Воспитание логической культуры при обучении математике

Разделы: Математика


Важным и необходимым компонентом культуры мышления является логическая грамотность, т.е. владение определенным минимумом логических понятий и действий, составляющих азбуку логического мышления. Обучение логической грамоте и, более широко, привитие логической культуры происходит в основном на уроках математики. Это обусловлено спецификой математики как науки, в которой логические формы и отношения выступают в обнаженном, очищенном от всевозможных наслоений виде.

Изучая математику, школьники постоянно встречаются с такими логическими понятиями и действиями, как определение, классификация, логические связки, логические отношения, доказательство. Однако знакомство с логическими понятиями еще не обеспечивает логической грамотности, так же как и знание правил грамматики не всегда надежно предохраняет от ошибок в письменной и устной речи.

Обогатят ли приобретенные на уроках математики логические знания интеллектуальную культуру обучающихся, станут ли для них действенным инструментом мышления или же обременят их память бесполезным грузом, а то и вовсе забудутся – во многом зависит от учителя.

Логические связки “и”, “или” (конъюнкция и дизъюнкция)

С помощью слов “и”, “или”, “если …, то” и других, связывающих предложения, образуются новые предложения. Эти слова называют логическими связками. В математике логическим связкам придается точный смысл. Многие логические ошибки обучающихся являются результатом незнания точного смысла логических связок либо пренебрежением им.

Рассмотрим примеры характерных ошибок:

    1. Если > 1, то х > 1 и х < -1;
    2. ложно, т.к.

равно 4, но не меньше 4.

В первом примере неуместна связка “и”; вместо нее должно быть “или”. Во втором примере ошибка заключается в неверном утверждении о ложности предложения , а аргументация этого утверждения показывает, что причиной ошибки является непонимание смысла связки “или”.

В повседневной речи союзы “и” и “или” связывают отдельные слова либо предложения. В качестве логических связок эти союзы рассматриваются только применительно к предложениям и определяются следующим образом:

1) связка “и” в составных суждениях А и В всегда предполагает одновременную истинность составляющих суждений;

2) составное суждение А или В со связкой “или” считается истинным, если истинно хотя бы одно из составных суждений, и считается ложным, если ложны все его составляющие.

Определенные таким образом логические связки “и” и “или” становятся именами логических функций – конъюнкцией и дизъюнкцией соответственно, которые можно представить таблицами:

А В А и В (конъюнкция   А В А или В (дизъюнкция)
истинно истинно истинно истинно истинно истинно
истинно

ложно

ложно истинно ложно истинно
ложно истинно ложно ложно истинно истинно
ложно ложно ложно ложно ложно ложно

Эти определения, равно как и термины “конъюнкция” и “дизъюнкция”, явно в школьном курсе не фигурируют, и вводить их специально едва ли целесообразно. Для того чтобы сформировать у обучающихся правильные представления о связках “и” и “или”, достаточно постепенно выявлять их смысл в связи с изучением программного материала.

Первый повод для выяснения связок “и” и “или” дает изучение тем “Сравнение чисел” (5, 6 кл.), “Сравнение значений выражений” (7 кл.). Здесь уместно обратить внимание обучающихся на то, что двойное неравенство есть не что иное, как предложение, составленное из двух неравенств с помощью союза “и”, а нестрогое неравенство можно представить как предложение, составленное с помощью союза “или”. Например, 3 < x < 7 можно записать как 3 < x и x < 7; х 6 означает то же, что и предложение x < 6 или х = 6.

После выяснения этих вопросов обучающимся можно предложить такие, например, упражнения:

  1. Верно ли, что число 0,5 удовлетворяет неравенствам: а) x < 0,5; б) х0,5; в) -1 х < 2; г) 0,5 < х 3?
  2. Какие четные числа удовлетворяют неравенству 10 < x < 21?
  3. Какие числа, кратные 5, удовлетворяют неравенству 3 < х 25?

