Методы решения показательных уравнений

Удовицкая Марина Викторовна, учитель математики

1. Простейшие показательные уравнения

Тип уравнения	Вид уравнения	Метод решения
1		(x)
2		b = a	b b>0	b b
2		= f(x) = 1	f(x) =	Решений нет

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 3^4x-5= 3^x+4.

Решение.

3^4x-5= 3^x+4<=> 4x 5 = x+4 <=> 3x=9<=> x = 3 .

Ответ:3

Пример 2. Решите уравнение: 2^x-4= 3 .

Решение.

2^x-4= 3 <=> x- 4 = x = + 4 <=> x = + <=> x = .

Ответ:.

Пример 3. Решите уравнение:^-3x = -7 .

Решение.

^-3x = -7 , решений нет, так как ^-3x> 0 для x R .

Ответ: ^.

2. Методы преобразования показательных уравнений к простейшим.

A. Метод уравнивания оснований.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 27- = 0 .

Решение.

27- = 0 <=> 3³3^4x-9- (3²)^x+1 = 0 <=> 3^{3+ (4x-9)}- 3^2(x+1) = 0<=> 3^4x-6-3^2x+2= 0 <=> 3^4x-6 = 3^2x+2<=> 4x-6=2x+2 <=> 2x = 8 <=> x=4.

Ответ: 4.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

0 <=> (2²)^x3^x5^x = 60^4x-15<=> 4^x3^x5^x = 60^4x-15 <=> (4^x = 60^4x-15<=> 60^x=60^4x-15 <=> <=>x=4x-15 <=> 3x=15 <=> x=5.

Ответ: 5.

В. Уравнения, решаемые разложением на множители.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: x2^x = 22^x + 8x-16.

Решение.

x2^x = 22^x + 8x-16 <=> x2^x - 22^x = 8x-2) <=> 2^x(x-2) - 8<=> (x-2) ^x - 8) = 0 <=> <=> <=> <=> .

Ответ:

Пример 2 . Решите уравнение:

Решение.

5^2x - 7^x - 5^2x35 +7^x= 0 <=> (5^2x - 7^x)((

Ответ: 0.

С. Уравнения, которые с помощью подстановки ^f(x) = t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям (или к уравнениям более высоких степеней).

Пусть , где А, В, С - некоторые числа. Сделаем замену: >0, тогда A² + B + C = 0

Решаем полученное уравнение, находим значения t, учитываем условие t >0 , возвращаемся к простейшему показательному уравнению ^f(x) = t, решаем его и записываем ответ.

Примеры.

Пример 1 . Решите уравнение: 2^2+x - 2^2-x = 5.

Решение.

2^2+x - 2^2-x = 5 <=> 2²2^x - = 15 <=> 4(2^x)² - 4 = 15^x

Делаем замену t = 2^x, t > 0. Получаем уравнение 4² - 4 = 15t <=> 4t² - 15t - 4=0

<=> , t = не удовлетворяет условию t > 0.

Вернемся к переменной х:

2^х = 4<=> 2^x = 2² <=> x=2.

Ответ: 2

Пример 2. Решите уравнение:

Решение.

Делаем замену: , тогда Получаем уравнение:

5 , t = не удовлетворяет условию t

Вернемся к переменной Х:

Ответ: 2.

D. Уравнения, левая часть которых имеет вид A ^nx + B ^kx b^mx + С b^nx, где k, m N, k + m = n

Для решения уравнения такого типа необходимо обе части уравнения разделить либо на ^nx, либо на ^nx и получится уравнение типа С).

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 22^2x - 5^x + 33^2x = 0.

Решение.

22^2x - 5^x + 33^2x = 0 <=> 2^2x - 5^x3^x + 33^2x = 0 <=> 2 - + 3 = 0 <=>

<=> 2^2x - 5^x + 3 = 0

Пусть t = ^x, t>0 , тогда 2t- 5t + 3 = 0 <=> , оба значения t удовлетворяют условию t Вернемся к переменной х:

<=> <=> .

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение: 8^x + 18^x - 227^x = 0 .

Решение.

