При решении широкого класса задач с параметром довольно часто оказывается полезным графический метод.

Напомним суть этого метода. Рассмотрим сначала уравнение с одной переменной . В системе координат (хОу) строят график функции и находят абсциссы точек пересечения графика с осью (Ох). Эти абсциссы и являются корнями данного уравнения. Часто для решения уравнения его заменяют равносильным , затем строят графики функций и , находят абсциссы точек пересечения построенных графиков.

Решение задач с параметром графическим методом имеет ряд особенностей. Оно основано на нахождении всех точек данной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному в условии задачи соотношению. При этом используются различные системы координат: (хОу), (хОа), (аОх) (для уравнений, неравенств с переменной х и параметром а, а также их систем и совокупностей). Их выбор обусловлен особенностями задачи, простотой построения графиков и т.д.

Например, уравнение при его решении графическим методом удобно рассматривать как уравнение с двумя переменными х и а.

Определение. Пусть дано уравнение с двумя переменными . Если все его решения изобразить точками на координатной плоскости, то получится некоторое множество точек плоскости, которое называется графиком уравнения .

При аналитическом решении такого уравнения с двумя переменными, пользуясь свойствами уравнений, одну переменную выражают через другую. Общее решение этого уравнения имеет вид или .

Рассмотрим линейное уравнение . Выразим y через х:

, . - общее решение уравнения.

В системе координат (хОу) графиком уравнения является прямая. (Рис. 1).

Координаты всех точек этой прямой являются решениями уравнения .

Например, при ; при .

(3; 0), (0; - 4) - решения данного уравнения.

А теперь в уравнении выразим х через у. , .

- общее решение уравнения.

В системе координат (уОх) графиком уравнения также является прямая. (Рис. 2).

При ; при .

Используя формулы (1) и (2), мы получим одни и те же пары значений х и у, т.е. одни и те же решения уравнения :

Рассмотрим теперь уравнение с переменной х и параметром а. Это уравнение также является уравнением с двумя переменными.

Выразим х через а: . В системе координат (аОх) графиком уравнения является прямая (рис. 3). Здесь переменная х является линейной функцией параметра а.

График функции является графической иллюстрацией ответа: для любого значения параметра а .

При решении целого ряда задач с параметром бывает полезным выразить параметр через переменную. Из уравнения получим: . Построим график этого уравнения в системе координат (хОа) (рис. 4). В данном случае параметр а является линейной функцией переменной х.

Ответим на вопрос: “При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат отрезку [1; 3]”?

Используем графики функций или . (Рис. 3, 4).

(если , то ; если , то ).

А теперь построим семейство графиков функции в системе координат (хОу) (они параллельны прямой , где ). (Рис. 5).

Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения с осью Ох графиков функции при заданных значениях параметра а. Если , то ; если , то . Общее решение уравнения : .

Рассмотрим примеры решения задач с параметром графическим методом.

№ 1. Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение ?

1 способ решения.

Перепишем уравнение в виде . Решим его в системе координат (хОу). Для этого построим графики функций и (семейство прямых, параллельных оси х). (Рис. 6).

Ответ: Если , то уравнение имеет два корня; если , то уравнение имеет один корень; если , то корней нет.

2 способ. Аналогично данное уравнение решается в системе координат (хОа). Для этого выразим параметр а через переменную х: . (Рис. 7).

Записывая ответ, поставим в соответствие каждому фиксированному значению параметра а значение искомой величины х. Для этого график функции “рассекается” горизонтальными прямыми.

Ответ тот же.

3 способ. Вновь обратимся к координатной плоскости (хОу). Построим семейство парабол, заданных уравнением , и, в зависимости от параметра а, определим количество точек пересечения парабол с осью Ох (её уравнение ). (Рис. 8).

Определим координаты вершин этих парабол: , .

Уравнение имеет один корень, если , т.е. . Если , т.е. , то корней нет; если , т.е. , то уравнение имеет два корня.

Замечание. Решив данное уравнение аналитически, можно получить графическую интерпретацию ответа в системе координат (аОх):

если , то ;

если , то ;

если , то решений нет. (Рис. 9).

№ 2. При каких значениях параметра а множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства ?

Решение

Решим эту задачу графически в системе координат (аОх). (Рис. 10).

Неравенству удовлетворяют координаты точек, принадлежащих выделенным частям плоскости (аОх).

Если , то ни одна точка полосы между прямыми и , включая точки этих прямых, не попадает в выделенные области.

Ответ: .

А теперь рассмотрим более сложный пример.

№3. Найдите сумму целых значений параметра, при которых уравнения и имеют корни, причем число их корней одинаково.

Решение

Выразим параметр а из каждого уравнения.

1. .

ООУ:

Пусть . Тогда - неверное равенство. Значит, не является корнем данного уравнения. Разделим обе части на : .

Рассмотрим функцию . (1)

Исследуем функцию с помощью производной и построим её график в системе координат (хОа).

.

Критические точки: , .

Знаки производной и экстремумы:

; .

; ; ;

; .

График функции симметричен графику функции относительно оси х. (Рис. 14).

2. (2).

ООУ:

2.1. Пусть . Тогда .

2.2. Пусть . Тогда .

2.3. Пусть .

. Критическая точка: .

; ; ; .

; .

2.4. Пусть .

. Критическая точка: .

; ; ; ;

; ; .

; ; ; .

График функции также изображён на рисунке. (Рис. 14).

Используя построенные в системе координат (хОа) графики функций (1) и (2), найдём такие значения параметра а, при которых уравнения имеют корни, причём их число одинаково. Это означает, что горизонтальные прямые должны пересекать графики функций в одинаковом количестве точек.

Так как при первое уравнение не имеет корней, то рассмотрим . Второе уравнение имеет корни при любом значении параметра а. Условию задачи удовлетворяют и . Найдём сумму целых значений а, принадлежащих этим интервалам:

(- 17) + (- 16) + (- 15) + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = - 23.

Ответ: - 23.

Таким образом, графический метод обладает целым рядом преимуществ перед аналитическим: он более нагляден и понятен в случаях, когда необходимо ответить на качественный вопрос или провести анализ множества решений. Однако следует помнить, что универсальных методов и приёмов, пригодных для любой математической задачи, не существует. Поэтому, приступая к анализу той или иной задачи, необходимо выбрать наиболее эффективный из возможных способов её решения.