Степень с натуральным показателем. 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Задачи:

  1. Повторить координатную плоскость и решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными.
  2. Раскрыть понятие степени и ознакомить с терминологией степени.
  3. Развивать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.

Эпиграф к уроку:

«Лучше усваиваются те знания,
которые поглощаются с аппетитом».

Анатоль Франс, французский писатель.

Ход урока

Разминка.

  1. Самое большое целое отрицательное число.
  2. Одна сотая часть числа.
  3. Наименьшее положительное двузначное число.
  4. Сумма противоположных чисел.
  5. Наибольшее отрицательное двузначное число.
  6. Произведение двух отрицательных чисел.
  7. Произведение девяти положительных чисел.
  8. Произведение девяти отрицательных чисел.
  9. Произведение чисел 950 и 0.
  10. Произведение чисел –15 и 1.

I. Дорогие, ребята! Сегодня продолжаем знакомиться с Алгеброй. Язык науки Алгебры вам уже знаком. Она ввела вас 1 сентября 2010 года в свой огромный научный дом. В доме этом много этажей. Насколько успешно работали вы на 1 – 3 этажах проверит вас Алгебра.

II. Из повторения. Назовите промежутки, аналитическую модель занесите в тетрадь.

1. (5; +∞), открытый луч, х > 5.
[а; +∞), луч, х ≥ а.
[а; в] , отрезок, а ≤ х ≤ в.
(-7; 20], полуинтервал , 7 < х ≤ 20.

2.

Назовите уравнение прямой и координаты точек, не лежащих на прямой.

А(-3; 4), В(7; 8) (точки построены на плоскости).
Д(-3; -5), Е(3; -4).

3. Решить систему:

1.

2. Найдите площадь прямоугольника со сторонами а и в.

Вычислите значение данного выражения при следующих значениях а и в:

1) а = 1,5м;  в = 0,5м.

2) а = м.

3) в = м.

Дополнительно: построить точки: В(-7; 0), С(-4; 8), А(5; -2).

Напоминаю. Дом Алгебры не достроен – количество этажей всё время увеличивается. Новые и новые этажи возводят учёные – алгебраисты. Может быть, кому-то из вас суждено попасть в их число.

Вы хорошо справились с заданиями.

Подготовительная работа к восприятию нового материала.

Алгебра разрешает подняться на следующий этаж и открывает перед вами двери в лабораторный комплекс «Умножение», где продолжаем знакомство с алгебраическими операциями.

Вычислите наиболее экономным способом:

1) 8·7·25
2) (-4)·47(-75)
3) 4·13·625
4) (-5)·125·4·8
5) 125·75·16·4
6) 4(-5)·0(-25)

Какие свойства умножения вам пришлось применить?

Приведите примеры задач, которые можно решить, используя только умножение.

Задача. В книгохранилище 50 полок, на каждой полке по 50 книг, в каждой книге по 50 страниц, на каждой странице по 50 строк, в каждой строке по 50 букв. Сколько напечатано букв во всех данных книгах?

50·50·50·50·50 = 625·500000 = 312.500.000 (букв)

Ответьте на вопрос: игра «Определение истинности (ложности) утверждения».

Является ли:

  1. Произведение двух целых чисел целым числом?
  2. Произведение двух отрицательных чисел отрицательным числом?
  3. Произведение двух положительных чисел положительным числом?
  4. Произведение двух рациональных чисел рациональным числом?

(Приведите примеры.)

Ребята! Вы убедились, что во всех заданиях речь шла об операции «Умножение» и её свойствах. Кое-где встречались буквы. Они были просто масками чисел. Алгебраическое умножение оперирует числами и буквами. Но под маской иногда могут скрываться не только числа.Нам предстоит знакомство с тем, как используется умножение для построения новых алгебраических выражений, как при этом применяются основные свойства умножения коммутативность и ассоциативность.

Ближе к делу. Прошу вас в лабораторию «Исследование степеней».

Взгляните, вот кусок старинного папируса Ахмеса (1700г. до н.э.).

На нём записана задача: 7 человек имеют по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает по 7 колосьев ячменя, а из каждого колоса вырастает 7 мер ячменя.

Сколько мер ячменя сохранится благодаря этим кошкам?

Если вы немного вдумаетесь в содержание задачи, то обнаружите, что для её решения нужно вычислить произведение пяти одинаковых множителей: 7·7·7·7·7 = 75.

