Использование презентации на уроке математики «Решение систем линейных уравнений разными методами»

Проектная деятельность – совместная творческая деятельность учащихся и преподавателей, имеющая общую цель, направленная на углубленное изучение темы в данной предметной области, совершенствование навыков владения техническими средствами ИКТ и практического решения задач.

Учитель является организатором этой деятельности, консультантом и коллегой. Он добывает новые (необходимые) знания и информацию из различных источников, организовывает походы в библиотеки (в том числе и научные), приобщает к работе с первоисточниками. И учитель, и ученики переживают вдохновение творчества, расширяют границы знаний, развивают творческую деятельность, учатся самостоятельно принимать решения по возникающим вопросам. В итоге ученики пробуют свои силы, проявляют свою индивидуальность, показывают публично свой достигнутый результат. Это имеет важное прикладное значение, носит практический характер.

Тема “Исследование систем линейных уравнений разными методами” выбрана не случайно. Выбор обусловлен тем, что избранный материал непосредственно связан с вопросами, которые учащиеся изучают на протяжении всего курса алгебры основной и старшей школы. Данный материал доступен для детей, дает возможность подготовить школьников к выпускным, конкурсным экзаменам. Успешное изучение выбранной темы позволяет несколько сгладить переход от обучения в средней школе к обучению в вузах.

Во многих задачах бывает нужно найти несколько неизвестных величин, зная, что другие, образованные с их помощью величины (функции от неизвестных) равны друг другу или каким-то данным величинам. Бывают и такие задачи, в которых требуется найти объединение решений нескольких данных уравнений, т.е. все значения неизвестных, обращающие в равенство хотя бы одно из них. В этом случае говорят о совокупности уравнений. Число неизвестных, входящих в уравнения системы, может быть и больше, и меньше числа уравнений. На уроках математики чаще приходится иметь дело с системами, в которых число неизвестных и уравнений одинаково. В некоторых задачах бывает достаточно только исследовать систему, т.е. определить, имеет ли она решения, конечно или бесконечно множество решений. В наше время методы решения линейных систем приобрели особую важность в связи с задачами математической экономики. Обычно такие задачи сводятся к линейным системам с огромным числом неизвестных.

В XVIII веке, в связи с бурным развитием промышленности, возникновением новых видов техники, развитием естественных наук (физики), произошел новый виток в развитии теории решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра выросла из решения систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Такие системы умели решать еще древние вавилоняне. В связи с поиском наиболее рациональных приемов решения “n” линейных уравнений с “n” неизвестными возникла и начала развиваться в XVII веке теория определителей. Решение уравнений и систем уравнений и поныне составляет содержание курса алгебры, которая имеет тесные связи с геометрией, физикой, логикой и другими науками.

Цель работы:

1. Исследование истории вопроса (развитие теории, имена ученых, их достижения).
2. Обобщение имеющегося у учащихся опыта решения подобных задач.
3. Исследование новых методов.
4. Создание наглядного пособия для поддержки публичного выступления (освоение новых возможностей ИКТ, Internet, дизайн, графика, звук, видео).

1. Введение

2. Исследовательская историческая часть:

а) история вопроса, сферы применения;
б) ученые, которые работали в этой сфере
(вклад в разработку проблемы).

3. Исследование методов и примеры решения:

а) метод подстановки;
б) метод уравнивания коэффициентов;
в) графический метод;
г) метод Гаусса;
д) метод определителей.

4. Заключение.

Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобрел в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук - создание условий, наиболее благоприятных для существования человека. В начале XX века в Америке была объявлена большая премия автору, который напишет книгу:

“Как человек без математики жил?”.

Премия осталась невыданной. Ни один автор не сумел изобразить жизнь человека без математических знаний.

Во все времена математика была основой научно-технического и экономического развития народов. Она была и есть тем микроскопом, который позволяет проникать в дебри знаний, составляющих основу нашей цивилизации. Эта роль математики особенно важна в наше время.

Суть математики состоит в том, чтобы подробно изучить и рассмотреть науку о числах и все те действия, которые над числами производятся.

Возникновение числа и счета - длительный процесс в истории человечества. Развивалось общество - совершенствовались и научные представления, постепенно складываясь в стройную систему математических знаний. Основой этих знаний стало решение уравнений.

Самые ранние сведения о возникновении алгебры в виде правил решения уравнений мы встречаем у вавилонян в III–II вв. до н. э. В вавилонской математике появляется числовая алгебра в виде решения уравнений и систем уравнений первой и второй степени. Египтяне сильно отстали от вавилонян в решении уравнений. Они не решали уравнения, но решали задачи, которые требовали применения уравнений первой степени. Они решались приемом, который позднее через арабов перешел к европейским народам. Это - способ решения задач методом предположений, или “фальшивое правило”, как его назвал Леонтий Филиппович Магницкий в “Арифметике”.