8^x + 18^x - 227^x = 0 <=> + - 2 = 0 <=> 2^3x + 2^x 3^2x- 23^3x = 0<=>

<=> + - 2 = 0 <=> + - 2 = 0.

Пусть = t, t>0 , тогда t³ + t - 2 = 0<=> (t³- 1) + (t -1 )= 0 <=> (t-1) (t² +t +1) + (t - 1) <=> (t - 1) (t²+ t +2) = 0 <=> <=> t - 1= 0 <=> t=1. (t>0)

Вернемся к переменной х: = 1 <=> = x = 0 .

Ответ: 0.

К данному типу уравнений относятся уравнения , левая часть которых имеет вид , где А, В, С -некоторые числа, причем .

Уравнения такого типа решаются с помощью подстановки :

= t , тогда = .

Пример 3. Решите уравнение:

Решение.

Заметим, что произведение оснований степени равно единице:

(. Поэтому можно ввести новую переменную: , причем . Получим уравнение:

t ,оба корня удовлетворяют условию :.

Вернемся к переменной х:

Ответ: .

Е. Уравнения, имеющие вид Aa^m = Bb^m.

Для решения необходимо обе части уравнения разделить либо на a^m, либо на b^m. В результате получается простейшее уравнение.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 7^х = 5^х.

Решение.

7^х = 5^х <=> = 1 <=> = <=> x = 0.

Ответ: 0.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

Ответ: 2.

F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: ^.

Решение.

Заметим, что при х=1 уравнение обращается в тождество. Следовательно, х=1 - корень уравнения. Перепишем уравнение в виде

^(*)

Так как при основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R, то при хлевая часть уравнения (*) больше единицы, то есть

Если то левая часть уравнения меньше единицы, то есть

Поэтому, других корней, кроме х=1, уравнение не имеет.

Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

Это уравнение также обращается в тождество при х=1.

Перепишем уравнение в виде:

При основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R.

Поэтому при ха при х: . Таким образом, других корней, кроме х=1 , уравнение не имеет.

Ответ: 1.

^{G. Графический способ решения
уравнений вида f(x).

Чтобы графически решить уравнение такого
вида, необходимо построить графики функций y=f(x) в одной
системе координат и найти (точно или приближенно)
абсциссы точек (если они есть) пересечения этих
графиков. Абсциссы этих точек - корни данного
уравнения (точность результатов определяем
только после подстановки в уравнение ).

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение.

1.Рассмотрим две функции: f(x) = и g(x) = x+1.

2.Графиком функции f(x) = является кривая,
расположенная в верхней полуплоскости, графиком
функции g(x) = x+1 является прямая.

3. Зададим таблицы значений этих функций:

х
-1
0
1
2
3

f(x) =

1
2
4

х
0
3

g(x)= x+1
1
4

4. Из рисунка видно, что прямая и кривая
пересекаются в двух точках- в точке А и в точке В.
По графику определяем абсциссы этих точек: . Значит,
уравнение имеет два корня: х=3 и х= . Число х=3 - точный
корень заданного уравнения, так как при
подстановке в это уравнение получается верное
числовое равенство:

Ответ: 3; .

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

1. Рассмотрим две функции f(x) = и g(x) = .Используем
свойства степени и преобразуем выражение :

= , тогда
вторую формулу можно переписать в виде: f(x) = .

2. Функция f(x) = - показательная по основанию и ее
графиком является кривая, расположенная в
верхней полуплоскости.

Функция g(x) =- прямая пропорциональность и ее график -
прямая, проходящая через точку .

3. Зададим таблицы значений этих функций и затем
построим их графики в одной системе координат.

х
-3
-2
-1
0
1
2

f(x) =
8
4
2
1

х
1
4

g(x) =

2

4. Графики пересекаются в одной точке - в точке
А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 - корень
заданного уравнения.

Примечание:

Если одна часть уравнения содержит убывающую
функцию f(x) , а другая часть -возрастающую
функцию g(x), и уравнение имеет корень х=, то он
-единственный.

В примере 2. : f(x) = убывающая на R функция, а g(x = -
возрастающая на R функция, х=1- корень уравнения и
он единственный.

Ответ: 1.

Приложение к статье "Методы
решения показательных уравнений"}

22.05.2011