Технологии проблемного обучения на уроке математики "Совпадения и закономерности"

Разделы: Математика

Эпиграф к занятию:
Математика – это искусство называть
разные вещи одним и тем же именем.
А. Пуанкаре.

Класс: 7.

Тип урока: усвоение новых знаний, урок-исследование

Темы урока:

  1. «Совпадения и закономерности».
  2. «Линейная функция и её график».

Формы проведения:

  1. Решение проблемной ситуации.
  2. Компьютерное моделирование.

Технологии обучения:

  1. Технология проблемного обучения.
  2. Технология формирования информационной компетентности.
  3. Технология коллективно-групповых способов обучения.
  4. Технология критического мышления.

Место занятия в системе занятий по дисциплине: изучается в рамках раздела № 4 «Функции и их графики», после темы «Прямая пропорциональность».

Внутридисциплинарные связи: «Задание функции несколькими формулами», «Взаимное расположение графиков линейных функций».

Межпредметные связи:

  1. Информатика «Технология обработки графической информации».
  2. Физика «Сила тяжести» – опережающая связь.
  3. Русский язык «Стилистика русского языка».

Цели урока.

Обучающая цель. Обеспечить:

  1. Изучение определения линейной функции.
  2. Рассмотрение графика линейной функции у = kx + b.
  3. Изучение свойств линейной функции.
  4. Научить понимать, как влияет знак коэффициента k на расположение графика в координатной плоскости;
  5. Научить понимать, как зависит от значений k и b взаимное расположение графиков двух функций у = kx + b.

Развивающая цель. Способствовать развитию матепредметных умений и навыков:

  1. Учебно-организационных:
    • определять наиболее рациональную последовательность индивидуальной и коллективной деятельности;
    • вносить необходимые изменения в содержание учебной задачи;
    • организовать деятельность в группах.
  2. Учебно-информационных:
    • владеть различными способами изложения текста;
    • формулировать проблемные вопросы;
    • качественно и количественно описывать объект;
    • формировать программу эксперимента.
  3. Учебно-логических:
    • определять объект анализа;
    • выявлять зависимости между компонентами объекта;
    • классифицировать информацию по различным признакам;
    • самостоятельно вырабатывать алгоритм действий;
    • устанавливать межпредметные связи.
  4. Учебно-коммуникативных:
    • владеть приемами риторики;
    • выслушивать и объективно оценивать другого;
    • вырабатывать общее решение.

Воспитательная цель:

  • стимулирование потребностей в самообразовании;
  • воспитание математической и информационной культуры;
  • воспитание трудолюбия.

Мотивационная цель:

  • побудить интерес к изучению математики, информатики, физики.

Квалификационные требования.

Кадет должен:

  • знать:
    • определение функциональной зависимости;
    • определение графика функции;
    • определение линейной функции;
    • аналитическую запись линейной функции;
    • свойства линейной функции;
  • уметь:
    • читать графики функций;
    • определять точки пересечения графика функции с осями координат;
    • определять точки пересечения графиков функций;
    • использовать на практике способы задания функциональной зависимости.
    • иметь представление о программе Advanced Grapher.

Оборудование:

  • ноутбуки с программным обеспечением Advanced Grapher;
  • раздаточный материал;
  • средства ТСО и ИКТ;
  • презентация к уроку.

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверка готовности к занятию.

Вступительное слово преподавателя.

Вступительное слово:

Деятельность преподавателя Деятельность кадет
Сегодня на занятии две темы и первая «Совпадение и закономерность».

Формулировка вопроса: как вы думаете, что такое совпадение и закономерность?

 Отвечают на вопросы преподавателя (примерные варианты ответов):

- Соответствующий, отвечающий определенным законам процесс.
- Понятное, допустимое и обоснованное явление или процесс.
  Случайная совмещенность каких-либо явлений, событий.
Формулировка вопроса: есть ли между совпадением и закономерностью, что-нибудь общее? Например: из темы «Тождества» мы знаем, что, если выражения являются тождественно равными, то их графики могут совпасть.

- Оба понятия можно отнести как к объектам, так и процессам или явлениям.
- И совпадение и совокупность относятся являются существительными.
Давайте обратимся к поставленной на прошлом занятии проблеме.

