Цели:
- создать условия для формирования умения решать простейшие комбинаторные задачи, используя правило умножения для комбинаторных задач;
- создать условия для формирования коммуникативных умений через включение учащихся в групповую работу;
- создание условий для привития интереса к математике как элементу общечеловеческой культуры;
- создание условий для формирования творческой активности учащихся;
Задачи:
Образовательные: К концу урока учащиеся должны:
- Иметь представление о переборе всех возможных вариантов, о простейших комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, о правиле умножения;
- Уметь решать простейшие комбинаторные задачи, используя правило умножения и правило деления для комбинаторных задач;
- Знать о переборе всех возможных вариантов, о комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, о правиле умножения.
Воспитательные: Способствовать:
- формированию познавательного интереса к предмету;
- воспитанию чувства патриотизма.
Развивающие: Способствовать:
- развитию речи; творческого мышления;
- развитию умения излагать информацию, интерпретируя факты, разъясняя значение и смысл теории.
Ход урока
I. Актуализация знаний
Слово учителя: В нашей повседневной жизни мы часто встречаемся с ситуациями, когда нам приходится подсчитывать возможные варианты тех или иных событий.
В пятом классе мы с вами уже познакомились с достоверными, невозможными и случайными событиями. Познакомились с простейшими комбинаторными задачами, т.е. задачами в которых приходилось осуществлять перебор всех возможных вариантов, или как говорят в таких случаях, всех возможных комбинаций. Слово «комбинаторика» происходит от латинского combino – соединяю. Давайте вспомним основные теоретические положения:
Устный опрос
- Какие задачи называются комбинаторными? (задачи в которых осуществляют перебор всех возможных вариантов);
- Как называется раздел математики, занимающийся поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую? (комбинаторика);
- Может ли комбинаторика помочь в реальной жизни?
- Как часто вы комбинируете в реальной жизни?
- Каким способом вы умеете решать комбинаторные задачи?
(«дерево» вариантов); - В чем заключается метод решения задач по «дереву » вариантов?
II. Изучение нового материала
Давайте вспомним один из способов решения комбинаторных задач.
Задача. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?
Какой способ вы использовали в 5-м классе для решения такой задачи?
(построение «дерева» возможных вариантов).
Построим «дерево» вариантов и ответим на вопрос задачи. (Учащиеся работают в группах, затем правильность выполнения работы проверяется на слайде 1)
Приложение 1
Используя дерево возможных вариантов, мы можем подсчитать, сколько стран могут использовать такую символику.
Таким образом, получилось 6 комбинаций. Значит, указанную символику при выборе государственного флага могут использовать 6 стран.
Вопрос на который вы должны знать ответ: какой из представленных на рисунке флагов является Государственным флагом России? (Российский флаг «триколор» выделен на этой схеме).
Что означает каждый цвет флага? Белый цвет означает мир, чистоту, совершенство; синий – цвет веры и верности; красный – энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.
«Дерево» вариантов можно считать геометрической моделью рассматриваемой ситуации.
Рассмотрим вторую задачу: Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?
(Учащиеся работают в группах несколько минут).
Слово учителя: С какой проблемой вы столкнулись?
Предполагаемый ответ учащихся. «Дерево» вариантов имеет много «веток». Так как вариантов много, то можно легко допустить ошибку в подсчете всевозможных способов.
Слово учителя: Давайте ребята попробуем обойтись без «дерева» вариантов, и, используя логические рассуждения и здравый смысл подсчитать количество данных двузначных чисел.
- Какая цифра у интересующих нас двузначных чисел на первом месте (цифра десятков) может находиться?
Ответ: Любая из заданных цифр кроме цифры 0. Не существует двузначного числа, начинающегося с цифры 0.
Слово учителя: Значит, цифрой десятков может служить одна из цифр 1, 2, 3 или 4. Поэтому в первой группе только 4 «ветви».
- Сколько вариантов для цифры единиц возможно для каждого из этих случаев?
Ответ: Возможны пять вариантов – 0, 1, 2, 3, 4.
Всего получаем 4•5 = 20 вариантов.
Про такой способ рассуждений обычно говорят так: мы использовали правило умножения.
Слово учителя: Сформулируем правило умножения.
