Серия "Учимся решать задачи с параметром" III. Линейные уравнения и неравенства с параметром

Определение. Линейным уравнением с одной переменной х назовем уравнение вида , где коэффициенты А и С, а также свободные члены В и D, являются действительными числами (или некоторыми функциями параметра).

Примеры линейных уравнений:

, (1) , (4)

, (2) , (5)

, (3) . (6)

Уравнения (2)-(6) легко привести к виду уравнения (1), если перенести все члены в левую часть, а затем привести подобные слагаемые.

Получим:

, ,

, .

,

В общем виде линейное уравнение с переменной х запишется так:

, где называется коэффициентом при переменной х, а - свободным членом уравнения. и могут быть действительными числами.

Определение. Уравнение , где - линейная функция с параметром а, назовем линейным уравнением с параметром а.

Всякое уравнение первой степени общего вида является линейным, а обратное не всегда верно. Так линейное уравнение приводится к виду , которое не является уравнением первой степени.

Рассмотрим теперь линейное уравнение с параметром а. Оно только при является уравнением первой степени: если , то получим ; если , то и т.д.

Всякое линейное уравнение с параметром вида порождает семейство линейных уравнений с числовыми коэффициентами.