Квадратная функция и ее график

На изучение раздела “Квадратичная функция” по тематическому планированию выделено три темы.

Тема 1. “Функция Y=a*x², ее график и свойства” содержит два урока.

Цель этих уроков: указать место квадратичной функции в семействе изучаемых функций, продемонстрировать практические задачи из которых “рождается” сама функция, введение определения квадратичной функции вида: Y=a*x²+b*x+c, где а<>0; закрепление алгоритма изучения свойств функции Y=a*x². Именно на этих уроках с помощью компьютерной графики демонстрируются процессы растяжения и сжатия вдоль оси ОУ базовой функции Y= x².

Тема 2. “Графики функций Y= a*x²+n и Y= a*(x-m)²”.

К двум основным урокам тематического планирования добавляю обобщающий урок, включающий в себя работу по построению графиков данных функций при движении их вдоль обеих осей, типа Y= a*(x-m)²+n. Цель уроков Темы 2 дать представление о движении графиков Y=a*x² по двум осям по отдельности и вместе. При изучении Темы 2, так же используется компьютер, интерактивная доска и примитивные шаблоны различных графиков квадратичных функций.

Тема 3. “Построение графика квадратичной функции”.

Цель уроков темы 3 усвоить алгоритм построения квадратичной функции общего вида Y=a*x²+b*x+c, где а<>0. Отработка умений и навыков может строиться классическим способом в рабочих тетрадях, тетрадях с миллиметровой основой и на интерактивной доске. Таким образом при изучении данного раздела весь материал разбивается на три модуля, состоящих из двух, трех и трех уроков, не включая урока с контрольной работой.

Завершающий этап всех трех модулей — фиксация полученных результатов на стенде-доске всех разновидностей графиков самими учащимися.

Поскольку все уроки посвящены одной функции с нарастанием сложности при изменении формул, схема их построения прелагается почти одинаковой для простоты усвоения слабыми учащимися. При этом применяется наглядно-графический подход изучения различных функций (по Боженковой Л.И.), включающий в себя следующие этапы:

1. Рассмотривается подготовительная задача.
2. Изучаются частные случаи квадритичной функции.
3. Составляются таблицы частных случаев функции и строятся их графики.
4. Исследуются основные свойства функции по графикам.
5. Обобщаются полученные результаты (вводится определение фунции, формулируются ее свойства)
6. Решаются задачи и упражнения на применение полученных знаний.

При этом каждый урок должен содержать момент исследовательской деятельности. В начале каждого урока может быть задан один и тот же вопрос: “Как повлияет изменение формулы функции на вид ее графика?”. Учащиеся при этом будут иметь возможность участвовать в “исследовательских изысканиях”, делая свои маленькие открытия.

Схема уроков такова:

1. постановка проблемы. Например:

Было: Y= x²,а=1. Стало: Y= а*x², а<>1.
Вопрос: “Как изменится график функции при этом?”
Предлагается построить график функции Y= 2*x²,Y= 3*x² и т. д. и сделать выводы об изменениях.
Аналогично при 0<a<1.

2. Как поведет себя график, если а<0?

В ходе построения графика делаем выводы.

3. Закрепление-обощение выводов делается с помощью проекта на интерактивной доске, еще раз повторяя и закрепляя полученные результаты.
4. Итог урока проводится фронтально с закреплением с помощью записей в тетради.

В начале следующих закрепительных уроков — обязательные “графические разминки” в виде математических диктантов с испльзованием заранее заготовленных шаблонов и анализа допущенных при выполнении “разминки” ошибок.

В конце каждого модуля в обязательном порядке проводится проверочная работа с анализом ошибок после нее.

Перед проведением итоговой контрольной работы по разделу необходимо провести обощающий урок с максимальным использованием всех методов, применяемых в работе на его различных этапах:

• в устном счете;
• фронтальной работе по алгоритму;
• построении графиков классическим способом и на интерактивной доске;
• обощении теоретических сведений в виде беседы или блиц-опросов;
• выполнении тестов-опросов, в том числе с применением современных ТСО...

Хочется заметить, что в устно-графических упражнениях можно и желательно кроме разновидностей формул квадратичной функции использовать другие ранее изученные функции.

Такая схема работы была уже однажды мной опробирована на среднем классе, плюсы были однозначны.

Что касается рекомендаций по использованию моих предложений, то все уроки, конечно же, строятся с учетом уровня подготовки класса и задания разрабатываются для конкретного класса.

Привожу подробную разработку одного из уроков: “Обобщающий урок по теме “Квадратичная функция и ее график”. Зачет.”

