Цели:
- показать применение метода математического моделирования для исследования и решения прикладных задач.
- сформировать у учащихся представление о развитии и уточнении построенной математической модели, способствующей развитию математического мышления и творческой активности учащихся, а также формированию умения применять теоретические знания на практике.
"Хороший учитель обязан понимать, что никакую задачу нельзя исчерпать до конца.
Этот взгляд он должен прививать и своим ученикам".
Д.Пойа.
Обучению решению задач является одной из важнейших составляющих практики преподавания, так как задачи используются не только в качестве основного средства для усвоения математических понятий, но и как материал, способствующий развитию математического мышления и творческой активности учащихся, а также формированию умения применять теоретические знания на практике. Однако, как показывают практика обучения и анализ результатов экзаменационных работ выпускников и абитуриентов, умение решать задачи оставляет желать намного лучшего. И это в особенности касается задач на построение математической модели, вызывающих у учащихся наибольшие затруднения.
Очень часто при решении практической задачи удается, изучив условие задачи, построить её математическую модель, на этой модели осуществить решение задачи, а затем перевести результат решения на язык исходной ситуации, т.е. сделать практический вывод. В этом и состоит
могущество математического метода познания природы, широкая прикладная направленность математики.
В науке широко используется метод моделирования и заключается он в том, что для исследования какого-либо явления или объекта, выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому объекту. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих переносят на первоначальное явление или объект.
Например, разрезая конус плоскостями, получаем в сечении различные кривые: окружности, эллипсы, параболы, гиперболы. Математики еще в древности начали изучение этих кривых, результаты которых имеют большое значение для физики, техники, астрономии, военного дела, где очень часто встречаются эти кривые. Однако лишь тогда, когда, пользуясь методом Декарта и Ферма, были составлены уравнения этих кривых, их изучение сразу резко продвинулось вперед и с помощью этих уравнений - моделей кривых конических сечений: были решены все основные задачи, с ними связанные. Заметим, что уравнения кривых выступают в качестве моделей соответственно окружности, эллипса, параболы и гиперболы, а эти кривые в свою очередь можно рассматривать как геометрические модели данных уравнений.
Задачи, которые предлагаются в школьных учебниках на моделирование, как правило, приводят лишь к статистическим моделям, в то время как на производстве, транспорте, в сельском хозяйстве и т.п., приходится решать задачи, приводящие к динамичным моделям, т.е. моделям, которые постоянно уточняются, обновляются в зависимости от варьирования параметров моделируемого явления. Рассмотрим на примере решения некоторых задач по теме: " Наибольшее и наименьшее значения функции", каким образом можно формировать у учащихся представление о развитии и уточнении построенной математической модели.
Рассмотрим следующие задачи:
Задача № 1.
Для размещения склада требуется огородить
участок прямоугольной формы наибольшей площади
имеющейся для этого сеткой длиной 80 м. 
Найдите длину и ширину
участка.
Решение: обозначим длину одной из сторон
искомого прямоугольника через х м, тогда площадь
S ( х) прямоугольника выразится формулой: S (х) = х(40
- х)=40х - х
, где х 
(0; 40). Исследуя полученную
функцию, убеждаемся, что участок наибольшей
формы - квадрат 20х20 м, max S(x)=400 м2.
Затем проводим работу, цель которой - обратить внимание учащихся на возможную динамичность процесса математического моделирования. Для этого вводим дополнительные условия, соответствующие реальной ситуации, например, в таком виде: "Как правило, склад строится не на открытом месте, а около каких-либо построек. Какие возможны случаи ограждения склада?"
Наиболее часто встречаются два случая:
1) когда склад примыкает к одной стене постройки;
2) одновременно к двум стенам постройки.
В первом случае, видим, что площадь S(x) выражается уже другой формулой S(x) = 2(40x - x), где х м - длина стороны, не примыкающей к постройке.
Исследуя эту функцию, учащиеся приходят к выводу, что в этом случае оптимальные размеры таковы: длина стороны, примыкающей к постройке 40 м, длина другой стороны 20 м, наибольшая площадь равна 800 м2.
Перед разбором второго случая можно предложить учащимся сделать прогноз предполагаемых оптимальных размеров склада, а затем формальным путем выяснить, что функция S (x)= x(80 - x) принимает наибольшее значение при х=40: S (40) =1600 (м2).
Подводя итоги работы над задачей, обращаем внимание учащихся на то, что одна из характерных особенностей математического моделирования состоит в сопоставлении построенной модели с описываемым ей явлением. Результатом такого сопоставления, как правило, является учет каких-то новых моментов в рассматриваемом явлении, следовательно, и уточнение модели.
Рассмотрение этой задачи желательно сопровождать схемой территории предприятия, с помощью которой на содержательном уровне выявляются возможности для устройства склада наибольшей площади, а на формальном - уточняется математическая модель, описывающая величину площади склада. Применение схемы позволяет последовательно находить оптимальные варианты размещения склада, используя для ограждения сетку той же длины.
