В данной статье я хочу поделиться своим опытом работы, накопленным при изучении темы “Метод интервалов” с учениками 9-го класса. Материал рассчитан на 2-3 урока в зависимости от скорости усвоения материала.
Содержание 1-го урока
Рациональное неравенство с одной
переменной – это неравенство вида f(x)>0, f(x)<0, f(x)
0, f(x) 
0, где f(x) – это
рациональное выражение, т.е. выражение,
составленное из чисел и переменной с помощью
операций сложения, умножения, деления,
возведения в степень. Эффективным методом
решения рациональных неравенств является метод
интервалов (МИ).
Но вначале повторим необходимые для понимания нового материала основные теоретические положения.
Итак:
- Что произойдет со знаком неравенства, если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число? (Останется прежним.)
- Что произойдет со знаком неравенства, если обе части умножить или разделить на одно и то же отрицательное число? (Знак изменится)
- Что называется областью определения функции? (Множество допустимых значений аргумента; другими словами, множество всех тех значений аргумента, при которых значение функции имеет смысл, и его можно вычислить).
- Что такое нуль функции? (Нулём функции называется такое значение аргумента, при котором значение функции обращается в нуль)
- Что мы понимаем под словосочетанием " интервал знакопостоянства функции"? (Интервал, на котором значение функции сохраняет свой знак)
- Как вынести множитель "а" в выражении ax+b (если, разумеется, "а" не равно нулю)? (а(x+b/a))
- Как вынести за скобку множитель "a" в выражении (ax+b)n? (аn(x+b/a)n)
- Как разложить квадратный трёхчлен на множители, если его дискриминант неотрицателен? (a(x-x1)(x-x2), а в случае D=0 получим a (x+b/2a)2)
- Как перейти от выражения а – х к выражению, содержащему х-а?
(a-x = - (x-a))
Сначала разберёмся, как применить метод интервалов для строгих неравенств.
В основе МИ лежит следующее свойство двучлена (x-a): точка а делит числовую ось на две части — справа от точки а двучлен (x-a) положителен, а слева от точки а - отрицателен. Продемонстрируем это графически на примере линейной функции у = х-2:
Рассмотрим пример (x–3)(x+2)(x–5) > 0
До сих пор мы имели дело с линейными и квадратными неравенствами, а здесь мы имеем дело с произведением трёх сомножителей. Последовательность наших действий такова:
- вводим функцию f(x)=(x–3)(x+2)(x–5);
- находим область определения функции; значения этой функции можно вычислить при любом х; D(f) =R;
- находим корни уравнения f(x) = 0 (нули функции) : х = 3 ; х = -2 или х = 5;
- изображаем на числовой прямой область определения и нули функции;
- отмечаем интервалы знакопостоянства: (-
; -2), (-2;3), (3;5), (5; +). - определяем знак сомножителей на каждом интервале и знаки всех значений функции:
(– |
(–2; 3) |
(3; 5) |
(5; + |
|
(x–3) |
– |
– |
+ |
+ |
(x+2) |
– |
+ |
+ |
+ |
(x–5) |
– |
– |
– |
+ |
Следовательно, знаки значений функции распределились следующим образом:
(– |
(–2; 3) |
(3; 5) |
(5; + |
|
f (x) |
– |
+ |
– |
+ |
В каждом из промежутков (–; –2), (–2; 3), (3; 5) и
(5; +) функция
сохраняет знак, а при переходе через точки –2; 3 и 5
её знак изменяется.
Из рисунка видно, что множеством
решений неравенства (x–3)(x+2)(x–5)
> 0 является объединение промежутков (-2;3) и (5; +
).
Теперь остаётся записать ответ: (-2; 3) U (5; +).
По этому алгоритму можно решать неравенства вида :
(x–x1)(x–x2)...(x–xn) >0 (< 0), где x – переменная, а x1, x2... xn – числа, среди которых пусть пока нет равных.
После моего объяснения ученики решают следующие три неравенства:
Пример 1. Решить неравенство (x+6)(x+1)(x–4)
< 0. Ответ: (– ; –6) U (–1; 4).
Пример 2.
