Семинар по теме "Теорема Пифагора" в 8-м классе

Разделы: Математика

Цель семинара: обобщить разные способы доказательства теоремы Пифагора и закрепить навыки их применения для решения задач.

Задачи семинара:

  • развивать коммуникативные способности учащихся;
  • развивать математическую речь и умение дискутировать;
  • развивать критическое и логическое мышление;
  • воспитывать навыки культуры труда (при выполнении практической работы);
  • развивать деятельностные умения.

Формы организации работы учащихся:

  • фронтальный опрос,
  • сообщения учащихся об интересных математических фактах,
  • анализ домашней практической работы,
  • решение задач по готовым чертежам,
  • сравнительный анализ разных способов доказательства теоремы.
  • работа в группах по решению задач,
  • самостоятельная работа,
  • подведение итогов работы семинара учащимися.

Вопросы к семинару:

– Как формулируется теорема Пифагора?
– На применении, каких свойств многоугольников основано доказательство теоремы в учебнике?
– Какой треугольник называется египетским?
– Какие натуральные числа x, y, z удовлетворяют уравнению Пифагора: х2 + y2 = z2?
– Верны ли предложения, содержащиеся в «Сутрах» Древней Индии:

1) квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей стороны;
2) квадрат, построенный на диагонали данного квадрата, в 2 раза больше его самого?

– Где можно применить теорему Пифагора?

План Семинара:

  • Цели семинара.
  • Рассказ о Пифагоре и пифагорейцах.
  • Основной способ доказательства теоремы (изложенный в учебнике).
  • Разные способы доказательства теоремы Пифагора.
  • Проверка домашнего практического задания.
  • Рассказ о египетском треугольнике.
  • Пифагоровы тройки.
  • Решение задач по готовому чертежу.
  • Работа в группах.
  • Комментарий домашнего задания.
  • Итог семинара.

 

ХОД СЕМИНАРА

– Сегодня, ребята, мы осуществим путешествие в страну Пифагорию. В каждой стране есть свой основной закон, который называется конституцией. В Пифагории таким основным законом будет теорема Пифагора. Всем путешественникам нужно будет вспомнить доказательство теоремы, изложенное в учебнике Л.С.Атанасяна, познакомиться с другими способами доказательства этой теоремы и закрепить навыки применения этой теоремы при решении задач. Успехов вам в сегодняшнем путешествии.

Внимательно послушайте рассказ о Пифагоре и его учениках и затем задайте вопросы по его содержанию. Подробнее о Пифагоре вы можете прочитать в книге А.В. Волошинова «Пифагор».

Имя Пифагора чаще всего связывают с теоремой Пифагора. Давайте повторим  основной способ доказательства теоремы, изложенный в учебнике. После доказательства можно задать вопросы классу: «На применении, каких свойств многоугольников основано доказательство теоремы  в учебнике», «Какие свойства площадей многоугольников вы знаете?», «Какой геометрический факт доказал Пифагор?».

Способов доказательства этого утверждения существует более 100. Послушайте некоторые из них. (Учащиеся знакомят класс с другими способами доказательства теоремы. Затем учащимся предлагается выбрать наиболее рациональный способ и аргументировать свой выбор).

А теперь давайте проверим решение домашних задач и домашнюю практическую работу. Дома вам предлагалось построить прямоугольные треугольники и проверить выполняется ли для их сторон равенство: с? = а? + в?  и изготовить египетские треугольники.                  (Можно задать вопросы: Чему равны стороны вашего треугольника? Какое равенство выполняется? Какой вывод можно сделать из вашей работы? (В любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов)

Сегодня на уроке вы познакомились с различными способами  доказательства теоремы Пифагора. А теперь послушайте, как эта теорема может применяться на практике для построения прямого угла (сообщения учащихся о египетском треугольнике и пифагоровых тройках.)

Итог  1 урока: (подводят учащиеся).

Можно задать вспомогательные вопросы:
1. В чём состоит значение теоремы Пифагора?
2. Для какого треугольника справедлива теорема Пифагора?
3. Что утверждает теорема Пифагора?
4. Справедлива ли теорема ей обратная?
5. Где можно применить теорему Пифагора?

(Эта одна из основных теорем школьного курса геометрии. На её основе и основе обратной теоремы доказываются другие теоремы и решаются многие задачи).

Урок 2.

На первом уроке, ребята, вы узнали новые способы доказательства теоремы Пифагора, узнали, какой треугольник называется египетским, некоторые Пифагоровы тройки чисел. А теперь, используя теорему Пифагора, давайте порешаем задачи.

Задача 1.(по готовому чертежу)

Какой из треугольников, изображённых на доске, будет лишним и  почему:

Рисунок 1 

(Лишним будет ?MNK,так как он не будет прямоугольным, потому что для него не выполняется теорема Пифагора, т.е. равенство 9? = 5? + 7? – неверно. Какой из этих треугольников называется египетским? Для чего в Древнем Египте применяли треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц?)

Задача 2.

Чему равен угол треугольника со сторонами: 5 см, 12 см и 13 см, противолежащий большей стороне? (132 = 122 + 52, значит угол, противолежащий большей стороне будет прямым (т.е. равен 90°) Как называется сторона, равная 13 см? А стороны 5 см и 12 см?

А теперь работаем в группах.
Решаем задачи 1 и 2, написанные на карточках. Вам нужно будет доказать предложения, содержащиеся в «Сутрах» Древней Индии:
1. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей стороны.
2. Квадрат, построенный на диагонали данного квадрата, в 2 раза больше данного квадрата.
(Доказательства разобрать у доски.)
Затем учащиеся работают индивидуально. Решают самостоятельно задачи 3, 4 и 5, написанные на карточках.

Задача 3.

У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а. Найдите катет в, если с = 5; а = 3.