Задача № 2.
При движении теплохода по озеру расходы N в
рублях на 1 км пути определяется по формуле N(v)=аv
+
, где v - скорость теплохода (в
км/ч), a и b - определяемые из опыта коэффициенты.
Найдите скорость теплохода, при которой расходы
будут наименьшими, если, а = 0,001 и b=60.
Решение: с помощью производной находим
значение скорости v, при которой функция N(v) = 0,001v
+ 
достигает наименьшего значения
на интервале (0;+
): v=12 км/ч,
min N(v) = N(12) 
6,728 (рубля на
1км).
Затем рассматривается ситуация, при которой,
согласно маршруту, движение теплохода
продолжается по реке против течения. Опытным
путем установлено, что при таком движении
расходы увеличиваются на величину,
пропорциональную скорости движения, т.е. N(v) = 0,001v
+
+ kv, где k - коэффициент
пропорциональности.
Чтобы определить значение коэффициента k, необходимо использовать какие-либо начальные условия. Например, известно, что при скорости в 20 км/ч расходы N(20) = 12,2 рубля на 1 км.
Формулируется задание: "Найдите значение k и определите скорость теплохода по реке против течения, при которой расходы N минимальны".
В результате совместной работы учителя и
учащихся вычисляется значение коэффициента k: k =
0,06 ,уточняется математическая модель- функция N:
N(v) = 0001v
+ 
+ 0,06v, описывающая расходы
при движении теплохода ,определяется
наивыгоднейшей значение скорости v : v 11,4 км/ч, при этом min N(v) = N(11,4) 7,4 (рубля на 1 км пути).
Наконец, можно нарисовать картину, которая
соответствует возвращению теплохода в порт
отправления. Тогда возникает задача о нахождении
наивыгоднейшей скорости движения по течению.
Задание можно сформулировать в таком виде:
"Сменив груз, теплоход взял курс в порт
отправления. При таком движении расходы
снизились на величину, пропорциональную
скорости: N (v) = 0001v+ - kv, причем
установлено, что при скорости v = 20 км/ч расходы
на 1 км пути составляют 5 рублей. Определите k и
найдите наивыгоднейшую скорость при движении по
течению".
Это задание учащиеся выполняют самостоятельно.
В результате получается, что оптимальная при
таком движении по реке скорость v 14,1км/ч, а расходы N снижаются до 2,8
рубля на 1км пути.
Далее можно предложить учащимся сравнивать скорости, разным условиям движения теплохода; сравнивать математические модели, описывающие расходы с учетом особенностей течения реки. После выяснения этих вопросов следует отметить, что учет влияния на расходы таких факторов, как скорость ветра, особенности русла реки, швартовки к пристани и т.п., требует более тонкого математического инструментария.
Однако из условий проверки математической модели на адекватность описания процесса - это совпадение физических размерностей величин, входящих в формулу.
Поэтому можно предложить учащимся упражнение:
"Каковы должны быть физические размерности
коэффициентов a. b, k, чтобы формула N(v)=аv++ kv правильно описывала расходы
на 1км плавания?"
Математическое моделирование некоторых производственных задач опирается на соотношения, известные учащимся, но в ряде случаев оно основывается на зависимостях, которые невозможно установить в рамках школьной программы.
В пищевой, химической и других отраслях промышленности в огромных масштабах используются металлические сосуды, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда. По технологическим соображениям эти сосуды изготовляются с заданным отношением высоты k сосуда к одному из размеров основания. В целях экономии требуется, чтобы при изготовлении сосудов заданной ёмкости расход металла, эмалей, лаков, красок, широко применяющихся в качестве покрытий, был возможно меньшим.
Важное практическое значение приобретает такая задача:
Задача № 3.
Каковы должны быть размеры прямоугольного сосуда заданной ёмкости V с заданным значением величины k, чтобы расход металла на его изготовление был наименьшим?
Решение: если расход металла на швы не учитывать, а толщину стенок, дна и крышки считать одинаковой, то за параметр, определяющий расход металла на изготовление сосуда, принять площадь S его поверхности.
Обозначим размеры сосуда через x, y, z и пусть 
z=ky, то получим:
, где a=2k , 
.
Функция S имеет наименьшее значение при 
и что решение
задачи задаётся формулами
, 
, 
.
Прямоугольные сосуды различной ёмкости производятся в стране в огромных количествах, то становится очевидным, что отступление от оптимальных размеров приводит к значительным убыткам.
Приведем условия задач и дополнительные задания к ним, позволяющие акцентировать внимание на динамическом характере математической модели, выработать первоначальные навыки уточнения модели. Такого рода упражнения могут быть использованы по усмотрению учителя при закреплении умений, связанных с решением задач одномерной оптимизации в домашних, самостоятельных, проверочных и других работах.
Задача № 4.
Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200м, и площадь её при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?
Следующие задачи предлагаются для самостоятельной работы:
Задача № 5.
Стоимость эксплуатации катера плывущего со
скоростью V км/ч, составляет N(V)=(90 + 0,4 V 
) рублей в час. С какой
скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1км
пути была наименьшей?