Ваши предположения совпали с действительностью.

Явились ли они совпадениями или закономерностью?

Кто начнет обсуждение?

 Проблемный вопрос, поставленный Вами, звучал так: что общего между горением свечи, температурой воздуха, движением и растяжением пружины.

Для решения поставленной задачи нам, прежде всего, было необходимо:

  1. Определить объекты моделирования.
  2. Выявить основные элементы систем.
  3. Провести моделирование процесса.

Для этого мы разбились на бригады. Вот, что у нас получилось.

II. Выдвижение гипотез по поставленной проблеме.

Бригада №1.

(Показ видео, с комментарием.)

Наша бригада исследовала процесс растяжения пружины, мы разработали план проведения лабораторного эксперимента и предположили, что растяжение пружины будет прямо пропорционально массе, подвешиваемого груза (Приложение 1).

Данные были занесены в таблицу и далее мы перешли к построению математической модели и представили её в виде графика. Мы видим, что график является функцией.

(Приложение. Слайд №1 – график растяжения пружины)

Деятельность преподавателя Деятельность кадет
Формулировка вопроса: как вы думаете, что такое совпадение или закономерность? Закономерность, т.к. это явление отвечает закону F =  m * g.
  Записывают закономерность на доске F = m * g + 10.

Бригада №2.

При фиксировании температуры воздуха, определенной закономерности нам выявить не удалось, мы видим, что на первом графике температура стабильно повышается к полудню, а на втором этого не наблюдается.

Наша гипотеза, тоже подтвердилась, т.к. зная, что температура воздуха зависит от множества климатических, погодных и сезонных условий, мы предположили, что первый график это только совпадение и не является закономерностью. Мы провели повторное исследование, это график №2. Представить математическую модель процесса мы не можем.

(Слайд №2 – температура)

Бригада №3.

(Показ видео, с комментарием.)

Проводя моделирование процесса движения, было установлено, что при равномерном движении, тело проходит одинаковое расстояние, за равные промежутки времени.

Если предположить, что к моменту эксперимента тело находилось уже на расстоянии 2 см от пункта А, то через время t, двигаясь в том же направлении с постоянной скоростью V, оно пройдет путь равный S = 2 + 0.25 * t. Что является функциональной зависимостью и её график выглядит следующим образом.

(Слайд 3 – график движения)

Бригада № 4

Горение свечи, будем рассматривать без влияния каких-либо внешних факторов.

Значит свеча будет гореть равномерно, т.е при горении она уменьшаться приблизительно на 1,3 см каждый час. Если длина свечи первоначально была 23 см, то через t часов её длина будет выражена функциональной зависимостью: = 23 – 1.3 * t. Т.к любую функциональную зависимость можно представить: аналитически, таблично и графически.

По данной формуле составили таблицу и построили график функции, который выглядит следующим образом.

(Слайд № 4 – горение свечи)

Деятельность преподавателя Деятельность кадет
Формулировка вопроса:

- Что вас удивило?
- Что интересного заметили?
- Какие факты налицо?

Да, вы правы, это действительно функциональная зависимость, другими словами функция и её формула имеет вид у = kх + b.

Прямая – это геометрическая фигура. А как еще можно назвать прямую?

Значит, рассматриваемая функциональная зависимость может иметь название – линейной!
  1. Графики силы тяжести, горения свечи и движения похожи на график прямой пропорциональности, но с отличием в том, что не проходит через начало координат .
  2. Можно предположить, что это не совпадения, а закономерность. Разные явления описываются одной функцией, но пока мы не знаем её названия.
  3. Все рассмотренные закономерности, являются функциями, которые в общем виде можно представить в виде формулы у = а * х + в.
  4. Графиками, рассмотренных процессов является прямая.

Линией!
Итак, первоначальная тема нашего урока трансформировалась в тему «Линейная функция и её график». Записывают тему урока.
Давайте теперь вместе сформулируем цели нашего занятия. Формулировка кадетами предположительных целей занятия.
Формулируются цели занятия.  
Давайте попытаемся вместе дать определение линейной функции, исходя из всего выше сказанного. Формулируют определение: линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой, вида у = kх + b, где х – независимая переменная.
А какие значения принимают k и b ? Любые/некоторые числа.

