Предлагаемый курс преследует цель познакомить учащихся с матричной символикой и основными понятиями алгебры матриц, а также научить их уверенно оперировать с матрицами и определителями как объектами более общего характера по сравнению с числами и функциями. Курс расширяет представления о возможностях математики и легко усваивается данной возрастной группой.
Изучение данного курса способствует формированию абстрактных представлений, развитию логического мышления, осуществлению межпредметных связей.
Курс характеризуется рациональным сочетанием логики и наглядности, увеличивается теоретическая значимость изучаемого материала, учащиеся овладевают приёмами аналитической деятельности при решении задач.
Организация учебно-воспитательного процесса
Изучения курса “Матрицы и определители” в 8-ых классах общеобразовательных учреждений рекомендуется проводить во внеурочное время, 1 раз в неделю в течение учебного года.
Учителю предоставляется право самостоятельно выбирать методические пути и приёмы преподавания данного курса.
При планировании учебных занятий следует ориентироваться не только на теоретическую подготовку учащихся, но и на организацию решения практических задач с учётом дифференциации группы и индивидуальных особенностей детей.
Следует способствовать удовлетворению потребностей школьников, проявляющих склонности и интерес к математики.
Учителю необходимо реализовать сбалансированное сочетание традиционных и новых методов обучения, применять иллюстративные и эвристические методы, рационально сочетать устные и письменные виды работы.
Структура программы
Программа курса “Матрицы и определители” состоит из трёх разделов: “Содержание программы”, “Содержание знаний и умений”, “Список литературы”, “Основные понятия курса”.
Содержание программы
Раздел 1. Основные понятия (4 часа)
- Введение в предмет
- Типы и формы матриц
- Матричная символика
Раздел 2. Операции с матрицами (8 часов)
- Транспонирование матриц
- Сложение матриц
- Умножение матрицы на скаляр
- Умножение матрицы на матрицу
Раздел 3. Определители (10 часов)
- Понятие определителя
- Свойства определителей
- Миноры и алгебраические дополнения
- Разложение определителя по Лапласу
Раздел 4. Вычисление определителей (12 часов)
- Метод элементарных преобразований
- Метод единственного деления
- Метод опорного элемента
Содержание знаний и умений
В результате изучения курса “Матрицы и определители” учащиеся узнают:
- Основные формы и типы матриц.
- Матричную символику.
- Особенности матричных операций.
- Свойства определителей.
- Понятия миноров и алгебраических дополнений.
- Основные методы вычисления определителей.
Умеют:
- Складывать, перемножать, транспонировать и обращать матрицы с вещественными элементами.
- Разлагать определители.
- Вычислять определители и применять их к решению задач.
Основные понятия курса
Произвольная система чисел из некоторого множества, расположенная в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей.
Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов у них соответственно равны.
Если число строк матрицы равно числу её столбцов, то такая матрица называется квадратной, а это число порядком матрицы.
В = 
-
матрица третьего порядка
Пусть даны матрицы
А = 
и В = 
Произведением А на число с называется матрица
С = 
Пример 
Суммой матриц А и В называется матрица:
С = А + В = 
Пример
А = 
В = 
А + В = 
Для матриц выполняются все свойства действий с рациональными числами.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица
С = 
, где
Пример:
Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а остальные 0 называется единичной.
Е = 
.
Матрицы, имеющие вид 
называют диагональными.
Матрица, которая получается из данной матрицы заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к данной.
Определителем n порядка матрицы А называется алгебраическая сумма n! Слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение n множителей, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А.
А = 
определитель.
Некоторые способы вычислений определителей:
1) Определитель 2-ого порядка
Пример: 
2) Определитель 3-его порядка
Данный способ называется правило элементарных преобразований или правило Саррюса. Оно действует и для определителей более высоких порядков, но является очень громоздким.
Пример: 
3) Определители n-ого порядка.
Минором 
элемента 
определителя называется определитель, который
получается из данного вычёркиванием строки и
столбца, проходящих через данный элемент.
Алгебраическим дополнением 
элемента определителя n-ого порядка
называется минор этого элемента, взятый со знаком 
. 
Пример. Пусть 
.
Найдём 
Правило 1. Если в определите n-ого порядка все
элементы I-ой строки (j-ого столбца), кроме равны нулю, то
такой определитель равен произведению элемента на его
алгебраическое дополнение.
Пример.
Вычислить определитель 
Преобразуем определитель так, чтобы все элементы четвёртого столбца, кроме первого равнялись нулю. Для этого умножим все элементы первой строчки на –1 и сложим со второй и третьей, затем умножим первую строчку на – 3 и сложим с четвёртой. В результате получим
.
Затем, применяя правило, получим:
.
Прибавляя к третьей строчки вторую, получим
Правило 2. Определитель n-ого порядка равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их алгебраические дополнения.
Разложение определителя
Пример. Вычислить 
Вычислим определитель, разложив его сначала по элементам третьей строки, затем по элементам второго столбца.
Литература
- Энциклопедия “Аванта +”, “Математика”, 2003 год.
- Блох Э. Л. “Основы линейной алгебры” – М., 1979.
- Хедли Л. “Линейная алгебра” - М., 1992.