Решение показательных уравнений

Разделы: Математика

Глобальная информатизация общества является одной из доминирующих тенденций XXI века. Возникает новая информационная среда обитания и жизнедеятельности. Поэтому важно подготовить подрастающее поколение к самостоятельному принятию решений и ответственному действию, к жизни и профессиональной деятельности в высокоразвитой информационной среде.

Обучение в школе должно обеспечить формирование у людей новых компетентностей, знаний и умений, способов деятельности, которые им потребуются в новой информационной среде обитания, в том числе и для получения образования в условиях широкого использования современных информационных технологий обучения.

Формирование компетентностей и новых способов деятельности возможны только в результате самостоятельной деятельности учащихся. Основными критериями деятельности являются: личностно значимые приобретаемые знания и умения, использование личного опыта и знаний учащихся, возможность выбора (задания, способа, последовательности и т.д.).

Заветная мечта каждого творчески работающего педагога - научить ребенка видеть необычное в обычном, чтобы вся дальнейшая жизнь каждого ребенка стала непрерывным открытием. И если ты учитель математики, то гораздо ближе находишься к исполнению этой мечты. У нас есть возможность создавать условия для познания математики как уникального языка, описывающего все явления окружающего мира и одновременно являющегося инструментарием, способствующим описанию математической модели любого проекта. Подтверждение можно найти в федеральном компоненте государственного образования, в котором определены цели математического образования учащихся:

  • овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин;
  • формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
  • воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса.

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике совмещает два экзамена: выпускной за среднюю школу и вступительный в высшие учебные заведения, которые проводятся с разными целями и соответственно имеют значительные различия в содержании проверяемого учебного материала. В связи с этим ЕГЭ по математике признан обеспечивать как итоговую аттестацию выпускников средней школы, ради которой проводится выпускной экзамен, так и отбор учащихся, наиболее подготовленных к обучению в вузах, ради чего проводится вступительный экзамен.

Для того, чтобы экзамен не стал для выпускников испытанием на прочность нервной системы, нужна тренировка на соответствующем уровне. И в этом помогают уроки на повторение.

Прежде чем перейти к изложению методов решения показательных уравнений для учащихся, делается несколько замечаний:

  1. Решение показательных уравнений целесообразно начинать с нахождения ОДЗ уравнений.
  2. Необходимо проанализировать вид уравнения и составить план его решения. Следует учитывать, что одно и то же уравнение может решаться различными методами. При выборе метода решения предпочтение, как правило, оказывается тому, который не предполагает применения неравносильных преобразований исходного уравнения.
  3. Даже в том случае, когда при решении уравнения используются только равносильные преобразования, после нахождения корней следует делать проверку, т.е. подставить найденные значения корней в исходное уравнение.

Основными методами решения показательных уравнений являются методы:

  • группировки;
  • разложение на множители;
  • замены переменной.

Решение большинства показательных уравнений после нескольких преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших показательных уравнений вида af(x) = b, которое, если b является степенью числа a, т.е. b = ac, равносильно уравнению f (x) = c, а в противном случае - уравнению f (x) = logab.

К простейшим показательным уравнениям можно отнести и уравнение вида af(x) = ag(x) , которое равносильно уравнению . Важно, что переход от уравнения af(x) = ag(x) к равносильному ему уравнению  может быть объяснен исходя из свойств показательной функции с основанием а или логарифмированием обеих частей уравнения (по свойствам логарифмической функции).

Тема: «Решение показательных уравнений».

Цели урока:

  • Образовательные: актуализация опорных знаний при решении показательных уравнений, развитие умения систематизации изученного материала, выделения общих и отличительных признаков и свойств изучаемых понятий, умения применять функционально-графический метод при решении уравнений, формирование заинтересованности учащихся в решении нестандартных показательных уравнений при подготовке к ЕГЭ.
  • Развивающие: активизация познавательной деятельности посредством развития умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли, развитие интереса к предмету через содержание учебного материала.
  • Воспитательные: продолжить воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, воспитывать устремленность к самообразованию и самосовершенствованию, осознание учащимися социальной, практической и личной значимости учебного материала по изучаемой теме.

Ход урока

I. Организация урока. Сообщение темы и цели урока. Готовность к уроку.

II. Подготовительный этап.

Устные упражнения:

1. Дайте определение показательных уравнений.

(Определение: показательным уравнением называется уравнение вида ax=b, где a1 или 0a1).

2. Сколько решений может иметь показательное уравнение?

(Если b0, то уравнение имеет одно решение, и притом единственное.

Если b0, то уравнение не имеет решений: ведь показательная функция может принимать только положительные значения).

3. Решить уравнения и указать метод решения.

5x=1 [0]
3x=27 [3]
()x ()x =1 [R]

(Метод уравнивания оснований).

4. Укажите метод решения уравнений.

a) 72x+7x+1=0 (метод введения новой переменной).
б) 2x=x+2 (графический метод).

III. Работа в группах.

(Каждая группа получает задания. В процессе решения учащиеся обсуждают решения, принимают коллегиально кандидатуру члена группы, который будет защищать решение на доске).

1 группа

Решите уравнение:

(Решение.




Введём новую переменную: ,.

; .
т.к. , то не подходит
;                     

2 группа

Решите уравнение:

(Решение.


3 группа

Найти все значения параметра , при которых уравнение  имеет два корня.

(Решение.

Введём новую переменную: .

Т.о.:

 

4 группа

Решите уравнение:

(Решение.

Введём новую переменную:

       

Т.к. ,то не подходит

5 группа

Решите уравнение:

(Решение.

Преобразуем правую часть:

IV. Защита решений на доске (по одному представителю от группы).

Все записи учащиеся производят в тетрадях.

V. Комментарии учителя.

Отмечается работа всей группы.

VI. Домашнее задание.

повторить основной теоретический материал по теме: «Показательные уравнения» и выполнить тест:

  1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения
    а) (-2;-1);
    б) (-1;0);
    в) (0;1);
    г) [-1;2].

  2. Решите уравнение:
    а) -3;
    б) 4;
    в) нет решения;
    г) -7.

  3. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения:
    а) (-4;-2);
    б) (-2;0);
    в) (0;2);
    г) (2;4).

  4. Решите уравнение:
    а) 4,5;
    б) 4,6;
    в) 4,2;
    г) 9.

  5. Решите уравнение:
    а) 0;
    б) 1;
    в) 7;
    г) нет решений.

  6. Решите уравнение:
    а) 1;
    б) 2;
    в) нет решений;
    г) -2.