План-конспект открытого урока "Решение показательных уравнений"

Цели урока:

Образовательные:

• познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.

Развивающие:

• развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли

Воспитательные:

• воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование: таблица, доска, тесты, цветные мелки.

Тип урока: комбинированный.

Оформление: эпиграф:

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.

С.Коваль. “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Устно:

1. Какая функция называется показательной?
2. Область значений показательной функции.
3. Что называется корнем уравнения?
4. Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4^х?
5. Сравнить числа 2,7³ и 1.
6. Что является графиком линейной функции?
7. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5^x, 4) у = x³.

3. Математический диктант.

Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”. Два варианта: а) и б).

1.а) является ли убывающей функция y =2^x.
б) является ли возрастающей функция y = (0,3)^x.

2.а) является ли показательным уравнение ?
б) является ли показательным уравнение ?

3. а) верно ли, что областью определения показательной функции является R?
б) верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)?

4.а) верно ли, что если b>0, то уравнение a^x = b имеет один корень,
б) верно ли, что если b=0, то уравнение a^x = b не имеет корней.

5.а) является ли число 3 корнем уравнения 2^x = 8,
б)является ли число 2 корнем уравнения 0,3^x = 0,09.

4. Изложение нового материала.

Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Так как показательная функция а^х монотонна и ее область значений (0, ?), то простейшее показательное уравнение а^х=в имеет корень при в >0. Именно к виду а^х=в надо сводить более сложные уравнения.

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.

1.Простейшие уравнения: (устно)

а)2^х-5 = 16

Приведение обеих частей к общему основанию:

2^х-5 = 2⁴

Данное уравнение равносильно уравнению:

х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.

б)3^х = -9

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.

7^х + 7^х+2 = 350
7^х + 7^х7² = 350
7^х(1+ 49) = 350
7^х =350:50
7^х = 7
х = 1
Ответ: х=1.

3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.

16^х – 174^х + 16 = 0

Пусть 4^х = t, где t , тогда уравнение примет вид:

t² - 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

t₁=1, t₂=16

Если t₁ = 1, то 4^х = 1, 4^х = 4⁰, х₁ = 0.

Если t₁ = 16, то 4^х = 16, 4^х = 4², х₂ = 2

Ответ: х₁ = 0, х₂ = 2.

4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.

При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.

15^х + 20^х = 25^х

Корень данного уравнения равен 2.

Действительно, при подстановке получаем верное равенство:

15²+ 20² = 25²

625 = 625

Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:

+= 1

+= 1

Функции , – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: х = 2.

5. Графический метод.

Решить уравнение: 4^х = 5-х

В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4^х и у = 5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций

у = 4^х и у = 5-х

Проверка: х = 1, 4¹ = 5-1, 4 = 4 (верно)

Ответ: х = 1.

6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.

2 · 2³· 2⁵·… ·2^2х-1 = 512

2^{1+3+5+…+2х-1} = 512

Рассмотрим арифметическую прогрессию (а_n) из х членов, где а_n = 2 n-1, а₁ = 1:

S_n =х= х·х = х²

⁹
х² = 9
х₁ = 3
х₂ = -3 ( (не удовлетворяет)

Ответ: х = 3.

7.Однородные показательные уравнения второй степени.

6 ·4^х – 13 6^х + 6 ·9^х = 0
6 ·2^х – 13 ·2^х 3^х +6· 3^2х = 0

Так как 3^2х 0, то разделим обе части уравнения на 3^2х, тогда получим

^–

6· (^2х – 13· (^х + 6 = 0

Путь(^х =t, тогда получим уравнение 6t² – 13t + 6 = 0

D = 13² -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25

t₁ = _,   t₂ =_.

Если t₁ = ^х = _, ^х = ()¹, х₁ = 1.

Если t₂ = ^х = _, ^х = ()^-1, х₂ = -1.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = -1.

Уравнения (кроме № 4, 7, 6) решались совместно с обучающимися.

5. Закрепление изученного материала

М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения” (портрет ученого вывешивается на доску).

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

На доске написаны 5 уравнений:

2.3^х-1 -3^х + 3^х+1 = 63

3.3^-х = -

4.64^х – 8^х –56 = 0

5.3^х +4^х = 5^х ( устно)

К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.

Так как 31, то

= 0

По теореме Виета получаем:

х₁₌4, х₂=5.

Ответ: х₁ = 4, х₂ = 5.

2. 3^х-1 - 3^х + 3^х+1 = 63

Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим:

3^х 3^-1 – 3^х + 3^х 3 = 63

Выносим общий множитель за скобки:

3^х(
3^х
3^х =
3^х = 27
3^х = 3³
х = 3
Ответ: х = 3.

3.3^-х = -

Решением этого уравнения является точка пересечения графиков функций у = 3^-х и у = –

Ответ: х=-1.

4.64^х – 8^х – 56 = 0
(8²)^х – 8^х – 56 = 0 или
(8^х)² – 8^х – 56 = 0

Введем новую переменную t = 8^х, тогда уравнение примет вид:

t² – t – 56 = 0

По теореме Виета:

t₁+ t₂ = 1
t₁ t₂ = – 56
t₁ = 8, t₂ = -7 (не удовлетворяет, так как показательная функция принимает только положительные значения)

Если t₁ = 8, то 8^х = 8, 8^х = 8¹, х = 1.

Ответ: х = 1.

5.3^х + 4^х = 5^х (устно)

Ответ: х = 2.

Итог урока. Выставление оценок.

Итак, сегодня мы повторили тему “Показательная функция и ее свойства и познакомились с методами решения показательных уравнений. Дома необходимо выполнить домашнюю контрольную работу. Учащиеся получают карточки с заданиями вариантов.

Домашняя контрольная работа.

Резерв.

Кроссворд “И в шутку и всерьез”.

По горизонтали: 1.Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.

По вертикали:2.Название функции, любой из графиков, которой обязательно пройдет через точку (0;1). 3.Исчезающая разновидность учеников. 4.Проверка учеников на выживание. 5.Ученый математик, механик и астроном. Его высказывание о показательной функции напечатано в учебнике перед первым параграфом. 6.Другое название независимой переменной в функции.

Ответы: 1.Корень. 2.Показательная. 3.Отличник. 4.Контрольная. 5.Эйлер. 6.Аргумент.