Решить неравенство (х + 3)(х – 4)(2х + 5) < 0. Ответ: (-; -3)U(-5/2; 4).
Пример 3.
Решить неравенство х7 + 8х4 - х3 - 8 > 0. Ответ: (-2; -1)U(1; +).
Метод интервалов можно применять и при
решении неравенств вида 
> 0 (< 0), если заметить, что в
области своего определения неравенство 
> 0 (< 0)
равносильно неравенству Р(х) · Q(x) > 0 (<
0) .
Рассмотрим решение неравенства 
.
Область определения данного неравенства -
множество всех действительных чисел,
удовлетворяющих требованиям x 
-2 и x -1. Перейдём к равносильному
неравенству
(4 - х)(х2 - 5х + 6)(х2 + 3х + 2) < 0 и далее к (х - 4)(x-2)(х-3)(x+1)(x+2) > 0.
Отметим нули функции и проставим знаки значений функции на каждом из интервалов; запишем ответ.
Ответ
: (-2; -1) U (2; 3) U (4; +)
Урок 2
Если среди нулей функции есть двукратные, трёхкратные, ... n-кратные, то в общем виде имеем неравенство f(x) = (x–x1) k1 (x–x2) k2...(x–xn) kn > 0 (< 0), где x – переменная, x1, x2... xn – числа, а k1, k2, ..., kn — натуральные числа (они определяют кратность корня).
В основе общего метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х - а)n: точка а делит числовую ось на две части, причем: а) если n чётное, то выражение (х - а)n справа и слева от точки х = а сохраняет положительный знак, в этом случае точку а будем называть точкой чётной кратности; б) если n нечётное, то выражение (х - а)n справа от точки х = а положительно, а слева от точки х = а отрицательно, в этом случае точку а будем называть точкой нечётной кратности.
Продемонстрируем это графически на примере функций y = (x-2)2 и y = (x-2)3:
На этом рассуждении и основан общий метод интервалов для функций вида
f
(x) = (x–x1) k1 (x–x2) k2...(x–xn) kn :1) в этом случае областью определения функции являются все действительные числа;
2) находим корни уравнения f(x) = 0 или нули функции;
3) находим интервалы знакопостоянства;
4) определяем знак функции на каждом из интервалов следующим образом: справа от наибольшего из корней многочлена ставим знак плюс, а затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной корень хi меняем знак, если ki— нечётное число, и сохраняем знак, если ki — чётное число.
То есть, если среди чисел x1, x2... xn есть 2 одинаковых числа, то при переходе через этот нуль значение функции не меняет знак; если три, то меняет и т. д. Итак, если количество одинаковых чисел нечётно – знак меняется, если чётно – не меняется.
Покажу, как работает этот обобщённый метод интервалов для функций вида
f
(x) = (x–x1) k1 (x–x2) k2...(x–xn) kn на примере:Решить неравенство (х + 7)(2х - 5)3(x-6)5(3x + 10)4 > 0
Переходим к равносильному неравенству (х + 7) (х – 5/2)3(x-6)5 (x + 10/3)4 > 0 и далее к
(х – (- 7))(х – 5/2)3(х - 6)5(x - (- 10/3))4 > 0
На числовой оси отметим числа -7; -10/3 ; 5/2,6. Справа от наибольшего числа (числа 6) ставим знак плюс. При переходе через точку х = 6 многочлен меняет знак, так как двучлен
(х - 6)
возводится в нечётную степень, поэтому в промежутке (5/2; 6) ставим знак минус. При переходе через точку х = 5/2 многочлен меняет знак, так как двучлен (х – 5/2) возводится в нечётную степень, поэтому в промежутке (-10/3; 5/2) ставим знак плюс. При переходе через точку х = -10/3 многочлен не меняет знака, так как двучлен (x - (- 10/3)) возводится в чётную степень, поэтому в промежутке (-7;-10/3) ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку х = -7 многочлен меняет знак, так как двучлен (х + 7) возводится в первую степень, поэтому в промежутке (-; -7) ставим знак минус. Решением
неравенства будет совокупность промежутков, где
стоит знак плюс, т. е. объединение множеств
(-7; -10/3) U (-10/3; 5/2) U (6; +
) Ответ: (-7;
-10/3) U (-10/3; 5/2) U (6; +)
Рассмотрим еще один пример, где в левой части неравенства стоит дробное рациональное выражение:
Решить неравенство 
Перед учащимися на рабочем столе находится карточка с алгоритмом решения неравенств методом интервалов. В общем случае для непрерывной на каждом интервале функции этот алгоритм выглядит так.
