Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Петухова Лидия Васильевна

Разделы: Математика

Цель урока:

Совершенствовать навыки решения задач на применение теории подобных треугольников.
Активизировать мыслительную деятельность обучающихся через дифференцированный подход обучения;
Прививать культуру построения чертежа к задаче.

Оборудование: линейка, карандаш, прямоугольный треугольник

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Теоретический опрос

Подготовить у доски доказательства следующих свойств прямоугольного треугольника:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Пока у доски учащиеся готовят доказательства свойств прямоугольных треугольников,3 учащихся работают индивидуально, а остальные учащиеся решают задачи на готовых чертежах.

Работа по индивидуальным карточкам

I. Уровень (карточка)

В прямоугольном треугольнике АВС С =90, СD – высота треугольника, АС=5см, СВ =10 см. Найдите отношение площадей треугольников АСD и СDВ.
В параллелограмме АВСD ВD АВ, ВЕ АD, ВЕ=6см, АЕ = 3см. Найдите площадь параллелограмма.

II. Уровень (карточка)

Диагонали ромба пересекаются в точке О, АС: ВD = 3 : 2, ОЕАВ. Площадь треугольника АОЕ равна 27 см. Найдите площадь ромба.
В равнобедренном треугольнике АВС АВ = СВ, ВD – биссектриса, DЕ АВ, АЕ : ВЕ =4 : 9, ВD+АС =14. Найдите периметр треугольника АВС.

III уровень (карточка)

В прямоугольнике АВСD ВЕ АС, АЕ : СЕ = 1:3. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.
В трапеции АВСD АD и ВС – основания, ВЕ АD, ВС : АD = 18 см.

Найдите площадь трапеции.

Решение задач по готовым чертежам.

Работа проводится с целью повторения изученных на предыдущем уроке формул.

III. Решение задач.

1. В тетрадях и у доски решить задачу № 576

Один из обучающихся работает у доски, остальные в тетрадях.

Решение:

Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда АС=5х,ВС=6х.

Из ΔABC (угол D=90°) по теореме Пифагора:

AD²=AC² - CD²=25x² - CD².

Из ΔBCD (угол D=90°) по теореме Пифагора:

BD²=CB² - CD²=36x² - CD².

BD² - AD²=(36x² - CD²) - (25x² - CD²)=11x².

BD² - AD²=(BD-AD)(BD+AD)=11*AB, так как BD на 11 см больше AD, BD+AD=AB.

11x²=11*AB=>AB=x².

Из ΔABC (угол D=90°) по теореме Пифагора:

AB²=AC²+CB²=25x²+36x²=61x²=>

AB=x=>x²=x; x=; AB=61см.

Ответ: 61 см.

2. Решить задачу из рабочей тетради №67

В треугольнике OBM, изображенном на рисунке, угол BOM=90°, OH перпендикулярно BM, BM=26 дм, BH=18 дм. Найдите OH и OB.

Решение:

Так как OH - _____________прямоугольного треугольника OBM, проведенная из вершины ______________ угла, то OB===_______(дм). Далее, MH=BM - ______=______ дм, поэтому OH===______(дм).

Ответ: OB=________дм, OH=_______дм.

IV. Самостоятельная работа

I уровень

I вариант

Найти: а). CH, AC, DC. б).S_ACH : S_BCH.

Рис.1.

II вариант

Найти: а). BH, AB, BC. б).S_ABH : S_CBH.

Рис.2

II уровень

I вариант

Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см. Найдите стороны треугольника. В каком отношении данная высота делит площадь треугольника?

II вариант

В прямоугольном треугольнике АВС (С = 90) проведена высота СD так, что длина отрезка ВD на 4см больше длины отрезка СD, АD = 9 см. Найдите стороны треугольника АВС. В каком отношении СD делит площадь треугольника АВС?

Ответы к самостоятельной работе.

I уровень

I вариант

а). CH=, AC=, DC=.