Материал изложен на основе учебника А.Г. Мордкович «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» Москва; Мнемозина, 2009 год, а так же материалов курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» П.В. Чулков, Москва, Педагогический университет «1 сентября» 2006 год.
Цели урока:
- Образовательные – познакомить учащихся с методами решения логарифмических уравнений: потенцирование и введение новой переменной.
- Развивающие – уметь соотносить данное уравнение к соответствующему типу, уметь анализировать, сравнивать, делать выводы.
- Воспитательные – способствовать воспитанию чувства удовлетворения и успеха от процесса решения уравнений, аккуратность в работе.
Формы обучения: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Тип урока: изучения нового материала и первичное закрепление.
Методы: частично-поисковый, репродуктивный.
Оборудование: доска, мультимедийный проектор, компьютер, карточки с дидактическим материалом.
Педагогические технологии: обучение в сотрудничестве и личностно-ориентированный подход в обучении.
План урока:
- Организационный момент.
- Запись д/з.
- Актуализация опорных знаний: математический диктант, устная работа.
- Изучение нового материала.
- Закрепление: работа в группах.
- Подведение итога учебной деятельности.
Эпиграф урока: «Процесс решения уравнения есть просто акт приведения его к более простой форме. Решение его аналогично интерпретации иероглифа или переводу незнакомой фразы на понятный нам язык» (О.Лодж)
ХОД УРОКА
1. Организационный момент. Изученные нами определение логарифма, его свойства, свойства логарифмической функции позволяют нам решать логарифмические уравнения. 2 метода решения логарифмических уравнений мы разобрали на прошлом уроке. Сегодня рассмотрим ещё 2 способа. Приглашаю всех к сотрудничеству.
2. Постановка д/задания:
Запишем д/задание по вариантам: 1 вариант: 44.5(а),
44.7(а), 44.13(а); 2 вариант: 44.5(б), 44.7(б), 44.13(б).
п 44, рассмотреть и записать в тетрадь решение
примера №4.
3. Математический диктант. Работает весь класс, с последующей проверкой. Задания на слайдах. (1 слайд).
1. Найти значения выражений:
7log76 (6)
(15)
(9)
(2)
= (7)
2. Найти корень уравнения:
(х = 49)
(х= 29)
(х = 1)
(х= 10)
Проверка, исправление ошибок. Какие свойства
логарифмов мы использовали?(логарифм частного
равен разности логарифмов делимого и делителя;
логарифм степени равен произведению показателя
степени на логарифм основания степени). На основе
чего вы решали простейшие логарифмические
уравнения? (по определению логарифма). Дайте
определение логарифма числа b по основанию a.
(логарифмом числа b по основанию a называется
показатель степени в которую надо возвести
основание a, чтобы получить число b, причем b
0, a0, a
1). Каким методом мы ещё решали
логарифмические уравнения?
(функционально-графическим). Как мы это делали?
(строили графики функций 
и 
,
искали абсциссы точек пересечения графиков).
Когда логарифмическая функция возрастает и убывает? (если
основание логарифма a1, функция возрастает; если 0
1, то функция убывает).
4. Изучение нового материала:
Следовательно, каждое своё значение
логарифмическая функция принимает в
единственной точке, поэтому равенства 
выполняются тогда, и
только тогда, когда 
, причем 
и
.
Значит для решения уравнений можно использовать
утверждение:
Этот переход называется потенцированием.
Запишите это утверждение в тетрадь по теории.
Рассмотрим решение примера №1 из учебника устно:
. Обратите внимание
на оформление решения.
Великий Конфуций говорил: Три пути ведут к познанию: I путь размышления – это путь самый благородный. Мы его с вами только что прошли в первой части урока. II путь подражания – это путь самый легкий. Пройдем вместе по нему, решив в тетрадях уравнение (один человек выходит к доске, остальные решают в тетрадях, учитель помогает в оформлении решения).
не подходит,
по условию 
.
Ответ: корней нет.
Рассмотрим следующее уравнение, устно проанализируем его решение:
(В правой
части уравнения сумма логарифмов равна
логарифму произведения чисел). Обратите
внимание, что условие для проверки всегда
составляют по исходному уравнению. Решите это
уравнение самостоятельно, затем проверить.
не подходит,
по условию 
.
Ответ: 
.
А что вы можете предложить по решению этого
уравнения: 
?
(это квадратное уравнение относительно 
). (Можно ввести
новую переменную). Этот метод так и называется –
метод введения новой переменной. Записать
название метода в тетрадь по теории и решить
данное уравнение.
, тогда
.
или
Ответ: 1; 1/3.
III путь, о котором говорил Конфуций – это путь опыта. Он самый горький. Пройдём по этому пути. (Класс разбивается на 4 группы, садятся вместе за отдельные столы. Каждой группе выдается карточка с логарифмическими уравнениями.)
Задание: определить метод решения каждого уравнения и решить любые три уравнения. (В каждой группе выбирается наиболее подготовленный ученик, который оценивает работу каждого в группе.)
1 группа:
1.
2.
3. log0,3(– x2 + 5x + 7) = log0,3(10x – 7)
4.
5. log23(2x – 1) – log23x = 0
2 группа:
1.
2.
3.
4. log0,5x = x + 0,5
5.
3 группа:
1.
2. log11(x + 4) + log11(x – 7) = log11(x – 7)
3.
4.
5. 3log20,5x + 5log0,5x – 2 = 0
4 группа:
1.
2. log0,1(x2 + 4x – 20) = 0
3.
4. log23(2x – 1) – log23x = 0
5.
Карточки с выполненным заданием сдают учителю.
6. Итог урока
– Какие методы решения логарифмических уравнений мы знаем? (по определению логарифма; функционально-графический метод; потенцирование-переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению; введение новой переменной). На этом на путь познания методов решения логарифмических уравнений не закончен. На следующем уроке мы разберем еще 2 способа – это метод логарифмирования обеих частей уравнения и приведения к одному основанию. Спасибо за урок.
Список использованной литературы:
- А.Г. Мордкович «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс», учебник и задачник, базовый уровень. «Мнемозина» Москва, 2009 год.
- А.М. Чернокнижникова « Нестандартные уроки математики 5-11 класс». «Аркти» Москва, 2010 год.
- А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» методическое пособие для учителя. «Мнемозина» Москва, 2007 год.
- Л.А. Александрова «Алгебра и начала анализа 11 класс» самостоятельные работы. «Мнемозина» Москва 2009 год.