В данной статье я хочу поделиться своим опытом работы, накопленным при изучении темы “Метод интервалов” с учениками 9-го класса. Материал рассчитан на 2-3 урока в зависимости от скорости усвоения материала.

Содержание 1-го урока

Рациональное неравенство с одной переменной – это неравенство вида f(x)>0, f(x)<0, f(x) 0, f(x) 0, где f(x) – это рациональное выражение, т.е. выражение, составленное из чисел и переменной с помощью операций сложения, умножения, деления, возведения в степень. Эффективным методом решения рациональных неравенств является метод интервалов (МИ).

Но вначале повторим необходимые для понимания нового материала основные теоретические положения.

Итак:

1. Что произойдет со знаком неравенства, если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число? (Останется прежним.)
2. Что произойдет со знаком неравенства, если обе части умножить или разделить на одно и то же отрицательное число? (Знак изменится)
3. Что называется областью определения функции? (Множество допустимых значений аргумента; другими словами, множество всех тех значений аргумента, при которых значение функции имеет смысл, и его можно вычислить).
4. Что такое нуль функции? (Нулём функции называется такое значение аргумента, при котором значение функции обращается в нуль)
5. Что мы понимаем под словосочетанием " интервал знакопостоянства функции"? (Интервал, на котором значение функции сохраняет свой знак)
6. Как вынести множитель "а" в выражении ax+b (если, разумеется, "а" не равно нулю)? (а(x+b/a))
7. Как вынести за скобку множитель "a" в выражении (ax+b)ⁿ? (аⁿ(x+b/a)ⁿ⁾
8. Как разложить квадратный трёхчлен на множители, если его дискриминант неотрицателен? (a(x-x₁)(x-x₂), а в случае D=0 получим a (x+b/2a)²⁾
9. Как перейти от выражения а – х к выражению, содержащему х-а?

(a-x = - (x-a))

Сначала разберёмся, как применить метод интервалов для строгих неравенств.

В основе МИ лежит следующее свойство двучлена (x-a): точка а делит числовую ось на две части — справа от точки а двучлен (x-a) положителен, а слева от точки а - отрицателен. Продемонстрируем это графически на примере линейной функции у = х-2:

Рассмотрим пример (x–3)(x+2)(x–5) > 0

До сих пор мы имели дело с линейными и квадратными неравенствами, а здесь мы имеем дело с произведением трёх сомножителей. Последовательность наших действий такова:

1. вводим функцию f(x)=(x–3)(x+2)(x–5);
2. находим область определения функции; значения этой функции можно вычислить при любом х; D(f) =R;
3. находим корни уравнения f(x) = 0 (нули функции) : х = 3 ; х = -2 или х = 5;
4. изображаем на числовой прямой область определения и нули функции;
5. отмечаем интервалы знакопостоянства: (-; -2), (-2;3), (3;5), (5; +).
6. определяем знак сомножителей на каждом интервале и знаки всех значений функции:

   	(–; –2)	(–2; 3)	(3; 5)	(5; +)
   (x–3)	–	–	+	+
   (x+2)	–	+	+	+
   (x–5)	–	–	–	+

Следовательно, знаки значений функции распределились следующим образом:

	(–; –2)	(–2; 3)	(3; 5)	(5; +)
f(x)	–	+	–	+

В каждом из промежутков (–; –2), (–2; 3), (3; 5) и (5; +) функция сохраняет знак, а при переходе через точки –2; 3 и 5 её знак изменяется.

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства (x–3)(x+2)(x–5) > 0 является объединение промежутков (-2;3) и (5; +).

Теперь остаётся записать ответ: (-2; 3) U (5; +).

По этому алгоритму можно решать неравенства вида :

(x–x₁)(x–x₂)...(x–x_n) >0 (< 0), где x – переменная, а  x₁, x₂... x_n – числа, среди которых пусть пока нет равных.

После моего объяснения ученики решают следующие три неравенства:

Пример 1. Решить неравенство (x+6)(x+1)(x–4) < 0. Ответ: (– ; –6) U (–1; 4).

Пример 2. Решить неравенство (х + 3)(х – 4)(2х + 5) < 0. Ответ: (-; -3)U(-5/2; 4).

