Исследование квадратных уравнений с параметрами

“Три пути ведут к знанию:
путь размышления – этот
путь самый благородный, путь
подражания – этот путь самый
легкий и путь опыта – этот путь
самый горький”
Конфуций.

Цели и задачи:

• Образовательные: выработать умение исследовать квадратные уравнения с параметрами.
• Развивающие: развивать интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь.
• Воспитательные: развивать личностные качества учащихся, такие как целеустремленности, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.

Оборудование:

• Компьютер;
• Мультимедийный проектор;
• Интерактивная доска.

Подготовительный этап:

Учитель дает ученикам подготовить справку об основных определениях:

1. Задачи с параметром;
2. Область допустимых значений параметра;
3. Что значит решить задачу с параметром.

Тип урока: Изучение нового материала.

Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие. Психологический настрой учащихся на работу.

II. Изучение нового материала. Ребята, сегодня мы будем исследовать квадратные уравнения с параметрами. Уравнения с параметром стали I. привычной частью вариантов экзаменов. И хотя они широко представлены в многочисленных пособиях для абитуриентов (в частности, имеются пособия, посвященные исключительно методам решения таких задач), в школьной практике такие задачи встречаются редко. Решение задач с параметром часто вызывает затруднения – ведь каждая такая задача требует рассмотрения целого класса задач, для каждой из которых должно быть получено решение. Пусть, например, дано уравнение F(x;а) = 0. Если придать параметру а какое-либо фиксированное значение, то данное уравнение можно рассматривать как “обычное” уравнение с одной переменной. При выбранном значении параметра возможна одна из следующих ситуаций.

Уравнение:

1. не имеет смысла;
2. не имеет корней (решений);
3. имеет одно, два, три... корня (решения);
4. имеет бесконечное множество корней (решений).

(Для наглядного представления материала демонстрируется презентация.)

Таким образом, ответ в задаче с параметром существенно зависит от выбранного значения а.

Сформулируем некоторые определения. (Выступление учащихся.)

Задача с параметром – это множество задач, каждая из которых получается из условия подстановкой конкретного значения параметра.

Область допустимых значений параметра – это множество значений параметра, при подстановке которых получается задача, имеющая смысл.

Решить задачу с параметром – означает для любого допустимого значения параметра найти множество всех решений данной задачи.

Существуют задачи с параметром двух основных типов.

В задачах первого типа требуется для каждого значения параметра решить задачу. Понятно, что выписать и решить каждую задачу из бесконечного множества задач невозможно. Тем не менее, требуется решить все задачи. Для этого необходимо:

1) разбить область допустимых значений параметра на части, на каждой из которых задачу можно решить одним и тем же способом
2) на каждой из полученных частей решить задачу.

В задачах второго типа требуется найти все значения параметра, при каждом из которых выполнены те или иные заданные условия.

Универсальных методов решения уравнений с параметрами не существует.

Задача 1. Решите уравнение: ax² + 2x + 1 = 0 .

Решение. При а = 0 это уравнение линейное и имеет единственное решение .

При а≠0 это уравнение – квадратное и имеет действительные решения тогда и только тогда, когда D = 4 – 4a > 0, то есть при а ≤ 1.

При а=1 решение х = – 1 – единственно,

При а<1, а≠0 – решений два, и они даются формулами .

При а > 1 уравнение решении не имеет.

Полученный результат допускает простую графическую иллюстрацию. Для иллюстрации используют либо координатную плоскость Оху, либо координатную плоскость Оха.

В первом случае данное уравнение записывается в виде: 2x + 1 = – ax²

Во втором случае строится график уравнения на координатной плоскости Оха. Для этого удобно выразить из уравнения а через х: .

Схематически график уравнения представлен на рисунке 1.

Рис. 1.

На этом рисунке вновь хорошо видно, что для а=1построенному графику принадлежит только одна точка. При а<1 и а≠0 – две, а при а=0 – вновь одна. Наконец, при а>1 – таких точек нет.

Задача 2. Решите уравнение |x² – 2x – 3| = a  в зависимости от параметра а.

Решение. Понятно, что при а≥0:

Но все ли корни подходят? Чтобы это выяснить, построим график функции a = |x² – 2x – 3|

Количество корней можно усмотреть непосредственно на рисунке 2, мысленно проводя прямые линии, соответствующие значениям а. Получим:

если а<0, то корней нет;

если а=0 и а>4, то два корня.

Рис. 2.

Найдем эти корни.

При а=0 получим x² – 2x – 3 = 0 , и х₁= – 1, х₂= 3; при а>4 это корни уравнения x² – 2x – 3 – a = 0 .

Если 0 < a < 4 – все 4 корня подходят.

Если а = 4 – три корня:

1. если а<0, то корней нет;
2. если а=0, то х₁= – 1, х₂= 3;
3. если 0 < a < 4, то ;
4. если а = 4, то х= – 1, ;
5. если а>4, то .

Задача 3. Решите уравнение x² + x + a = 0 . Дайте геометрическую иллюстрацию полученных результатов.

Самостоятельно проведите аналитическое решение этого уравнения (заслушиваются ответы учащихся).

Рассматривая графическую иллюстрацию, перепишем уравнение в виде a = x² – x . отсюда видно, что в этом примере рассмотренные способы иллюстрации совпадают. Выделяя в правой части уравнения полный квадрат, получим:

функция, состоящая в правой части, задает параболу с вершиной в точке , ветви которой направлены вниз. Уравнение у=а, стоящее в левой части, задает семейство прямых, параллельных оси Ох (рис. 3).

Рис. 3.

Дайте самостоятельно комментарий к этому чертежу.

III. Проверочная работа.

Вариант 1. При каких значениях параметра а уравнения x² + 3x + 7a – 21 = 0   и x² + 6x + 5a – 6 = 0  имеют общий корень?

Вариант 2. При каких значениях параметра а уравнения x² – ax + 2 = 0  и 3x² + (a – 9)x + 3 = 0  равносильны?

IV. Домашнее задание. № 2.23; № 2.25; № 2.26 (сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе).

V. Итог урока.