = 35, у = 154,
т.е. АС = 154 км.
Проверка: 1) 154 : (3 + 
) = 35 (км/ч) - скорость автомобиля,
2) 154 : =
110 (км/ч) - скорость мотоциклиста,
3) (35 +
110) = 203 (км) - АВ.
Ответ: 154 .
Самостоятельная работа. (Приложение 1.Слайд 11)
Ответы (Приложение 1.Слайд 12): 1 вариант: № 1 2 , № 2 340 , № 3 10;
2 вариант: № 1 2 , № 2 350 , № 3 11.
Подведение итога урока.
Домашнее задание. (Приложение 3)
Заключительное слово:
На следующих уроках мы продолжим повторение темы "Задачи на движение", где рассмотрим задачи на движение по воде, по замкнутой трассе и протяженных тел, на нахождение средней скорости.
Урок я хочу закончить словами известного математика Дж. Пойа: "Если хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их". (Приложение 1.Слайд 13)