Цель урока: Уметь применять знания по арифметической и геометрической прогрессиям при решении задач.
Задания представлены в двух вариантах и систематизированы по темам. Варианты могут быть использованы в самостоятельной работе, в работе по группам, в коллективной работе класса, в качестве индивидуальных заданий.
Системы уравнений
Вариант 1
- В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 132, а сумма второго и третьего членов равна 110. Найдите три первые члена этой прогрессии.
- Найдите четвертый член возрастающей арифметической прогрессии, в которой сумма первых десяти членов равна 155, а произведение ее первого и десятого членов равно 58.
- В магазине в конце августа продали 1200 тетрадей трех видов по цене соответственно: 2 руб, 4 руб и 6 руб на сумму 4200 рублей. Сколько тетрадей каждого вида было продано в магазине , если количество проданных тетрадей соответственно каждого вида образуют арифметическую прогрессию?
Вариант 2
- Найдите первые три члена геометрической прогрессии, если сумма первых ее трех членов равна 10,5 , а разность первого и четвертого членов равна 31,5.
- Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 26, а произведение ее второго и четвертого членов равно 160. Найдите сумму первых шести членов прогрессии.
- Цена поездки на электричке внутри города постоянна, а проезд в каждую пригородную зону увеличивает цену билета на одно и тоже число рублей. Рекламному агенту из города пришлось в понедельник ехать в первую зону, во вторник ехать во вторую зону, в среду в третью и т.д.. Каждый день он возвращался тоже на электричке. В понедельник и вторник он потратил на билеты 52 рубля, в среду и четверг – 84 рубля, а все его билеты стоили 322 рубля. Сколько дней подряд ездил агент.
Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. Решая составленную систему уравнений 
разделим
почленно левую и правую части уравнений системы.
При этом q = -1 не является решением системы, так
как правые части обоих уравнений системы отличны
от нуля. Ответ: b1=72, b2=60,b3=50.
2. 
По теореме,
обратной теореме Виета (если сумма двух чисел
равна -p, а произведение равно q, то эти числа
являются корнями уравнения 
+px+ q=0). Решением системы является
пара корней квадратного уравнения 
-31x+58=0. Решениями будут
числа 2 и 29. Так как арифметическая прогрессия
возрастающая по условию, то 
, 
=29 Ответ : 
4=11.
3. 
Решить эту систему можно
либо способом подстановки, либо способом
сложения Ответ: 550,400,250 тетрадей.
Вариант 2
1. При решении системы уравнений 
применяется формула
разности кубов. Ответ: b1=3,5 , b2= -7, b 3=14.
2. 
Ответ: 
=87.
3. Пусть 1
р. потратил рекламный агент в понедельник, во
вторник –
2 р., в среду – 3 и т.д. , тогда 
Так как 
, то 
2n2+9n-161=0 , n=7
Ответ: 7 дней.
Неравенства
Вариант 1
- Найдите первый положительный член арифметической прогрессии: - 10,2 ; -9,5 ; … .
- Найдите сумму всех двузначных чисел , которые при делении на 7 дают в остатке 1.
- Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии : 3, 5, 7, … , сумма которых не превосходит 120.
Вариант 2
- Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии : 15,6 ; 15 ; … .
- Найдите сумму всех натуральных чисел , кратных 3, заключенных в промежутке от 100 до 200.
- Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии: 17, 14, 11,… , при сложении которых получится положительное число.
Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. n
; -10,2+0,7(n-1) ; n >15
, следовательно
а16 – первый положительный член
арифметической прогрессии Ответ: 16 =0,3.
2. n =
7(n+1)+1 ; 7(n+1)+1
99 ; n13 ; S13 = 741 Ответ : 741.
3. 
Ответ: 10.
Вариант 2
1. Ответ 28
= -0,6.
2. 100<
n<200
; 100<3n <200 ; 33
<n<66
; 34n66 ; Sn=
*33=4950 Ответ: 4950.
3. 
Ответ: 12.
Уравнения
Вариант 1
- Является ли число -78 членом арифметической
прогрессии (
n) , в которой 1=20 и 7= - 22.
- Решите уравнение 1+х+х2+х3+…+х99=0.
- Решите уравнение, в котором слагаемые в сумме, записанной в левой части уравнения, составляют арифметическую прогрессию: 1+7+13+…+х=280.
