Построение графиков математических функций

Разделы: Информатика

Цель урока: показать способы построения графиков функций в Qbasic в декартовой и полярной системах координат, возможность их применения при создании произвольных изображений.

Задачи урока:

  • отработать навыки составления программ, применения операторов графики;
  • самостоятельная работа учащихся на ПЭВМ, умение работать на клавиатуре и с программами.

Демонстрационный материал: готовые программы. Программы демонстрируются на экране с помощью проектора.

Дидактический материал: карточки с программами.

Ход урока:

  1. Организационный момент.
  2. Устное повторение, актуализация знаний.
  3. Изложение нового материала.
  4. Закрепление. Работа учащихся на ПЭВМ.
  5. Подведение итогов выполненной работы.
  6. Задание на дом.

1. Организационный момент: проверка готовности класса. Проверка наличия учащихся на уроке.

2. Устное повторение.

  1. Каким оператором задается графический режим работы экрана?
  2. Каким оператором задается цвет изображения, фона?
  3. Какие операторы выводят точки на экран?
  4. Чем отличаются операторы PSET и RESET?
  5. Каким оператором задается отрезок?
  6. Как располагаются оси координат на экране ПЭВМ?

Ребята, а как вы думаете, можно ли с помощью оператора PSET построить график функции?

3. Изложение нового материала:

Как мы только что повторили, оператор PSET выводит на экран точку, задаваемую декартовыми координатами x, y. С помощью множества точек можно построить графики функций, заданных уравнением. Задавая уравнение, можно построить любую линию – эллипс или окружность, синусоиду и другие кривые или прямые линии. При построении графиков следует учитывать, что значения многих функций могут быть либо очень малы, либо очень велики, поэтому надо применить масштаб, а так же смещение относительно начала координат, чтобы увидеть график функции в пределах экрана. В этом случае задается изменение аргумента Х в заданных пределах и вычисляется ряд значений xi (обычно в цикле). По этим значениям находят yi=f(xi), y=f(x) – требуемая для построения графика зависимость. Допустим только xi>0 и yi>o, поскольку экран дисплея отображает только первый квадрат декартовой системы координат. Однако, добавив к xi и yi координаты точки центра x0 и y0 новой системы координат, всегда можно сдвинуть график в нужную часть экрана.

1). Например, рассмотрим построение графика синусоиды:

SCREEN 9: COLOR 14,11:CLS:=3.14
FOR X= -2*P TO 2*P STEP 0.1
PSET (10*X+200, 50*SIN(X)+150), 4
NEXT X

2). Рисование прямой, параллельной оси Ох и кривой линии y=:

FOR X=1 TO 540
PSET (X+20,10), 2
PSET (X+20,10*SQR(X)),2
NEXT X
FOR I=1 TO 1000: NEXT I

Пустой цикл добавляется для задержки изображения. Если конечное значение управляющей переменной цикла достаточно большое, то можно увидеть, как строится изображение.

Построения некоторых кривых удобно делать в полярной системе координат.

Полярная система координат на плоскости задается точкой О (полюс) и направленной прямой Ох (полярная ось). С каждой точкой Р плоскости, на которой задана полярная система координат, можно связать определенную пару чисел r и j (полярные координаты). Полярный радиус r есть длина отрезка ОР, а полярный угол j – радианная мера угла ХОР, отсчитанная в направлении, противоположном вращению часовой стрелки. Угол j определен с точностью до слагаемого 2kP , где k – любое целое число.

Рисунок 1.

Пару полярных координат r и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса: x=r*cosj , y=r*sinj , в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:

r2 = y2 + x2 (по теореме Пифагора).

3). Рассмотрим программу:

SCREEN 9: CLS: COLOR 14, 0
T=80
FOR W=-40 TO 23.2 STEP 0.2
R=T*SIN(W+F)*0.8
X=320+1.3*R*COS(W)
Y=175+R*SIN(W)
IF W=-40 THEN PSET (X,Y) ELSE LINE -(X,Y)
F=F+0.02
NEXT W
FOR I=1 TO 30000: NEXT I

Эта программа строит сложную кривую, которую описывает конец радиуса с переменной длинной R. Эту программу можно использовать для построения различных кривых:

1.) R=sin(2W) – четырехлепестковая роза
2.) R=sin(7W) – семилепестковая роза
3.) R= 1+2cos(W) – улитка Паскаля, “кардиоида”

4. Закрепление:

Учащиеся у доски выполняют задания:

1) Написать программу для построения прямой,

  1. параллельной оси ОХ, y=const
  2. параллельной оси ОУ, x=const
  3. произвольной прямой. X=∆X+X0, Y=∆Y+Y0

Учащиеся выполняют самостоятельные задания на карточках:

На карточках следующие программы:

  1. Программа построения синусоиды и осей координат.
  2. Построение с помощью оператора PSET эллипса по каноническому уравнению.
  3. Построение синусоиды в плоскости
  4. Построение сферической поверхности

Можно подготовить дополнительные карточки с программами для учащихся быстро выполнивших задания.

Учитель контролирует выполнение заданий, исправляет ошибки. Группа, выполнившая все задания, получает дополнительные.

5. Подведение итогов, выставление оценок. Учитель оценивает работу каждого учащегося.

Контрольные вопросы.

  1. Как задать координаты отображаемой точки?
  2. Как выбрать масштабы по осям X и Y при построении графика?

6. Задание на дом: написать программу для построения графика функции y=x3+x+1, для x от -3 до 3 с шагом 1.

Карточки с заданиями.

1). Построение синусоиды и осей координат
Screen 9: cls: color 4,1: p=3.14
Pset (0,95)
For k=0 to 510: pset step (1,0),2: next
Pset (128,0)
For k=0 to 191: pset step (0,1),2: next
Z=8*atn(1)
For t=0 to 510: pset step (1,0),2: next
Pset (t, 50*sin(z*t/256)+95),4
Next t

2) Построение с помощью оператора PSET эллипса по каноническому уравнению.
Screen 9: cls: a=40: b=120
For x=-a to a step a/400
Y=sqr(b*b*(1-x*x/a/a))
Pset (x+228,y+155),1: Pset (x+228,– y+155),1
Pset (y+228,x+155),12: Pset (– y+228,x+155),12
Next x

3)Построение синусоиды в плоскости
Screen 9: cls: color 1,14: p=3.14
Pset (180,105): line –step (180,0), 14
Pset (180,105): line –step (0,170), 14
Pset (180,105): line –step (157,157)
For w=0 to 4*p step p/50
Z=6*w: x=40*sin(w)
Pset (180+x+.707*z, 105+/707*z)
Next w

4) Шар из кривых (Сферическая поверхность)
SCREEN 9: CLS : COLOR 1, 0
T = 80
FOR W = -40 TO 23.2 STEP .021
R = T * (SIN(W + F) * .95)
X = 320 + R * COS(W)
Y = 100 + R * SIN(W)
IF W = -40 THEN PSET (X, Y), RND * 15 ELSE LINE -(X, Y), RND * 15
F = F + .01
FOR s = 1 TO 30000: NEXT s
NEXT W

Используемая литература.

  1. В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин, Г.Б. Петрова “Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию”. Москва. Высшая школа, 1991.
  2. Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахер “Прямые и кривые”. Москва. Наука.1978.
  3. А.И. Маркушевич “Замечательные кривые. Популярные лекции по математике”. Москва. Наука.1978.