Тема урока:

“Обобщающий урок: “Квадратичная функция и ее график””.

Цели урока: обощение темы, анализ и коррекция недочетов в знаниях учащихся, подведение итогов изучения темы; воспитание математической культуры при работе с графиками, аккуратности, ответственности, развитие логического мышления, разговорной математической речи, внимательности.

1. Повторение этапов изучения данной темы.
2. Графическая разминка.
3. Работа с частными случаями квадратичной функции.
4. Повторение свойств функции Y=a*x².
5. Повторение этапов построения графиков функции общего вида.
1. С помощью технических средств.
2. На обычной доске.
3. В самостоятельной работе в рабочих тетрадях.
6. Подведение итогов урока.
7. Задание на дом.

1. На доске обычной( или интер) записываются этапы изучения различных графиков квадратичной функции в порядке возрастания сложности:
1. Y= a*x².
2. Y= a*x²+n.
3. Y= a*(x-m)².
4. Y= a*(x-m)²+n.
5. Y= a*x²+b*x+с.

Тут же в процессе фронтальной беседы вспоминается как располагается график функции на координатной плоскости.

2. Графическая разминка дает возможность быстро, схематично от руки или с помощью шаблонов осуществить повторение и контроль построения различных случаев квадратичной функции. Например, построить в одной системе координат графики:
1. Y= -x²-1.
2. Y= (x+4)².
3. Y= 1/2(x+3)²-1.
4. Y= -2*x².

Построение выполняется в разной цветовой гамме и проверка осуществляется сразу же с помощью демонтрационных шаблонов на обычной доске или с помощью интерактивной доски.

3. В этой части урока с помощью интерактивной доски воспроизводятся графики частных случаев в зависимости от коэффициентов, на конкретных примерах и идет обощение информации по изменениям графиков. Проверка осуществляется сразу же во время работы с интерактивной доской. Новым для учащихся в этой части урока будет одновременное представление всевозможных графиков в одной системе координат, расположенных в верхней и нижней полуплоскостях, в зависимости от знака коэффициента а, выполненых в цветовой гамме. “Пучок” этих кривых дает наглядное представление о бесконечном множестве парабол. Работая с этим слайдом можно провести фронтальный опрос учащихся по определению значений коэффициентов квадратичных функций.
4. Повторение свойств функции Y= a*x²осуществляется в виде математического диктанта, текст которого выдается на слайде, а проверка осуществляется в устной форме по очереди двумя учащимися по желанию. Оценивают результаты диктанта учащиеся самостоятельно по им уже известным критериям.
5. Повторение этапов построения графиков функции общего вида начинается с использования интерактивной доски, на которой воспроизводится все этапы построения. Причем каждый этап для конкретной функции выполняется учащимися в тетрадях, а затем контролируется на доске. Тут же идет уточнение результатов и исправление ошибок.

После чего один учащийся по желанию выполяет построение графика на обычной доске, а учащиеся в тетрадях. В заключение проводится самостоятельная работа в тетрадях ( по одному графику.).

6. В результате такого урока происходит доработка темы, ее обощение, коррекция знаний и контроль ее усвоения в разных формах. Таким образом за данный урок учащиеся могут получить не менее четырех отметок и заработать неплохой суммарный балл, на основании которого может быть выставлена зачетная оценка по разделу.
7. Задание на дом:
1. Контрольные вопросы с. 39 учебника, письменно с подбором своих примеров.
2. Подобрать не менее 5ти заданий по изучаемой теме “Квадратичная функция и ее график” из сборника подготовки к ГИА и решить их. Отметки за домашнюю работу выставляются в журнал.

Выводы, которые я могу сделать в результате данной работы, сводятся к следующему:

• даже самый универсальный и опробированный проект нужно анализировать и “подгонять” к конкретным условиям, учитывая, психологические и другие условия конкретного класса, варьируя все составляющие части урока:
• в более сильном классе давать больше теоретических рассуждений, возможностей улучшить свою математическую речь, логику, усложняя так же упражнения
• в более слабом классе речь должна быть более лаконичной, доступной, простой; урок должен делиться на более мелкие части(шаги); не должно быть избытка схем, графиков, таблиц; скорость работы и объем работы уменьшается.
• Например, на первом уроке первого модуля: 

1. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г. и др. Под редакцией С.А. Теляковского.Алгебра: Учебник для 8кл.-М.: Просвещение, 2007.
2. Боженкова Л.И. Алгебра в схемах, таблицах, алгоритмах. Учебные материалы. - Калуга: Наша Полиграфия., 2010 г.
3. Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. Киев: Наукова Думка, 1972 г.