Решение уравнений первой степени требует знаний о числах: натуральных, дробных, отрицательных. Для решения уравнений степени выше первой знаний должно быть больше. Так шло и развитие алгебры. Усложняющиеся уравнения требовали для своего решения новых чисел.

Уравнения, содержащие более одного неизвестного, или система уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений, называются неопределенными уравнениями. Решением таких уравнений в целых числах занимался Диофант.

В III–IV вв. нашего летоисчисления появился “числовой дух” – александрийский математик Диофант.

О Диофанте неизвестно ничего, кроме предания о надписи на его могильном камне. Эта надпись, составленная в виде поэтического стихотворения, дает возможность определить продолжительность жизни Диофанта. Из творений Диофанта до нас дошло шесть книг из тридцати, которые он называл “Арифметикой”. Ни одного его сочинения на русский язык не переведено.

До нас лишь дошел его метод решения неопределенных уравнений, называемых “диофантовыми”. Это уравнения или системы уравнений, в которых число неизвестных больше числа уравнений. Диофант знает правила знаков при умножении отрицательных чисел, но при решении уравнений отрицательных чисел не употребляет. Диофант был долгие столетия совершенно забыт. Не было среди греческих математиков ни одного, кто был бы в состоянии понимать Диофанта. Арабы, жадно впитывающие греческую науку и с VIII в., переводившие на свой язык сочинения Евклида, Архимеда и других, не придавали творениям Диофанта должного значения, хотя в дальнейшем развили применение алгебраических приемов и должны были бы оценить важность идей Диофанта. Менее чем другие великие математики Греции, популярен Диофант в наши дни, хотя его труды представляют большой интерес для школьной математики.

Вот пример задачи Диофанта:

Найти 2 числа, сумма которых – “20”, произведение – “96”.

Решение:

Обозначим разность искомых чисел через 2, большее число (10 + n), меньшее (10 – n). Произведение (10 + n)(10 – n); 100 – n² = 96, n² = 4; n = 2, искомые числа 12 и 8.

Слово “алгебра”, как название части математики, появилось у математиков Средней Азии и арабских стран в IX веке нашего летоисчисления.

Термин “алгебра” пришел к нам из Средней Азии, города Хорезма.

Мухаммед Бен Мусса аль-Хорезми, по-нашему - Магомед сын Моисея Хорезмский, состоящий членом “дома мудрости” в Иране, около 820 года нашего летоисчисления написал книгу, в названии которой содержатся слова “алджебр альмукабала”. Мухаммед пишет, что в своей книге он учит решать простые и сложные вопросы арифметики, которые необходимы людям при дележе наследства, составлении завещаний, разделе имущества и судебных делах, в торговле и всевозможных сделках, а также при измерении земель, проведении каналов и т.п. Приемы алджебр и альмукабала помогают решать задачи “о прочих разновидностях подобных дел”. Слово алджебр понимали как восполнение, восстановление, реставрация. Альмукабала переводилось словом противоставление, по нынешней терминологии - это приведение подобных членов. В течение многих столетий и на Востоке и в Европе решение уравнений называлось действием “алджебр и альмукабала”. В XVI веке слово “альмукабала” было отброшено: получился термин “алджебр”, но в книге аль-Хорезми нет двух очень важных для решения уравнения вещей. Наверное, аль-Хорезми не был знаком с “Арифметикой” Диофанта, поэтому не использовал изобретенных им отрицательных чисел, совсем не использовал никаких букв и символов, кроме обозначения цифрами чисел. Алгебра совсем без букв, все на словах, все в уме. Такую алгебру назвали риторической (в переводе с греческого “произношу речь”), она требовала большого мастерства и была очень трудной.

Правила “альджебр и альмукабала” Мухаммеда аль-Хорезми свели решение уравнений первой степени к некоторой последовательности арифметических действий.

Последовательность действий для решения какой-нибудь задачи называется алгоритмом. Слово “алгоритм” произошло от имени аль-Хорезми. Для того чтобы разъяснить темные места в науке и сделать понятными трудные вопросы, аль-Хорезми написал краткое сочинение о вычислениях при посредстве “альджебр Валь-мукабала”, понимая под этим метод решения уравнений. Метод этот сводился к двум операциям: перенос членов уравнения из одной части в другую (альджебр) и приведение подобных членов (вальмукабала). От названия книги происходит и название науки – алгебра.