При изображении множеств решений неравенств на координатной прямой (8 кл.) можно показать обучающимся, что открытый числовой отрезок, соответствующий неравенству вида а < x < b, является пересечением открытых числовых лучей, соответствующих неравенствам а < x и x < b, а числовой луч, соответствующий неравенству х а (х b), есть объединение множеств решений неравенства x < а (x > b) и уравнения x = а (x = b).

Представления о соответствии между связками “и” и “или”, с одной стороны, и пересечением и объединением множеств – с другой, закрепляются при выполнении более сложных упражнений на решение неравенств с переменной под знаком модуля, если выяснить предварительно, опираясь на графические иллюстрации, что неравенство вида < a можно представить как сложное предложение x < а и x > - а, а неравенство > a – как x > а или x < - а.

К восприятию идеи связи конъюнкции и дизъюнкции предложений с переменными с пересечением и объединением множеств обучающихся можно подвести с помощью специальных упражнений, например:

1. Вставьте нужное слово (“и” и “или”):

    а) тогда и только тогда, когда ;

    б) тогда и только тогда, когда .

2. Даны множества и . Запишите:

    а) множество букв, принадлежащих множеству и множеству ;

    б) множество букв, принадлежащих множеству или множеству .

3. Запишите множество однозначных четных чисел. Выразите это множество через множество однозначных чисел и множество четных чисел.

4. Запишите множество однозначных чисел, являющихся нечетными или кратными трем. Выразите это множество через множество однозначных нечетных чисел и множество однозначных чисел, кратных трем.

Дальнейшее развитие представления о конъюнкции естественным образом увязывается с изучением темы “Системы линейных уравнений с двумя переменными” (7 кл.). Здесь не говорится прямо, что систему уравнений можно рассматривать как предложение, составленное из данных предложений (уравнений) с помощью связки “и”; однако определение “Пара значений переменных, обращающая в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений с двумя переменными” предполагает именно такое толкование. В самом деле, утверждение “пара значений переменных обращает в истинное равенство каждое уравнение системы” равносильно утверждению “пара значений переменных обращает конъюнкцию уравнений системы в истинное высказывание”. Поэтому целесообразно сообщить обучающимся, что знак системы заменяет связку “и”, и систему уравнений можно рассматривать как сложное предложение с двумя переменными, истинное тогда и только тогда, когда все составляющие его предложения истинны. Тем самым уточнение смысла союза “и” будет произведено в естественной и органической связи с программным материалом. Графический способ решения систем еще раз проиллюстрирует связь между логической операцией “и” и операцией пересечения множеств.

Представление о дизъюнкции развивается в связи с применением разложения на множители к решению уравнений (7 кл.). Здесь следует еще раз подчеркнуть связь операции “или” с объединением множеств и обратить внимание обучающихся на неразделительный смысл, придаваемый связке “или”, которая рассматривается как синонимическая обороту “хотя бы одно из” (предложение “Хотя бы одно из чисел a и b равно нулю” отождествляется по смыслу с предложением “a = 0 или b = 0”).

Обучающимся можно предлагать разнообразные упражнения на применение определений конъюнкции и дизъюнкции, вкрапляя их в устный опрос и упражнения для повторения. Вот несколько примеров таких упражнений:

1. Какие из следующих высказываний истинны:

    а) 2 – число четное и простое; б) 2 – число четное или простое;

    в) 15 делится на 3 или на 4; г) 15 кратно 3 и 5; д)?

2. Какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны:

    а) натуральное число n четно и число n + 1 четно;

    б) натуральное число n четно или число n + 1 четно;

    в) г) х 0 или х 0; д) натуральное число n четно или нечетно?

3. Вставьте нужное слово (“и” либо “или”):

а) = 1 тогда и только тогда, когда () x = 1 … x = -1;

б) < 1 x > - 1 … x < 1;

в) > 1 x < - 1 … x > 1;

г) ab = 0 a = 0 … b = 0;

д) ab 0 a 0 … b 0;

е) a = 0 … b 0;

ж) a2 + b2 = 0 a = 0 … b = 0;

з) (a > 0 … b > 0) … (a < 0 … b < 0).