Пример 3. Решить неравенство х⁷ + 8х⁴ - х³ - 8 > 0. Ответ: (-2; -1)U(1; + ).

Метод интервалов можно применять и при решении неравенств вида > 0 (< 0), если заметить, что в области своего определения неравенство > 0 (< 0) равносильно неравенству Р(х) · Q(x) > 0 (< 0) .

Рассмотрим решение неравенства .

Область определения данного неравенства - множество всех действительных чисел, удовлетворяющих требованиям x -2 и x -1. Перейдём к равносильному неравенству

(4 - х)(х² - 5х + 6)(х² + 3х + 2) < 0 и далее к (х - 4)(x-2)(х-3)(x+1)(x+2) > 0.

Отметим нули функции и проставим знаки значений функции на каждом из интервалов; запишем ответ.

Ответ: (-2; -1) U (2; 3) U (4; +)

Урок 2

Если среди нулей функции есть двукратные, трёхкратные, ... n-кратные, то в общем виде имеем неравенство f(x) = (x–x₁) ^k1 (x–x₂) ^k2...(x–x_n) ^kn > 0 (< 0), где x – переменная, x₁, x₂... x_n – числа, а  k₁, k₂, ..., k_n — натуральные числа (они определяют кратность корня).

В основе общего метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х - а)ⁿ: точка а делит числовую ось на две части, причем: а) если n чётное, то выражение (х - а)ⁿ справа и слева от точки х = а сохраняет положительный знак, в этом случае точку а будем называть точкой чётной кратности; б) если n нечётное, то выражение (х - а)ⁿ справа от точки х = а положительно, а слева от точки х = а отрицательно, в этом случае точку а будем называть точкой нечётной кратности.

Продемонстрируем это графически на примере функций y = (x-2)² и y = (x-2)³:

На этом рассуждении и основан общий метод интервалов для функций вида

f(x) = (x–x₁) ^k1 (x–x₂) ^k2...(x–x_n) ^kn :

1) в этом случае областью определения функции являются все действительные числа;

2) находим корни уравнения f(x) = 0 или нули функции;

3) находим интервалы знакопостоянства;

4) определяем знак функции на каждом из интервалов следующим образом: справа от наибольшего из корней многочлена ставим знак плюс, а затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной корень х_i меняем знак, если k_i— нечётное число, и сохраняем знак, если k_i — чётное число.

То есть, если среди чисел x₁, x₂... x_n есть 2 одинаковых числа, то при переходе через этот нуль значение функции не меняет знак; если три, то меняет и т. д. Итак, если количество одинаковых чисел нечётно – знак меняется, если чётно – не меняется.

Покажу, как работает этот обобщённый метод интервалов для функций вида

f(x) = (x–x₁) ^k1 (x–x₂) ^k2...(x–x_n) ^kn на примере:

Решить неравенство (х + 7)(2х - 5)³(x-6)⁵(3x + 10)⁴ > 0

Переходим к равносильному неравенству (х + 7) (х – 5/2)³(x-6)⁵ (x + 10/3)⁴ > 0 и далее к

(х – (- 7))(х – 5/2)³(х - 6)⁵(x - (- 10/3))⁴ > 0

На числовой оси отметим числа -7; -10/3 ; 5/2,6. Справа от наибольшего числа (числа 6) ставим знак плюс. При переходе через точку х = 6 многочлен меняет знак, так как двучлен

(х - 6) возводится в нечётную степень, поэтому в промежутке (5/2; 6) ставим знак минус. При переходе через точку х = 5/2 многочлен меняет знак, так как двучлен (х – 5/2) возводится в нечётную степень, поэтому в промежутке (-10/3; 5/2) ставим знак плюс. При переходе через точку х = -10/3 многочлен не меняет знака, так как двучлен (x - (- 10/3)) возводится в чётную степень, поэтому в промежутке (-7;-10/3) ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку х = -7 многочлен меняет знак, так как двучлен (х + 7) возводится в первую степень, поэтому в промежутке (-; -7) ставим знак минус. Решением неравенства будет совокупность промежутков, где стоит знак плюс, т. е. объединение множеств

(-7; -10/3) U (-10/3; 5/2) U (6; +) Ответ: (-7; -10/3) U (-10/3; 5/2) U (6; +)

Рассмотрим еще один пример, где в левой части неравенства стоит дробное рациональное выражение:

Решить неравенство

Перед учащимися на рабочем столе находится карточка с алгоритмом решения неравенств методом интервалов. В общем случае для непрерывной на каждом интервале функции этот алгоритм выглядит так.