III. Сообщение новых знаний.

График линейной функции.

Форма проведения: компьютерное моделирование (Приложение №2. Приложение №2.1. Приложение №3).

1. Проведение компьютерного эксперимента.

Задания для компьютерного моделирования при помощи ПО Advanced Grapher.

Бригада №1.

  1. В одной координатной плоскости построить графики функций: у = 3х; у = 3х +1; у = 3х – 2.
  2. Ответьте на вопросы:
Вопрос Ответ
1.Графики функций представляют собой...  
2.Что общего в формулах этих функций?  
3. В каких координатных четвертях проходят графики?  
4. Опишите, каков угол наклона графиков функций к оси ОХ?  
5. Чему равна ордината точки пересечения графиков с осью Оу?  

Бригада №2.

  1. В одной координатной плоскости построить графики функций: у = -3х; у = -3х +1; у = -3х – 2.
  2. Ответьте на вопросы:
Вопрос Ответ
1.Графики функций представляют собой...  
2.Что общего в формулах этих функций?  
3. В каких координатных четвертях проходят графики?  
4.каково значение коэффициента по знаку?  
5. Чему равна ордината точки пересечения графиков с осью Оу?  

Бригада №3.

  1. В одной координатной плоскости построить графики функций: у = х – 2; у = 3х – 2; у = 0,5х – 2.
  2. Ответьте на вопросы:
Вопрос Ответ
1.Графики функций представляют собой...  
2. В какой точке пересекаются графики функций?  
3.Какой угол наклона каждого графика к оси Ох?  
4. Каково соотношение между значениями коэффициента k и величинами углов наклона графиков функций к оси Ох?  

Бригада №4.

  1. В одной координатной плоскости построить графики функций: у = - х + 2; у = -3х + 2 ; у = -0,5х + 2.
  2. Ответьте на вопросы:
Вопрос Ответ
1.Графики функций представляют собой…..  
2. Каково значение коэффициента по знаку?  
3.Какой угол наклона каждого графика к оси Ох?  
4. Каково соотношение между значениями коэффициента k и величинами углов наклона графиков функций к оси Ох?  

2. Анализ результатов.

Свойства линейной функции.

  1. Графиком линейной функции является прямая.
Деятельность преподавателя Деятельность кадет
Формулировка вопроса: сколько точек необходимо для построения графика линейной функции и почему? Для построения достаточно двух точек. Из начальных геометрических сведений мы знаем, что через две точки плоскости можно провести прямую и притом только одну.
Что значит утверждение: «точка принадлежит графику функции»? Данное утверждение означает: что абсцисса этой точки равна аргументу, а ордината – соответствующему значению функции.
  1. Каково соотношение между значениями коэффициента k и величинами углов наклона графиков функций к оси Ох?
  2. Каково значение коэффициента k по знаку?

IV. Физкультурная минутка.

  1. Потягиваются, если высказывание не является утверждением.
  2. Приседают, если утверждение неверно. «Л»
  3. Хлопают в ладоши, если утверждение верно. «И»

Фразы:

- Графиком линейной функции является прямая «И».
- Линейная функция не является закономерностью «Л».
- Почему вы так думаете?
- График линейной функции всегда только возрастает «Л».
- Независимая переменная – это аргумент функции «И».
- А вы молодцы!

V. Закрепление изученного материала.

Заполни недостающие блоки. Медиками установлено, что для нормального развития ребенок или подросток, которому Т лет (Т < 18), должен спать в сутки t часов, где t определяется по формуле t = 17 – T/2.

  1. Данная зависимость является .
  2. В каких полуплоскостях будет расположен график данной функции?
  3. Область определения данной функции .
  4. Что является графиком данной функции?
  5. Данная функция называется .
  6. Сколько часов в день вы должны спать?

VI. Подведение итогов.

Рефлексия. Синквейн.

Выставление оценок.

VII. Задание для самоподготовки.

Творческое задание: к функциям можно применять арифметические действия по определенным правилам и в определенных условиях. Подумайте, что происходит внутри замка, когда мы открываем дверной замок?