Таким образом, обучающиеся уже в начале 8 класса будут владеть достаточно общими и полными знаниями об операциях “и” и “или”, которыми смогут пользоваться далее на протяжении всего курса алгебры. Выработанная точка зрения на системы, как на сложные предложения, образованные с помощью союза “и”, позволит унифицировать подходы к решению систем линейных неравенств с одной переменной в 8 классе и систем уравнений с двумя переменными в 9 классе. Для обучающихся станет естественным переход от системы уравнений к дизъюнкции систем. Например, решение системы будет выглядеть естественным и понятным в записи:

Ответ: (3;0), (0;1,5).

Логические связки “если …, то” и “тогда и только тогда, когда
(импликация и эквиваленция)

Кроме операций конъюнкции и дизъюнкции для составления сложных высказываний используются также операции импликации и эквиваленции.

Импликация известна обучающимся 7 класса как “логическое следование” высказывания В из высказывания А (обозначается А В). В русском языке А В обычно означает “если А, то В” или “из А следует В”. Тот же смысл имеют высказывания “А есть достаточное условие для В”, “В есть необходимое условие для А”. Высказывание А в импликации А В называют условием или основанием, а высказывание В – следствием или заключением. Очевидно, что из истинности А следует истинность В, а из ложности В – ложность А.

Эквиваленция (логическая равносильность) – это операция над высказываниями А и В, при которой А В и В А. Обозначается: АВ. В словесной формулировке: “Если А, то В, и если В, то А”, “А тогда и только тогда, когда В”, “А есть необходимое и достаточное условие для В”.

Решение следующих упражнений поможет обучающимся лучше усвоить смысл и значение логических операций, т.е. поможет в развитии правильного мышления:

1. Какие из приведенных ниже высказываний верные:

а) если произведение двух натуральных чисел делится на 6, то хотя бы один из множителей делится на 6;

б) сумма двух нечетных чисел есть нечетное число;

в) не существует целого числа, куб которого оканчивался бы цифрой 2;

г) квадрат любого четного числа делится на 4;

д) если = , то a = b;

е) если a = b, то = ;

ж) (a 0 и b 0) (a + b 0);

з) (a + b 0) (a 0 и b 0);

и) ;

к) ?

2. Напомним: условие называется достаточным, если из него вытекает заключение; условие называется необходимым, если оно вытекает из заключения. В каждом из следующих предложений вместо многоточия вставьте “необходимо”, “достаточно” или “необходимо и достаточно”:

а) для того, что бы сумма двух целых чисел была четным числом, …, чтобы каждое слагаемое было четным;

б) для того, чтобы число делилось на 15, …, чтобы оно делилось на 5;

в) для того, чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 6;

г) для того, чтобы число делилось на 10, …, чтобы оно делилось на 2 и на 5;

д) для того, чтобы сумма двух натуральных чисел была больше 30, …, чтобы хотя бы одно из слагаемых было больше 15;

е) для того, чтобы произведение (х-3)(х+2)(х-5) было равно 0, …, чтобы х = 3;

ж) для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, …, чтобы его диагонали были равны;

з) для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, …, чтобы все его стороны были равны;

и) для того, чтобы параллелограмм был прямоугольником, …, чтобы его диагонали были равны.

Выяснение смысла и правил употребления логических связок представляется необходимым в целях повышения как математической, так и общей культуры мышления обучающихся. Неуточненность смысла логических связок часто приводит к ошибкам в рассуждениях. Привыкнув к однозначности и определенности употребления логических связок в математике, обучающиеся задумываются над их смыслом и в нематематических контекстах; тем самым воспитывается вдумчивое отношение к слову как средству выражения мысли.