Образовательная цель: Совершенствовать навыки решения уравнений с параметром с помощью понятия «пучок прямых на плоскости».
Развивающая цель: Развить исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.
Оборудование: Проектор, экран.
Ход урока
I. Оргмомент
Приветствие, объявление темы урока и его целей
II. Подготовка к основному этапу урока
Мотивация: Тема «Задачи с параметрами» занимает особое место в подготовке к вступительным экзаменам в вузы по математике. Решение таких задач развивает исследовательские умения и навыки, что позволяет абитуриентам выдержать конкурсные испытания в престижные вузы. Задачи с параметром каждый год предлагаются в наиболее трудной части С единого государственного экзамена. Поэтому для того, чтобы с ними справиться, нужна специальная подготовка по решению различных типов таких задач.
Актуализация опорных знаний:
1. Ответы учащихся на вопросы учителя по слайду 2
Вопросы:
- Каким одним уравнением можно задать эти прямые?
- Какие значения принимает параметр а?
- Приведите примеры.
Обобщение учителя: Уравнение у = ах есть уравнение данного пучка прямых.
Число а - параметр пучка, характеризующий направление
прямой. Точка (О;О) — центр пучка.
2. Выполнение задания по слайду 3
Задание учителя: Выполним последовательно параллельный перенос пучка прямых у = ах на 3 единицы вверх по оси Оу и затем параллельный перенос на 2 единицы вправо вдоль оси Ох.
Назовите центр пучка. Выведите уравнение нового пучка прямых.
Замечание учителя: Перепишем полученное уравнение: у - 3 = а (х -2). В таком виде легко сразу назвать центр пучка.
3. Выполнение упражнения: Среди данных уравнений найти уравнение пучка прямых и назвать его центр:
- у=аx2+4х-7;
- у=ах+1;
- у=аx3 -3;
- у=а
+2; - у=ах-3а-2.
4. Вывод учащихся: Уравнение пучка прямых, проx0дящих через точку (x0;уо), имеет вид:
у - уо = а (х- x0); (x0;уо) — центр пучка; параметр а угловой коэффициент конкретной прямой.
III. Усвоение новых знаний и способов действий
Слово учителя: Мы сегодня будем решать задачи с параметром, в которых надо найти значения параметра, при которых уравнение имеет заданное число корней. При этом применим понятие пучка прямых.
Решение задач
Задача 1 Найдите значения параметра а, при котором уравнение | x2 - 5х +6| = ах имеет ровно три корня.
Решение:
Рассмотрим систему:
у=|x2 -5х+6|
у=ах
Построим графики данных функций на одной координатной плоскости.
Уравнение у = ах - уравнение пучка прямых с центром в точке (0;0).
Работа по слайду 4: Ищем значения параметра а, при которых прямая из пучка у = ах пересекает график функции у =|x2 -5х+6| в 3-х точках. В динамике видно, что такой прямой будет прямая пучка, касающаяся графика в точке, абсцисса которой принадлежит промежутку [2 ; 3].
Выведем ее уравнение:
f(x0)= - x02 +5x0 - 6, f‘= - 2х+5.f‘(x0)= - 2x0 +5
Получим у = (5-2x0)х - x02 - 6
Так как эта прямая принадлежит пучку прямых у = ах, имеем x02 - 6 = 0.
Отсюда, x0 = ±
, 
є [2;3]. Тогда а = 5- 2
.
Уравнение прямой имеет вид: у = (5 - 2
) х.
Ответ: а = 5-2
.
Задача 2 Найдите значения параметра а, при которых уравнение |3х +3| = ах +5 имеет единственное решение.
Решение:
Решим графически систему уравнении
y = |3х +3| y = |3х +3| у=ах+5 у-5=а(х-0)
Построим графики данных функций на одной координатной плоскости.
Работа по слайдам 5 и 6
Что представляет собой 2-е уравнение системы?
В чем состоит графический способ решения данной системы?
Из множества прямых пучка у - 5 = а (х - 0) выбрать те прямые, которые пересекают
график функции у =|3х +3 | в единственной точке и определить, при каких значениях параметра это происxодит.
Проследим за динамикой прямых пучка по слайду 6.
Определим границы: у = - 3х+5, у = 3х +5. Кроме этих прямых условию задачи удовлетворяют и прямые пучка «внутри» угла.
Ответ: а є (- ∞; - 3]U [3; +∞).
IV. Первичная проверка знания
Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой.
Задача 3 Определите значения параметра а, при которых уравнение |x2- 2х -3| = ах+1- а имеет три решения.
Проверка по образцу:
Показ слайдов 7 и 8.
Ответ: а = ± ½
V. Закрепление знаний и способов действий
Работа у доски учащегося
Задача 4. Исследовать количество решений уравнения |х| -3 =а (х-9) в зависимости от а.
Ответ: Уравнение
- имеет 1 корень, если а є (- ∞; - 1] U (1;+ ∞) и а = ⅓
- имеет два корня, если а є (-1; ⅓ );
- не имеет корней, если а є (⅓; 1].
VI. Обобщение и систематизация знаний
Работа по задачам 1. 2, 3
Задание: Исследовать количество решений в зависимости от параметра а.
VII. Контроль и самопроверка знаний
Самостоятельная работа учащихся по вариантам
- Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х – а = 2| 2 |х| – а2 | имеет три различных корня.
- Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение |2х – а| + 1 = |х + 3| имеет единственное решение.