“Суть математики состоит в том, чтобы подробно изучать науку о числах и все действия, которые над числами производятся. Основная часть математики называется алгеброй” - эти слова Леонардо Эйлера, одного из крупнейших математиков всех времен, стали основой для издания книги “Универсальная арифметика”, которая является прообразом учебников школьной алгебры у всех народов до наших дней.

Основным вопросом в учебнике Эйлера является решение уравнений. Алгебра - это искусство нахождения числовых значений для содержащихся в уравнении неизвестных по коэффициентам уравнения. Эти значения неизвестных называются корнями уравнения.

Практическая часть.

Методы решения систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки
2. Метод уравнивания коэффициентов (способ сложения)
3. Графический метод
4. Метод Гаусса
5. Метод Крамера (определителей метод).

Метод подстановки

Выразим из уравнения (2) переменную x через y:

x = 3y – 1

В первом уравнении заменим выражение для y равным ему выражением 3y – 1.

Получим:

5 * (3y – 1) + 2y = –4

15y – 5 + 2y = –4

Подставляя найденное значение в выражение x = 3y – 1,

Решим способом сложения данную систему уравнений:

Умножая, второе уравнение системы на 5 и сложив почленно первое и второе уравнение.

Получим линейное уравнение с одним неизвестным:

Подставляя вместо y в первое уравнение системы, получаем:

Следовательно, система имеет единственное решение

Графический метод

Впервые определение функции было дано гениальным русским математиком Н.И.Лобачевским, термин “функция” введен Лейбницем. Символическая запись в виде формулы впервые введена Л. Эйлером. Из определения функции следует, что необходимо указать два множества чисел (значений аргумента и функции) и закон соответствия между ними, это может быть сделано графически.

Такой способ применяют в естествознании, технике (при использовании самопишущих приборов).

Решим графическим способом систему уравнений:

Выразим y через x в каждом из этих уравнений, получим систему:

(1). Уравнение есть уравнение прямой, проходящей через точки

а уравнение есть уравнение прямой, проходящей через точки

Прямые пересекаются в точке, координаты которой:

являются единственным решением этой системы.

Графический метод решения

Этот метод широко применяется в практике вычислений при решении уравнений с большим количеством неизвестных. Например,

С помощью первого уравнения исключим x из второго и третьего уравнений.

Для этого умножим правую и левую части первого уравнения на 2, а правую и левую части второго уравнения на 3 и сложим почленно первое уравнение со вторым уравнением. Потом умножим правую и левую части третьего уравнения на 3 и сложим почленно первое уравнение с третьим уравнением.

Получим систему уравнений:

Теперь с помощью второго уравнения исключим y из третьего уравнения. Для этого умножим правую и левую части второго уравнения на 16, а правую и левую части третьего уравнения на 11 и сложим почленно полученные уравнения.

Получим систему уравнений “треугольного” вида, решение которой (0; 0; 1) нетрудно найти.

Ответ: (0; 0; 1)

В связи с поиском рациональных приемов решения n линейных уравнений с n неизвестными возникла и начала развиваться в XVII в. теория определителей, для систем двух уравнений с двумя неизвестными

Решение этой системы запишем в виде:

Величина имеет определенное численное значение и называется определителем (детерминантом) системы уравнений.

Величину (дельта) в решении условно изображают в виде записи в вертикальных прямых скобках с упорядоченным расположением коэффициентов при неизвестных x и y.

Такой определитель называется определителем второго порядка.

Запишем систему так, чтобы одинаковые неизвестные в уравнениях стояли друг под другом

Определитель системы составим из коэффициентов при неизвестных x и y, перемножим элементы определителя, расположенные по диагонали, начиная

Величина x называется определителем переменной x. Определитель x получается из определителя заменой столбца коэффициентов при неизвестной x столбцом свободных членов:

Определитель y получается из определителя заменой столбца коэффициентов при неизвестной y столбцом свободных членов.

Получаем решение системы . Ответ:

При работе над проектом прослежено развитие алгебры на протяжении 2,5 тысяч лет, накоплен банк задач, решенных разными методами. Исследованы методы решения систем уравнений. Например, графический метод решения более удобен для системы из двух линейных уравнений (наглядно и быстро), а метод Гаусса для этой цели менее пригоден. Он проигрывает с точки зрения наглядности. Однако, именно метод Гаусса и метод Крамера являются наиболее универсальными для решения систем уравнений.

Работа на выбранную тему является актуальной в связи с тем, что она систематизирует знания и позволяет учащимся лучше понять данную тему, т.к. способы решения систем линейных уравнений собраны в единое пособие. Кроме того, школьные кабинеты оснастили новым техническим оборудованием, которое дает возможность сделать учебный процесс приятнее и удобнее как для преподавателей, так и для учеников.