Такие произведения изучают в этой лаборатории.

Иногда в похожих задачах приходится иметь дело с большими числами. Лаборатория помогает обойтись в таких случаях без громоздких вычислений. Здесь предлагают следующие записи:

1 000 000 000 = 10·10·10·10·10·10·10·10·10 = 109;
1048576 = 220;
8 000 000 = 29·56.

Частые гости лаборатории – астрономы. Они приносят сюда свои «астрономические числа»; подвергают их алгебраической обработке и получают полезные результаты.

Например, расстояние от Земли до туманности Андромеды выражается числом:
95 000 000 000 000 000 000 км = 95·1018 км.

Масса Солнца в граммах выражается числом:
1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1983·1030 г.

Кроме того, в лабораторию попадает и масса других серьёзных задач. Остро стоит проблема вычисления выражений вида:

; а(а2)3·(а3)3;

сотрудники лаборатории пытаются провести такие вычисления наиболее экономным способом. Вы можете подключиться к этой работе. Хотите?

Тогда, прежде всего вам нужно ознакомиться с терминологией, которой пользуются исследователи степеней.

Решите анаграмму: Т Е С Е П Ь Н.

Определение 1.

Степенью алгебраического выражения а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Читают так:

  • «а в n-й степени»;
  • «n-ая степень алгебраического выражения а»;
  • «а в степени n».

Условлено, что для любого алгебраического выражения а: а1 = а

Следует, что любое алгебраическое выражение можно рассматривать как степень.

а + 5 = (а + 5)1
3в – 4с = (3в – 4с)1

Кроме того, введена нулевая степень алгебраического выражения: а0 = 1, (а ≠ 0).

Складывается такая картина. Компоненты степени имеют специальные названия:

Примеры:

1) а·а = а2, читается «а во второй степени» или коротко «а квадрат» или а в квадрате.
2) а·а·а = а3, читается «а в третьей степени» или «а в кубе» или коротко «а куб».

С чем связано прочтение «а квадрат» и «а куб»? (С площадью квадрата со стороной а и объёмом куба с ребром а.)

Привыкайте к новым терминам и к новой операции – операция возведения в степень. (Эта операция, в сущности, пятое действие для чисел и для неизвестных, обозначающих числа. Она является новым действием алгебры. Математики считают его действием третьей ступени).

Закрепление.

№ 15.1 (2 строчка).

б) 7·7·7·7·7·7 = 76;
г) 8,4·8,4·8,4·8,4·8,4 = (8,4)5.

№ 15.2 (2 строчка).

б) y·y·y·y·y = y5;
г) q·q·q = q3.

№ 15.3 (устно).

а) – устно;
б) ;
в) .

Комментирование.

№ 15.5.

а) (ав)·(ав)·(ав)·(ав) = (ав)4
б) (-pq)·(-pq)·(-pq) = (-pq)3

№ 15.6.

б) (zt)·(zt) = (zt)2

№ 15.9, 15.10 (а, б).

а) х8 = х·х·х·х·х·х·х·х;
б) (-2а)4 = (-2а) ·(-2а) ·(-2а) ·(-2а).

№ 15.13 (а, б, в).

а) 16 = 42;
б) 16 = (-4)2;
в) .

№ 15.14 (а, в).

а) 125=53;
в) -0,216-(-0,6)3.

Самостоятельно. Карточки. Проверьте себя.

I вариант.

Вычислите площадь квадрата со стороной а, если а = 2,5 см. Вычислите:

а) 2·2·2·2·2;
б) ;
в) (-1)5.

II вариант.

Вычислите объём куба с ребром в, если в = 3 дм. Вычислите:

а) (-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2);
б) ;
в)137.

Взаимопроверка: работа в парах.

Итог урока. Игра «Заполни пропуски».

Заполните пропуски карандашом.

  1. «При возведении в степень положительного числа получается … число».
  2. «При возведении в степень нуля получается …».
  3. «Степень отрицательного числа с чётным показателем есть ... число».
  4. «Степень отрицательного числа с … показателем есть число отрицательное».
  5. «Квадрат любого числа есть … число».
  6. «Куб … числа является положительным числом».
  7. «Куб … является отрицательным числом».

Домашнее задание:

§15, 1-5, подготовить сообщение об Андромеде;

№ 15.14 (б, г), № 15.11.