Решение уравнений с модулем, содержащих параметр

Разделы: Математика

Цель урока: Научить учащихся решать уравнения с модулем, содержащих параметры, графическим способом.

Задачи:

  • Развивать представление учащихся о разных видах уравнений, способах их решения.
  • Развивать исследовательские навыки обучающихся, умение анализировать, рассматривать все возможные случаи при решении заданий.
  • Развивать логическое мышление.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран, шаблоны графиков функции у = |х|.

Ход урока

  1. Повторение.
  2. Графическое решение уравнений, содержащих модуль.
  3. Графическое решение уравнений с модулем, содержащих параметры.
  4. Итог урока.
  5. Домашнее задание.

Презентация.

Эпиграф к уроку

"Математика - это инструмент, специально приспособленный для работы с отвлеченными понятиями всех типов:". П.Дирак.

Учитель Ученик
- Великий французский физик Поль Дирак сказал: "Математика - это инструмент, специально приспособленный для работы с отвлеченными понятиями всех типов:"  
- Таким отвлеченным понятием для многих может послужить - понятие модуля и параметров.  
- Для успешного решения заданий мы вспомним, что такое модуль числа, каков график функции у = │х│? Рассмотрим решение уравнений с таким понятием, как параметр, с использованием специального математического приема - построение графиков функции.  
- Что значит решить уравнение? Решить уравнение - это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное равенство.
- Какие способы решения уравнений вы знаете и используете при решении? Аналитический, графический способы и способ подбора.
- Для решения уравнений графическим способом необходимо:

1. Определить какие функции заданы в уравнении.

2. Построить графики этих функций.

3. Найти по графику точки пересечения, определить их абсциссы, это и будут корни уравнения, если таких точек нет, то уравнение не имеет решений.

 
- Для решения уравнений с модулем необходимо вспомнить, что называется модулем числа?
- Как построить график функции у = | х |? Из определения модуля числа следует, что график функции у = | х | представлен в виде у= х, при х img2.gif (62 bytes) 0 и у = -х , при х < 0, т.е. ломанной, состоящей из биссектрис первой и второй четверти.
1. Решить графически следующие уравнения:

а) │х│= 5,

б) │х│= -4,

в) -│х + 1│= -2,

г) │х - 3│= 0.

 Решение уравнений: а) │х│= 5

Ответ: -5, 5.

б) │х│= -4

img4.gif (3116 bytes)

Ответ: нет решения.

в) │х + 1│= -2

img5.gif (3452 bytes)

Ответ: -3 ; 1.

г) ) │х - 3│= 0

Ответ: 3.
Следующая группа уравнений - это уравнения содержащие параметр.  
Современная математика является важнейшим инструментом для естественных наук. Сегодня естествоиспытатели, инженеры, специалисты гуманитарных наук оперируют в своих областях исследования различными зависимостями при задании различных параметров.  
Параметр ( от греческого parametron - отмеривающий) в математике - величина, числовое значение которой позволяет выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.  
Решить уравнение с параметром - значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения.  
2. Решить уравнения:

а) │х│= а,

б) │х -3│ = а,

в) │ах - 1│ = 2.

 Решение уравнений:

а) │х│= а

Ответ: если

а < 0, то нет корней,

а > 0, то х = а , х = -а

а = 0, то х =0.

б) │х -3│ = а

Ответ: если

а < 0, то нет корней,

а > 0, то х = 3 - а, х =3 + а

а = 0, то х =3.
3. Найти все значения р, при которых уравнение │х - 2│+ │х - 3│= p имеет хотя бы один корень. 3. Построим два графика функций:

у = │х - 2│+ │х - 3│ и у = р.

Для построения графика функции

у = │х - 2│+ │х - 3│ найдем нули подмодульных выражений.

х- 2 = 0 и х -3 = 0

х = 2 и х = 3.

Рассмотрим, как поведет себя функция на промежутках: (- ; 2); ; (3; +).

На промежутке (- ; 2); функция принимает вид у = - 2х + 5,

на промежутке [2;3]: у = 1,

на промежутке (3; +) : у = 2х - 5

Ответ: при р 1.
4. При каких значениях а и в уравнение имеет более пяти корней.

│х - 1│ +│х - 2│ = ах + в.

4. Построим графики функций:

у= │х - 1│ +│х - 2│ и у = ах + в.

По чертежу определим при каких значениях а и в график функции

у= │х - 1│ +│х - 2││ и у = ах + в совпадают.

Ответ: при а = 0, в = 1;

при а =-2, в = 3;

при а = 2, в = -3.
Итог урока.

При решении уравнений с модулем, содержащих параметр, графическим способом, необходимо построить графики функций и при различных значениях параметра рассмотреть все возможные случаи.

  
Домашнее задание. Решить уравнение: │х - 2,5│+ │х + 1,5│= p.