Задача № 6.
Определить глубину открытого бассейна с
квадратным дном и объёмом 500 м
так, чтобы на половину его стен и дна пошло
наименьшее количество материала.
Дополнительные вопросы: "Как изменится математическая модель, описывающая расход материала на облицовку стен бассейна, если потребуется полностью покрыть стены бассейна материалом?
Каковы оптимальные размеры открытого бассейна?"
Задача № 7.
На странице книги печатный текст должен занимать 900 см2. Верхнее и нижнее поля страницы по 1,8 см, правое и левое по - 0.8 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
Дополнительные вопросы: "Как изменится математическая модель, описывающая экономию бумаги в тексте, если потребуется сделать верхнее и нижнее поле страницы по 3см, правое и левое - по 2см. Каковы должны быть наиболее оптимально выгодные размеры страницы?"
Задача № 8.
Дождевая капля, начальная масса которой m0, а начальная скорость равна 0, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности равен k). Через сколько секунд, после начала падения, кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она?
Дополнительный вопрос: "Как изменится величина наибольшей кинетической энергии капли, если ее начальная скорость будет отлична от нуля?"
Решение задачи может быть предложено только
наиболее подготовленным учащимся.
Указание: кинетическая энергия W в
момент t равна W (t) = 
, где m(t) - масса
капли к моменту t, а v(t) - скорость достигнутая к
моменту t.
Задача № 9.
Школьники занимаются сбором ягод, находясь в лесу в 9 км от ближайшей точки шоссе. Курьер на велосипеде отвозит собранную ягоду в пункт переработки, расположенный в 15 км от упомянутой точки шоссе (считаем шоссе прямой линией). Скорость курьера по лесу 8 км/ч, а по шоссе - 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо подъехать, чтобы в кратчайшее время доставить ягоды к месту переработки?
Дополнительные вопросы: "После сдачи ягод в пункты заготовки курьер может увеличить скорость по шоссе до 15 км/ч, а по лесу - до 10 км/ч. Каково в этом случае кратчайшее время возвращения? Каким должен быть при этом маршрут его движения? Каков оптимальный промежуток выполнения производственной операции в целом?"
Задача № 10.
По периметру участка прямоугольной формы, площадь которого 540 м2 устанавливают декоративную ограду. Для двух противоположных сторон используют металлическую ограду, цена 1 м которой 30 рублей. Для двух других сторон - деревянную ограду по 50 руб. за 1м. Каковы должны быть размеры участка, чтобы полная стоимость ограды была наименьшей?
Дополнительные вопросы: "Как изменится математическая модель, описывающая полную стоимость декоративной оградки, если весь участок огородить металлической оградой, цена 1м которой 40 рублей. Каковы оптимальные размеры такого участка?"
Следующую задачу можно рекомендовать учащимся в качестве исследовательской домашней работы в течение некоторого времени.
Задача № 11.
Требуется построить некоторое количество одинаковых жилых домов с общей площадью 40000 м. Затраты на постройку одного дома, имеющего N м жилой площади, складываются из стоимости фундамента, пропорциональной корню квадратному из величины жилой площади дома, и стоимости наземной части, пропорциональной кубу корня квадратного из величины жилой площади. Строительство дома на 1600 м обходится в 184,8 тыс. рублей, причем в этом случае стоимость наземной части составляет 32% стоимости фундамента. Определите, какое количество домов нужно построить, чтобы стоимость затрат была наименьшей, и найдите эту стоимость.
Дополнительное задание может быть связано, например, с учетом применения каких-либо новых материалов для покрытия полов: "Использование более совершенных строительных материалов для отделки покрытий пола уменьшает стоимость дома на величину, пропорциональную площади жилых комнат N. Определите, как в этом случае изменится функция, описывающая расходы на строительство одного дома, если при площади N = 2500 м стоимость дома с улучшенным покрытием пола равна 260 тыс. рублей. Сколько в этом случае нужно построить домов, чтобы сумма затрат была наименьшей? Какова эта сумма?"
Задача 12.
Требуется огородить участок земли, примыкающий одной стороной к морю, с помощью b м проволоки. Какую форму должен иметь участок, чтобы площадь его была наибольшей?
Задача 13.
Стоимость плавания корабля в течение часа
определяется формулой N=a+bv
, где a и b - постоянные, а v - скорость
корабля (первое слагаемое связано с расходами на
амортизацию и содержание команды, а второе - с
расходом топлива). При какой скорости судно
пройдет расстояние S с наименьшими затратами?
Литература.
1. А.Г.Цыпкин. "Справочное пособие по методам решения задач по математике".
2. "Алгебра и начала анализа 10-11". Под ред. А.Н.Колмогорова.
3. С.И. Шварцбурд, О.С. Ивашев-Мусатов. "Алгебра и начала анализа.
4. Н.Я.Виленкин, С.И. Шварцбурд. "Алгебра и математический анализ". 10 класс.