Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Рулева Татьяна Геннадьевна, учитель математики

Разделы: Математика

Классы: 8, 9

Ключевые слова: Текстовые задачи

Цели:

Обобщить решение задач с помощью систем уравнений различными методами.
Воспитывать интерес к предмету через межпредметные связи с химией и литературой, обращая внимание на аккуратность, дисциплинированность и самостоятельность.
Развивать устную и письменную речь, внимание и логическое мышление.

Оборудование:

компьютер и проектор;
тексты задач для решения в классе;
тексты задач для решения дома;

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Подготовка к уроку: повторение способов решения задач с помощью систем уравнений различными методами.

Комментарий к уроку: использование презентации Microsoft Power Point.

Эпиграф к уроку: Учитель должен много знать, и не только свой предмет, он должен быть компетентным в разных областях. …

План урока:

Организационный момент (сообщение о необходимости решения задач с помощью систем уравнений, связь темы урока с КИМами ГИА по математике).
Актуализация опорных знаний (повторение методов решения систем уравнений).
Закрепление материала (решение задач путем математического моделирования).
Итоги урока. Домашнее задание.

Приложение 1

Слайд 1: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Слайд 2: “Все науки настолько связаны между собою, что легче изучать их все сразу, нежели какую-либо одну из них в отдельности от всех прочих”. Рене Декарт

Слайд 3: Методы решения систем уравнений:

– подстановки;
– алгебраического сложения;
– введения новых переменных;
– графический.

Слайд 4: Алгоритм решения задачи с помощью системы уравнений:

1. Обозначить неизвестные элементы переменными;
2. Составить по условию задачи систему уравнений;
3. Определить метод решения системы уравнений;
4. Выбрать ответ, удовлетворяющий условию задачи.

Слайд 5: Этапы решения задачи:

Первый этап.
Составление математической модели.

Второй этап.
Работа с составленной моделью.

Третий этап.
Ответ на вопрос задачи.

Слайд 6: Л.Н. Толстой “Арифметика”

У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

I этап. Обозначим х – число овец у первого мужика, у – у второго.

II этап. (Решаем методом алгебраического сложения.)

IIIэтап. Ответ: 13 и 22.

Слайд 7: Илья Ильф и Евгений Петров “Двенадцать стульев”

Слайд 8: Задача: Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей.

Сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил?

Ну, а чтобы обеспечить единственность решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Теперь найдите решение.

Слайд 9: Решение:

а) Пусть взято x трехрублевок и y пятирублевок
3x+5y=50 находим пары: 5 и 7, 10 и 4, 15 и 1

б) а – осталось трехрублевок
b – осталось пятирублевок
3а+5b=20 находим пары: 5 и 1, 0 и 4

Значит, отец Федор взял 5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10 трехрублевок и 4 пятирублевок.

Слайд 10: Задачи от Н.Носова из книги “Витя Малеев школе и дома”

Слайд 11:

Задача 1.
Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал каждый из них?

Решение:

I этап. Пусть мальчик сорвал х ор., а девочка у ор.

II этап. (Решаем методом подстановки.)

III этап. Ответ: мальчик сорвал 80 ор., а девочка сорвала 40 ор.

Слайд 12:

Задача 2.
В магазине было 8 пил, а топоров в три раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и три пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила?

Решение:

I этап. Пусть топор стоит х руб., а пила стоит у руб.

II этап. (Решаем методом алгебраического сложения.)

III этап. Ответ: топор стоит 5 руб. и пила стоит 8 руб.

Слайд 13: Задача из рассказа А.П. Чехова “Репетитор”

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого сукна, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное – 3 руб?

Слайд 14: Решение:

I этап.

Пусть черного сукна приобрел купец – х м и синего сукна – у м. Так как синее сукно стоит 5 руб. за 1м, а черное – 3 руб. за 1м, то составим и решим систему уравнений:

II этап. (метод подстановки)

x = 138 – y
5(138 – y) + 3y = 540
5(138 – y) + 3y = 540
690 – 5y +3y = 540
-2y = -150
y = 75 x = 138 – 75 = 63.

III этап. Ответ: 63 (аршина) – синего и 75 (аршин) – черного сукна приобрел купец.

Слайд 15:

Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

I этап: Пусть первого сплава взяли х г и второго – у г.

Слайд 16

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько “бедной” руды надо взять, чтобы получить при смешивании с “богатой” 20 т руды с содержанием меди 8%?

Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08

I этап:
Пусть надо взять х т “бедной” руды, которая будет содержать 0,06х т меди, а “богатой” руды надо взять у т, которая будет содержать 0,11у т меди. Составим первое уравнение: х + у = 20.

Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08=1,6 т меди, то получим уравнение:

0,06х + 0,11у = 1,6.

II этап: (метод подстановки)

Решив систему уравнений, получим х = 12.

III этап: Ответ: 12 т руды с 6% содержанием меди

Слайд 17

Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?