Вариант 2
- В геометрической прогрессии (bn) b1=11 ; bn=88 ; Sn=165 Найдите q и n.
- Решите уравнение: 1+х+х2+х3+…+х100=0.
- Решите уравнение: (x+1)+(x+4)+( x+7)+…+(x+28)=155.
Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. 7= 1+6 d ; d= -7 ;
-78=20-7(n-1) ; n =15 ; n
N Ответ : да.
2. b1=1 ; q=x ; S100=
; S100=0 ; x?1 ; x= -1 Ответ :-1.
3. Sn=280 ; 
*n =280 ; 1=1; d=6 ; 3n 2-2n-280=0 , так как n>0 ,
то n =10 ; 10=55
Ответ: 55.
Вариант 2
1. 
; q=2 ; 2n
-1=8 ; n=4 Ответ : q=2 ; n=4.
2. b1=1; q=x ; S101=
;S101=0 , так как x
1, то решений нет . Ответ: x
.
3. 1+4+7+…+28+xn=155 ; Sn+xn =155 ; 28=1+3(n-1) ; n=10 ; S10=145 ; 145+10x=155 ; x =1 Ответ: 1.
Среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел
Вариант 1
- В арифметической прогрессии ( n) m+ n=72 ; m-n=8. Найдите m.
- В геометрической прогрессии (bn) b19*b27=32 . Чему равно b23?
- Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять арифметическую прогрессию.
Вариант 2
- В геометрической прогрессии (bn) bm+n=72 ; bm- n=8. Найдите bm.
- В арифметической прогрессии ( n) 11+ 25=39 . Чему равно 18?
- Числа , b,c
являются последовательными членами
арифметической прогрессии. Докажите, что числа 2+ b+b2,
2+ c+c2, b2+
bc+c2 также являются последовательными
членами некоторой арифметической прогрессии.
Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. m= m+ n - d* n ; m= m -n + d *n ;
m =
; m =
;
m =40 . Каждый член арифметической прогрессии
является средним арифметическим предыдущего и
последующего членов, а также симметрично
расположенных членов относительно данного .
Ответ: 40.
2. b23=±
= ±
= ±4
, так как b 19
и b27 расположенны симметрично относительно
b23 Ответ: ±4 .
3. Пусть 1
2 -
длины катетов, а3 – длина гипотенузы, тогда +(
)2 = 
; 5
+2 1
3-3=0 ; ( 1-
3) ( 1+ 3)=0 ; ( 1-3) ( 1+ d)=0 ; 1+d=0; 1= - d. Так
как 1>0,
то d <0, что не удовлетворяет условию задачи,
следовательно, 1 = 
3, 2=
(3
+ 3)=
3 ; 1 : 2 : 3 = 
: 
: 1. Ответ : да, если они
относятся , как : :
1. Например треугольники со сторонами 3,4,5 ; 6,8,10;
9,12,15; ….
Вариант 2
1. Каждый член геометрической прогрессии является средним геометрическим предыдущего и последующего членов, а также симметрично расположенных членов относительно данного.
bm= 
; bm=
bm-n *qn ;| bm|=
, так как знаки членов
последовательности могут чередоваться. bm=±
= ±24 . Ответ: ±24 .
2. 18=
=19,5, так как 11 и 25
расположенны симметрично относительно a18
.Ответ:19,5.
3. По свойству арифметической прогрессии b = 
; 2+ c+c2 =
; 2+ c +c2 = 
;
2+ c+ c2 =
( 2+c2+( +c )2) ; 2+ c+c 2 = 2+ c+c2 .
Изображение членов последовательности на координатной плоскости
Вариант 1
- На рисунке (рисунок 1) изображены точками первые
восемь членов арифметической прогрессии.
Найдите 21.
- Изобразите на координатной плоскости первые
пять членов арифметической прогрессии ( n) и
напишите уравнение прямой , на которой лежат
построенные точки, если известно, что 10= - 10 ; 15 = - 17,5.
- Известно, что b7=
; b10= - 
. Найдите первые шесть членов
геометрической прогрессии ( bn) и изобразите
их на координатной плоскости. Определите
характер монотонности функции, на графике
которой лежат построенные точки.
Рисунок 1
Вариант 2
- На рисунке (рисунок 2) изображены точками первые
пять членов арифметической прогрессии. Найдите 24.