Задача 4.

Выкраивая деталь, раскройщица допустила неточность (деталь должна быть треугольной формы). Вычислите гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Задача 5.

Вычислите ширину пруда, если PS = 12 см; PR = 15 см; RQ = 6 см, используя теорему Пифагора. К третьей задаче в помощь вам написан алгоритм её решения. Кому он нужен, можете им воспользоваться. К четвёртой задаче прилагается деталь выкройки. К пятой задаче прилагается рисунок на карточке:

Рисунок 2

Алгоритм решения задачи 3

У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а. Найдите катет в, если с = 5; а = 3.

Алгоритм  решения:

1. Постройте прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.
2. Обозначьте стороны треугольника буквами: а, в, с.
3. Запишите, что в задаче дано и что надо найти.
4. Запишите равенство, соответствующее теореме Пифагора.
5. Обозначьте неизвестный катет за х.
6. Составьте уравнение и решите его.
7. Запишите ответ.

Рисунок к задаче 4

Рисунок 3

Разные способы доказательства теоремы Пифагора

Первый способ доказательства теоремы Пифагора.

Наверное, самым первым доказательством теоремы Пифагора является доказательство для равнобедренного прямоугольного треугольника.
Из каких геометрических фигур состоят квадраты, построенные на катетах и квадрат, построенный на гипотенузе?
Достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы, утверждающей, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Квадрат, построенный на гипотенузе АВ (квадрат АВМN) содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах (квадраты ACKL и CBEF) – по 2 таких треугольника.
Значит: AB2 = AC2 + CB2, то есть с2 = а2 + в2.
Значит, теорему Пифагора можно перефразировать так:
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах этого треугольника.
Такое доказательство теоремы Пифагора часто снабжают фразой: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».
Эта одна из главных теорем геометрии. Из неё можно вывести большинство других теорем. Вы будете её часто использовать в школьном курсе. Из этого следует, что теорему Пифагора нужно твёрдо знать. 

Рисунок 4 

Второй способ доказательства теоремы Пифагора.

Дано: ∆АВС, < С = 90° (АВ = с; ВС = а; АС = в)

Доказать:

  1. Доп. построение: достроим чертёж до квадрата АВDС, со стороной с.
  2. Проведем DК ┴ ВС; DК = а
  3. Проведем ЕL ┴ DK; EL = a
  4. Проведём АМ ┴ EL; AM ? a
  5. Получили 4 прямоугольных треугольника: ∆ABC = ∆BKD = ∆DLE = ∆EMA (по гипотенузе и катету)
  6. KL = a – b; LM = a – b; CM = a – b; KC = a – b
  7. Значит KLMC – квадрат (ромб с прямыми углами – квадрат)
  8. S(KLMC) = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
  9. S(ABDE) = c2
  10. S(ABDE) = 4 . (ab / 2) + (a – b?), т.е. c2 = 2ab + a2 – 2ab + b2, т.е. с2 = a2 + b2

Рисунок 5

Третий способ доказательства теоремы Пифагора.

Дано: ∆АВС; < С = 90°; ВС = а; АС = b; АВ = с.
Доказать: с2 = а2 + b2
Доказательство:

  1. Доп. Построение: достроим чертеж до квадрата со стороной а + b – получим квадрат CMKL
  2. S(CVKL) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  3. S1(∆ABC) = 1/2 ab
  4. ∆BCA = ∆AMD = ∆DKP = ∆PLB (по двум катетам)
  5. Равные фигуры имеют равные площади.
  6. Значит: S1(∆ABC) = S2(∆AMD) = S3(∆DKP) = S4(∆PLB) = 1/2ab
  7. S(ADPB) = c2
  8. Площадь фигуры, разбитой на части равна сумме площадей её частей. Значит: S(CMKL) = 4S1 + c2 = 4 . 1/2ab + c2 = 2ab + c2
  9. Итак: a2 = 2ab = b2 = 2ab + c2
  10. Значит: a2 + b2 = c2 (если мы из обеих частей верного равенства вычитаем одинаковые слагаемые, то получим верное равенство)
  11. т.е. c2 = a2 + b2

Рисунок 6

Четвертый способ доказательства теоремы Пифагора

Теорема Пифагора замечательна тем, что сама по себе не очевидна, т. е. глядя на прямоугольный треугольник, не увидишь, что между сторонами есть такое простое соотношение: c2 = a2 + b2.
Зато это соотношение становиться очевидным из построения квадратов со стороной a + b, но по-разному разбитых на части. у разбитых на части.Сравните 2 рисунка и исследуя эти рисунки объяснитеСравните 2 рисунка и, исследуя эти рисунки объясните, почему c2 = a2 + b2.

Большие квадраты равны, следовательно, равны их площади.

Первый квадрат состоит из квадрата со стороной с и четырёх треугольников с катетами а и в.
Второй квадрат состоит из двух квадратов (один со стороной а, другой со стороной в) и четырех таких же треугольников.

Исключив там и там треугольники видим, что с2 = а2 + в2.

В этом и есть прелесть геометрии: посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным. В математических трактатах Древней Индии, доказывая теорему, часто приводили лишь рисунки, сопровождаемые лишь одним словом «смотри». Ведь сравнить 2 рисунка нетрудно – а в них и суть доказательства.

Рисунок 7

Итог семинара:

Задать классу вопросы:

  • Что интересного вы узнала во время семинара?
  • Справились ли вы со всеми задачами, стоящими перед вами на этом семинаре?
  • Решение каких задач у вас вызвало затруднения?
  • Какие сообщения одноклассников вам понравились больше и почему?
  • Какой же факт доказал Пифагор?
  • В каких случаях применяется обратная теорема Пифагора?
  • В чем значение теоремы Пифагора?

Приложение 1