1) Найти область определения функции.
2) Найти корни уравнения f(x) = 0 (нули функции).
3) Найти интервалы знакопостоянства (определить знак функции на каждом из интервалов).
4) Выбрать значения переменной, удовлетворяющие требованиям неравенства и записать ответ.
Область определения неравенства 
- множество всех
действительных чисел, удовлетворяющих
требованиям x
-2 и x 3/2.
В области определения исходного неравенства переходим к равносильному неравенству
(х2 + 1)(х2 - 1)2(х - 3)4(х + 2)3(2х - З)5 < 0
Поскольку неравенство х2 + 1 > 0 истинно при любом действительном значении х, то последнее неравенство равносильно неравенству
(х - 1)2(х + 1)2(х - 3)4(х + 2)3(х – 3/2)5 < 0
.На числовой оси отметим точки -2, -1, 1, 3/2, 3 и расставим знаки, как указано на рисунке
Ответ: (-2; -1) U (-1; 1) U (1; 3/2)
После моего объяснения ученики решают следующие три неравенства:
Пример 1. (1 - x)(x–2)2(x+8)2
> 0 Ответ:(– ; -8) U (-8; 1)
Пример 2. (x2 -5x+6) (x2 -3x+2) > 0 Ответ:
(– ; 1) U (3; )
Пример 3. (x2 -5x+6) (x2 - 4) (x2 - 9) >
0 Ответ: (– ; -3) U (-2;
2) U (2; 3) U (3; )
3 урок
А теперь рассмотрим решение нестрогих неравенств такого типа, в которых требуется указать не только те значения переменной, при которых значение функции больше или меньше нуля, но и не пропустить нули функции.
Здесь типовой ошибкой является потеря изолированного решения. Поясню это на примере.
Пусть требуется решить неравенство (x–2)(x–1)2
0.
Отметим на координатной прямой нули функции f(x)=(x–2)(x–1)2. В этом примере 1 - корень двойной кратности для уравнения (x–2)(x–1)2=0 , и 1 является решением неравенства, т. к. неравенство нестрогое.
Ответ: {1}U [2; +)
После моего объяснения ученики решают следующие два неравенства:
Пример 1. Решить неравенство (x2–6x+5)(x+3)2
0.
Ответ: {–3}U [1; 5]
Пример 2. Решить неравенство x3+15x2
225(x+15).
После тождественных преобразований, не нарушающих равносильность, получим
(x + 15)2 (x -15) 
Ответ:{–15}U[15; +)
А теперь рассмотрим решение нестрогих
неравенств вида 
(
0) .
Решить неравенство 
решим его для случая " 0"
Здесь точки 3; 4; 5 – нули функции, а точка х = 8 – точка разрыва.
В этом случае особенно важно обратить внимание на область определения функции.
Запишем неравенство в виде 
.
В области определения функции, где х - любое число, кроме 8, перейдём к равносильному неравенству
(x - 3)5(x - 5)7(x - 4)6(x - 8)3
0
Ответ
: (-; 3] U{4} U [5;8)
После моего объяснения ученики решают следующие два неравенства:
Пример 1. 
Ответ
: (-4; -3] U [2; 4) U {5}Пример 2. 
Ответ:{–1}U[2; +)
Обратите внимание, я не требую от учащихся каких либо жёстких рамок оформления решения неравенств; вы видели в моей статье разные способы записи решения. Главное, чтобы не было математических ошибок. Если ученик не записывал содержание каждого шага алгоритма, но правильно его выдерживал, не получил посторонних решений и не потерял решений, оценим его труд высоким баллом.
Очень надеюсь, что с этой статьёй вы пойдёте на урок и успешно его проведёте.
Спасибо за внимание!