- Известно, что с16=7 , с23=11,2 . Изобразите на координатной плоскости первые шесть членов арифметической прогрессии (сn) и напишите уравнение прямой на которой лежат построенные точки.
- Найдите первые пять членов геометрической
прогрессии (dn) и изобразите их на
координатной плоскости, если известно, что d6=
; d9 = 
. Определите
характер монотонности функции, на графике
которой лежат построенные точки.
Рисунок 2
Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. Так как
n=kn +l , где k =d , l = 1 – d, то арифметическая
прогрессия является линейной функцией y=kn +
l на множестве натуральных чисел , d=
и равно , где 
-
угол наклона прямой к оси абсцисс. Ответ : 21 = 9.
2. 1=3,5 ;
d= - 1,5 ; 2=2
; 3=0,5 ; 4= - 1 ; 5= -2,5 ; y =dx+( 1-d ) ; y= - 1,5x
+5 . Ответ: y= - 1,5 x+5.
3. q3=
; q= ; b 1= - 4 ; b2=
- 2 ; b3 = - 1 ; b4 = - ; b5 = - 
; b6 = - . Ответ: функция возрастает.
Вариант 2
1. d= - 
; Ответ:
24= - 22,75.
2. c1 = - 2 ; d=0,6 ; c2= -1,4 ; c3 = -0,8 ; c4 = - 0,2 ; c 5= 0,4 ; c6 =1 ; y=0,6x -2,6 . Ответ: y=0,6 x-2,6.
3. q3= ;
q= ; d 1=9 ; d2=3
; d3=1 ; d 4 =
; d5=
. Ответ: функция убывает.
Текстовые задачи
Вариант 1
- Клиент взял в банке кредит на сумму 800000 рублей под 12 % годовых на 3 года. Какова прибыль банка?
- При делении амебы , если она размножается без ограничений, получается две новые особи. Какое количество делений должно произойти для увеличения особей на 51100%?
- Число радиоактивных атомов по истечении определенного периода времени (период полураспада) уменьшается в два раза. Сколько процентов атомов радиоактивного йода останется спустя три периода полураспада?
Вариант 2
- Клиент открыл вклад на сумму 60000 рублей . Спустя два года он снял все проценты по вкладу, что в денежном эквиваленте составило 19350 рублей. Сколько процентов ежегодно начисляет банк по вкладу?
- При делении гидры, если она размножается без ограничений , получаются пять новых особей. По истечении некоторого времени одна особь составляла 0,16% от всех особей. Сколько делений произошло за это время?
- Число радиоактивных атомов по истечении определенного периода времени (период полураспада) уменьшается в два раза. Какая доля радиоактивных атомов некоторого элемента распадется за два периода полураспада?
Ответы и комментарии к заданиям.
Вариант 1
1. b1=800000 ; q=1,12 ; b4= b1q 3 ;b4=800000*(1,12)3=1123942,4 р, следовательно прибыль банка 1123942,4-800000=323942,4р. Ответ: 323942,4р .
2. Ответ: 9делений.
3. N4=N 1q3 ; q= ; N4= 
1 . Ответ: 12,5%.
Вариант 2
1. b1=60000 ; b3=19350+60000=79350 ; b 3=b1
q2 ; q 2=
= 1,3225 ;q=1,15 . Значит процентная ставка по
этому вкладу составляла 15% годовых . Ответ: 15%.
2. Ответ : 4 деления.
3. N3=N 1q2 ; q= ; N3=N 1 ; N1- N3=
N1 ; Ответ :
0,75.
Подведение итогов урока.
Повторяя арифметическую и геометрическую прогрессии, мы повторили способы решения систем уравнений; решение линейных неравенств, неравенств второй степени, двойных неравенств; среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел; функциональную зависимость.
Оценивается работа учащихся.
Литература:
- Алгебра 9 класс, учебник, под редакцией С.А.Теляковского.
- Алгебра и начала анализа, 9 и 11 выпускные классы, Е.В.Якушева и др..
- Алгебра, 9 класс . Дополнительные главы к школьному учебнику, Ю.Н. Макарычев , Н.Г.Миндюк.
- Алгебра 9 класс , ГИА, 2010 г. Типовые тестовые задания , ФИПИ. В.В. Мирошин.