1) Найти область определения функции.

2) Найти корни уравнения f(x) = 0 (нули функции).

3) Найти интервалы знакопостоянства (определить знак функции на каждом из интервалов).

4) Выбрать значения переменной, удовлетворяющие требованиям неравенства и записать ответ.

Область определения неравенства - множество всех действительных чисел, удовлетворяющих требованиям x -2 и x 3/2.

В области определения исходного неравенства переходим к равносильному неравенству

(х² + 1)(х² - 1)²(х - 3)⁴(х + 2)³(2х - З)⁵ < 0

Поскольку неравенство х² + 1 > 0 истинно при любом действительном значении х, то последнее неравенство равносильно неравенству

(х - 1)²(х + 1)²(х - 3)⁴(х + 2)³(х – 3/2)⁵ < 0.

На числовой оси отметим точки -2, -1, 1, 3/2, 3 и расставим знаки, как указано на рисунке

Ответ: (-2; -1) U (-1; 1) U (1; 3/2)

После моего объяснения ученики решают следующие три неравенства:

Пример 1. (1 - x)(x–2)²(x+8)² > 0 Ответ:(– ; -8) U (-8; 1)

Пример 2. (x² -5x+6) (x² -3x+2) > 0 Ответ: (– ; 1) U (3; )

Пример 3. (x² -5x+6) (x² - 4) (x² - 9) > 0 Ответ: (– ; -3) U (-2; 2) U (2; 3) U (3; )

3 урок

А теперь рассмотрим решение нестрогих неравенств такого типа, в которых требуется указать не только те значения переменной, при которых значение функции больше или меньше нуля, но и не пропустить нули функции.

Здесь типовой ошибкой является потеря изолированного решения. Поясню это на примере.

Пусть требуется решить неравенство (x–2)(x–1)² 0.

Отметим на координатной прямой нули функции f(x)=(x–2)(x–1)². В этом примере 1 - корень двойной кратности для уравнения (x–2)(x–1)²=0 , и 1 является решением неравенства, т. к. неравенство нестрогое.

Ответ: {1}U [2; +)

После моего объяснения ученики решают следующие два неравенства:

Пример 1. Решить неравенство (x²–6x+5)(x+3)² 0.

Ответ: {–3}U [1; 5]

Пример 2. Решить неравенство x³+15x² 225(x+15).

После тождественных преобразований, не нарушающих равносильность, получим

(x + 15)² (x -15)

Ответ:{–15}U[15; +)

А теперь рассмотрим решение нестрогих неравенств вида ( 0) .

Решить неравенство решим его для случая " 0"

Здесь точки 3; 4; 5 – нули функции, а точка х = 8– точка разрыва.

В этом случае особенно важно обратить внимание на область определения функции.

Запишем неравенство в виде .

В области определения функции, где х - любое число, кроме 8, перейдём к равносильному неравенству

(x - 3)⁵(x - 5)⁷(x - 4)⁶(x - 8)³ 0

Ответ: (-; 3] U{4} U [5;8)

После моего объяснения ученики решают следующие два неравенства:

Пример 1.

Ответ: (-4; -3] U [2; 4) U {5}

Пример 2. Ответ:{–1}U[2; +)

Обратите внимание, я не требую от учащихся каких либо жёстких рамок оформления решения неравенств; вы видели в моей статье разные способы записи решения. Главное, чтобы не было математических ошибок. Если ученик не записывал содержание каждого шага алгоритма, но правильно его выдерживал, не получил посторонних решений и не потерял решений, оценим его труд высоким баллом.

Очень надеюсь, что с этой статьёй вы пойдёте на урок и успешно его проведёте.

Спасибо за внимание!