При решении широкого класса задач с параметром довольно часто оказывается полезным графический метод.
Напомним суть этого метода. Рассмотрим сначала
уравнение с одной переменной 
. В системе координат (хОу)
строят график функции 
и находят абсциссы точек пересечения
графика с осью (Ох). Эти абсциссы и являются
корнями данного уравнения. Часто для решения
уравнения 
его заменяют равносильным 
, затем строят графики функций 
и 
, находят абсциссы точек
пересечения построенных графиков.
Решение задач с параметром графическим методом имеет ряд особенностей. Оно основано на нахождении всех точек данной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному в условии задачи соотношению. При этом используются различные системы координат: (хОу), (хОа), (аОх) (для уравнений, неравенств с переменной х и параметром а, а также их систем и совокупностей). Их выбор обусловлен особенностями задачи, простотой построения графиков и т.д.
Например, уравнение 
при его решении графическим методом
удобно рассматривать как уравнение с двумя
переменными х и а.
Определение. Пусть дано уравнение с двумя
переменными 
.
Если все его решения изобразить точками на
координатной плоскости, то получится некоторое
множество точек плоскости, которое называется
графиком уравнения 
.
При аналитическом решении такого уравнения с
двумя переменными, пользуясь свойствами
уравнений, одну переменную выражают через
другую. Общее решение этого уравнения имеет вид 
или 
.
Рассмотрим линейное уравнение 
. Выразим y через х:
, 
. 
- общее решение уравнения.
В системе координат (хОу) графиком уравнения является прямая. (Рис. 1).
Координаты всех точек этой прямой являются
решениями уравнения 
.
Например, при 
;
при 
.
(3; 0), (0; - 4) - решения данного уравнения.
А теперь в уравнении 
выразим х через у. 
, 
.
- общее
решение уравнения.
В системе координат (уОх) графиком уравнения также является прямая. (Рис. 2).
При 
; при 
.
Используя формулы 
(1) и 
(2), мы получим одни и те же пары
значений х и у, т.е. одни и те же решения
уравнения 
:
Рассмотрим теперь уравнение 
с переменной х и
параметром а. Это уравнение также является
уравнением с двумя переменными.
Выразим х через а: 
. В системе координат (аОх)
графиком уравнения является прямая (рис. 3). Здесь
переменная х является линейной функцией
параметра а.
График функции 
является графической иллюстрацией
ответа: для любого значения параметра а 
.
При решении целого ряда задач с параметром
бывает полезным выразить параметр через
переменную. Из уравнения 
получим: 
. Построим график этого
уравнения в системе координат (хОа) (рис. 4). В
данном случае параметр а является линейной
функцией переменной х.
Ответим на вопрос: “При каких значениях
параметра а корни уравнения 
принадлежат отрезку [1; 3]”?
Используем графики функций 
или 
. (Рис. 3, 4).
(если 
, то 
; если 
, то 
).
А теперь построим семейство графиков функции 
в системе
координат (хОу) (они параллельны прямой 
, где 
). (Рис. 5).
Решениями уравнения 
являются абсциссы точек пересечения с
осью Ох графиков функции 
при заданных значениях
параметра а. Если 
, то 
;
если 
, то 
. Общее решение
уравнения 
: 
.
Рассмотрим примеры решения задач с параметром графическим методом.
№ 1. Сколько корней в зависимости от а
имеет уравнение 
?
1 способ решения.
Перепишем уравнение в виде 
. Решим его в системе координат (хОу).
Для этого построим графики функций 
и 
(семейство прямых, параллельных
оси х). (Рис. 6).
Ответ: Если 
,
то уравнение имеет два корня; если 
, то уравнение имеет один
корень; если 
,
то корней нет.
2 способ. Аналогично данное
уравнение решается в системе координат (хОа).
Для этого выразим параметр а через
переменную х: 
. (Рис. 7).
Записывая ответ, поставим в соответствие
каждому фиксированному значению параметра а
значение искомой величины х. Для этого график
функции 
“рассекается” горизонтальными прямыми.
Ответ тот же.
3 способ. Вновь обратимся к
координатной плоскости (хОу). Построим
семейство парабол, заданных уравнением 
, и, в
зависимости от параметра а, определим
количество точек пересечения парабол с осью Ох
(её уравнение 
).
(Рис. 8).
Определим координаты вершин этих парабол: 
, 
.
Уравнение 
имеет один корень, если 
, т.е. 
. Если 
, т.е. 
, то корней нет; если 
, т.е. 
, то уравнение имеет два корня.
Замечание. Решив данное уравнение аналитически, можно получить графическую интерпретацию ответа в системе координат (аОх):
если 
, то 
;
если 
, то 
;
если 
, то
решений нет. (Рис. 9).
№ 2. При каких значениях параметра а
множество решений неравенства 
не содержит ни одного
решения неравенства 
?
Решение
Решим эту задачу графически в системе координат (аОх). (Рис. 10).
Неравенству 
удовлетворяют координаты точек,
принадлежащих выделенным частям плоскости (аОх).
Если 
, то ни
одна точка полосы между прямыми 
и 
, включая точки этих прямых, не
попадает в выделенные области.
Ответ: 
.
А теперь рассмотрим более сложный пример.
№3. Найдите сумму целых значений параметра,
при которых уравнения 
и 
имеют корни, причем число их корней одинаково.
Решение
Выразим параметр а из каждого уравнения.
1. 
.
ООУ: 
Пусть 
.
Тогда 
-
неверное равенство. Значит, 
не является корнем данного
уравнения. Разделим обе части на 
: 
.
Рассмотрим функцию 
. (1)
Исследуем функцию 
с помощью производной и построим её
график в системе координат (хОа).
.
Критические точки: 
, 
.
Знаки производной и экстремумы:
; 
.
; 
; 
;
; 
.
График функции 
симметричен графику функции 
относительно
оси х. (Рис. 14).
2. 
(2).
ООУ: 
2.1. Пусть 
.
Тогда 
.
2.2. Пусть 
.
Тогда 
.
2.3. Пусть 
.
.
Критическая точка: 
.
; 
; 
; 
.
; 
.
2.4. Пусть 
.
.
Критическая точка: 
.
; 
; 
; 
;
; 
; 
.
; 
; 
; 
.
График функции 
также изображён на рисунке. (Рис. 14).
Используя построенные в системе координат (хОа) графики функций (1) и (2), найдём такие значения параметра а, при которых уравнения имеют корни, причём их число одинаково. Это означает, что горизонтальные прямые должны пересекать графики функций в одинаковом количестве точек.
Так как при 
первое уравнение не имеет корней, то рассмотрим 
. Второе
уравнение имеет корни при любом значении
параметра а. Условию задачи удовлетворяют 
и 
. Найдём сумму целых
значений а, принадлежащих этим интервалам:
(- 17) + (- 16) + (- 15) + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = - 23.
Ответ: - 23.
Таким образом, графический метод обладает целым рядом преимуществ перед аналитическим: он более нагляден и понятен в случаях, когда необходимо ответить на качественный вопрос или провести анализ множества решений. Однако следует помнить, что универсальных методов и приёмов, пригодных для любой математической задачи, не существует. Поэтому, приступая к анализу той или иной задачи, необходимо выбрать наиболее эффективный из возможных способов её решения.