Цель урока: познакомить учащихся с однородными уравнениями, относительно cosx и sinx, с уравнениями, решаемыми с помощью разложения их левой части на множители.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование: учебное пособие «Алгебра и начало анализа 10-11кл.» (А.Н. Колмогоров), тетрадь, карандаш, авторучка, линейка, справочник по алгебре, таблица формула корней простейших тригонометрических уравнений, составленная дома самостоятельно.
План урока:
| Этап урока: | Цель этапа: | Время |
| 1. Организационный момент | Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока. | 2 минуты |
| 2. Проверка домашнего задания | Повторить решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным | 3 минуты |
| 3. Устный счет | Совершенствовать умение решать простейшие тригонометрические уравнения | 5 минут |
| 4. Самостоятельная работа | Выявить степень усвоения полученных на предыдущем уроке знаний | 10 минут |
| 5. Изучение нового материала | Познакомить с однородными уравнениями относительно cosx и sinx; с уравнениями, решаемыми с помощью разложения их левой части на множители | 10 минут |
| 6. Закрепление изученного материала | Первичное закрепление полученных знаний | 10 минут |
| 7. Итог урока | Обобщение знаний полученных на уроке | 3 минуты |
| 8. Домашнее задание | Инструктаж по домашнему заданию. | 2 минуты |
Ход урока:
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
III. Устное задание, заранее приготовленное на доске
Решить уравнения (можно пользоваться заранее приготовленной дома таблицей).
- cosx = 12
- sinx = -12
- sinx = -32
- cosx = 32
- tg x = 1
- ctgx = -1
- cos (x + π ) = 0
- sin (x - π3) = 0
- 5tgx = 0
IV. Самостоятельная работа
Работа проводится по учебному пособию
| Вариант 1 | Вариант 2 |
| 3sin2x – 5sinx – 2 = 0 6cos2x + cosx – 1 = 0 2cos2x + sinx +1 = 0 3tg2x + 2tgx – 1 = 0 |
4sin2x + 11sinx – 3 = 0 2sin2x + 3cosx = 0 8sin2x + cosx +1 = 0 2tg2x + 3tgx – 2 = 0 |
На обратной стороне доски заранее написаны ответы.
Можно предложить учащимся выполнить карандашом взаимопроверку, поменявшись вариантами, с последующим выставлением оценок.
V. Изучение нового материала
Опр. Однородные уравнения – это уравнения вида a•sinx + b•cosx = 0; a•sin2x + b•sinx•cosx + c•cos2x = 0
Пример 1.
2sinx + 5cosx = 0
Решение: Разделим обе части уравнения на cosx, получим:
2 tgx + 5 =0
tgx = -52
x = -arctg (52) + πn, nZ
Ответ: -arctg (52) + πn, nZ
Пример 2.
sin2x – 3sinxcosx – 4cos2x = 0
Решение: разделим обе части уравнения на cos2x, получим
tg2x – 3tgx – 4 = 0
tgx = 4, tgx = -2
x = arctg4 + πn, n
Ответ: - π4 + πk, kZ; arctg4 + πn, nZ
Пример 3.
cos2x + sinx = 0 (аналогично)
Ответ: π2 + 2 πn, (-1)n+1π6 + πk, n,kZ.
Пример 4.
cos6x + cos2x = 0
Ответ: π8 + πn4; π4 +πk2, n,kZ
VI. Закрепление изученного материала. Работа с методическим пособием
- 3sin2x + sinxcosx = 2cos2x
- 2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0
- 4sin2x - sin2x = 3
- cos2x = 2cosx – 1
VII. Итог урока.
С какими способами решения тригонометрических уравнений вы знакомы теперь? (перечислить их).
VIII. Домашнее задание. Инструктаж по домашнему заданию.
Решить уравнения:
- 9sinxcosx – 7cos2x = 2sin2x
- 2sin2x – sinxcosx = cos2x
- sin2x – cosx = 0
- sin2x + 4cos2x = 1
Решить уравнение 12sin2x + 3sin2x – 2cos2x=2
(Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3sin2x на 6sinxcosx и 2 на 2sin2x + 2cos2x. После приведения подобных членов, получится однородное уравнение:
10sin2x + 6sinxcosx – 4cos2x = 0
Ответ: х = - π4 + πn, nZ, x = arctg 25 + πk, kZ.)
В начале следующего урока можно предложить самостоятельную работу:
(время выполнении 15-20 минут)
| Вариант I | Вариант II |
| 1) cos2x – 5sinx - 3 = 0 2) sin2x + cos2x = 0 3) cos2x – cos2x = sinx 4) sin4x – cos2x = 0 5) 5 – 5cos(π2 - x) = 2 cos2(π - x) |
1) cos2x + 3sinx = 2 2) sin2x – cos2x = 0 3) 6 – 10 cos22x + 4cos2x = sin2x 4) cosxcos2x = 1 5) 5 cos2(π2 + x) – 5 cos2(2π + x) = 32 |
Анализ усвоенности материала: Все учащиеся проявили интерес к данной теме. В результате написания самостоятельной работы неудовлетворительных оценок нет; качество составило 77%.