Если первый элемент в комбинации можно выбрать a способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет a •b.
Слово учителя: Рассмотрим несколько устных задач на применение правила умножения.
У Насти 3 брюк и 5 блузок, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды она может составить? (3*5=15)
В 5-м классе в субботу 4 урока: математика, русский язык, информатика и музыка. Сколько можно составить вариантов расписания в субботу? (4*3*2*1=24).
III. Выполнение упражнений
№ 498
В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару дежурных обязательно должны составить мальчик и девочка, б) без указанного условия?
Решение:
А) Для выбора девочки в качестве дежурного есть 15 вариантов. Если девочка дежурной назначена, то имеется 13 вариантов выбора мальчика в качестве второго дежурного.
Всего: 15*13= 195 способов.
Ответ: 195 способов.
Б) Для выбора первого дежурного имеется 28 способов. Для каждого из них существует 27 способов выбора второго дежурного.
Всего 28*27 = 756 способов.
Но среди этих 756 пар есть одинаковые пары. Для простоты рассуждений перенумеруем учеников (в списке каждому ученику присваивается номер). Тогда ясно, что например, пара «ученик №1, ученик №2» и пара «ученик №2 , ученик №1» это одна и та же пара. Таким образом, мы каждую пару посчитали дважды. Значит, полученный результат надо уменьшить вдвое: 756:2= 378
Ответ: 378 способов.
Слайд 2
В данной задаче мы использовали с вами правило деления. Давайте его сформулируем: если при подсчете искомых комбинаций мы каждую из них подсчитали т раз, то нужно поделить найденное количество комбинаций на m.
Слово учителя: итак, сегодня, вы познакомились еще с одним способом решения комбинаторных задач: использование правила умножения и правила деления для подсчета возможных вариантов.
Давайте сравним известные вам способы решения комбинаторных задач.
Слайд 3
| Способ решения | «плюсы» | «минусы» |
| «дерево» возможных вариантов | Можно увидеть все варианты | Громоздкий способ, если много вариантов |
| Правило умножения, правило деления | Быстрота решения, компактность | Невозможно увидеть все варианты, можно только подсчитать их количество |
Поэтому для каждой конкретной задачи вы выбираете удобный способ решения.
№ 499 (работа в группах)
В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего ученика этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если
а) все члены этой группы – девочки;
б) все члены этой группы – мальчики;
в) в группе 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?
1 группа (а) – (455 способов);
2 группа (б) – (220 способов);
3 группа (в) – (990 способов);
4 группа (г) – (1260 способов).
Отчет групп о выполнение решения задач. Фронтальное обсуждение.
IV. Домашнее задание.
§16. правило умножения, правило деления для комбинаторных задач.
№ 500
В списке 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшей ученицы этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) все члены группы – девочки;
б) все члены группы – мальчики;
в) в группе 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?
Решение:
а) 14*13*12=2184, 2184:6=364.
Ответ: 364 способа.
б) 13*12*11=1716, 1716:6=286.
Ответ: 286 способов.
в) (13*12):2=78, 78*14=1092.
Ответ: 1092способа.
г) ((14*13):2)*13=1183.
Ответ: 1183 способа.
№ 509
В двух урнах имеется по семь шаров , в каждой – семи различных цветов: красного, оранжевого, желтого, зеленого, голубого, синего, фиолетового. Из каждой урны одновременно вынимается по одному шару.
а) Сколько существует комбинаций, при которых вынутые шары одного цвета?
Ответ: 7.
б) Сколько возможно комбинаций, при которых вытянутые шары разных цветов?
Ответ: 21 комбинация.
в) Сколько всего существует различных комбинаций вынутых шаров (комбинации
типа «белый – красный» и «красный – белый» считаются одинаковыми?
Ответ: 28 комбинаций.
Список литературы
- Математика, 6 кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений/ И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2008.– 264 с.: ил.
- Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы: лекции 1-4. Е.А.Бунимович, В.А. Булычев. – М.: Педагогический университет « Первое сентября», 2006. – 128с.
- Летний тематический номер./ Статистика, Вероятность, Комбинаторика. Математика, приложение к газете «Первое сентября», №14, 2009.