Цели:
- Целостное раскрытие вычисления объема тел вращения через применение интеграла;
- Совершенствовать навыки решения задач с использованием формул объема тел вращения;
- Воспитывать ответственное отношение к труду.
План лекции:
- Формула объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс.
- Вывод формулы объема цилиндра.
- Вывод формулы объема конуса.
- Вывод формулы объема шара.
- Применение формул объема цилиндра, конуса и шара при решении задач.
Ход урока
1. Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок [а;в] оси абсцисс и ограничена сверху графиком функции f, неотрицательной и непрерывной на отрезке [а;в].
При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси ОХ получаем тело, объем которого находится по формуле
Используя данную формулу, мы сейчас и выведем формулы объема цилиндра, конуса и шара.
2. При вращении прямоугольника вокруг одной из сторон получаем цилиндр.
Рассмотрим прямоугольник в прямоугольной системе координат.
При вращении прямоугольника ОАВС вокруг оси ОХ получим цилиндр, где ОА радиус основания, ОС высота. Прямоугольник ОАВС является криволинейной трапецией, ограниченная графиком функции у = R, прямыми х =0 и х =Н и отрезком [0;Н] оси ОХ..
Подставим все данные в формулу для объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции.
Vц = π R2H
3. При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов получим конус.
Рассмотрим прямоугольный треугольник в прямоугольной системе координат.
При вращении прямоугольного треугольника ОАВ вокруг оси ОХ получим конус, где АВ радиус основания конуса, ОВ высота. Прямоугольный треугольник является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции у = кх, где к= tgα = R/H, прямой х=Н, отрезком [0;Н] оси ОХ.
Подставим все данные в формулу объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции.
Vk = ⅓πR2H
4.При вращении полукруга вокруг диаметра получим шар.
Рассмотрим полукруг в прямоугольной системе координат.
При вращении полукруга вокруг оси ОХ получим шар, где ОА = R. Полукруг является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции y = √ R2-x2 , отрезком [-R;R] оси ОХ.
5. Решение задач.
- Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10см и образует с плоскостью основания угол 30° . Найдите объем цилиндра.
- Длина образующей конуса равна 5 см, а длина окружности основания 8π см. Найдите объем конуса.
- Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 8 см и 6см. Найдите диаметр нового шара.
Домашнее задание: рассмотреть вывод формул объема цилиндра, конуса и шара, данных в учебнике «Геометрия» под редакцией А.В.Погорелова.