Интегрированный урок "Приложение комплексных чисел к решению практических задач"

Разделы: Математика, Физика

Место урока в программе:

  • физика: повторение и обобщение тем "Постоянный ток", "Переменный ток";
  • математика: обобщающий урок "Приложения комплексных чисел" в разделе "Комплексные числа".

Урок предназначен для 11-х классов с углубленным изучением физики и математики.

Цели:

Обучающие:

  • совершенствовать навыки решения экспериментальных задач;
  • закрепить знания по теме "Постоянный и переменный ток", дать математическое описание силы переменного тока;
  • рассмотреть некоторые приемы расчета силы переменного тока сложной цепи;
  • показать приложения комплексных чисел к расчету цепей переменного тока, построению фракталов и их применению, к аэродинамике.

Воспитательные:

  • воспитание внимательности, аккуратности, трудолюбия;
  • привитие навыков работы в группе, уважительного отношения к мнению товарищей.

Развивающие:

  • развивать коммуникативные способности;
  • развивать умение соотносить личностную самооценку с оценкой своей работы товарищами и реальной оценкой;
  • развивать умение оценивать работу других и выставлять аргументированную отметку;
  • развивать креативность мышления.

Тип урока:

  • комбинированный с интеграцией математики и физики:
  • физика: повторение и обобщение по теме "Постоянный и переменный ток", решение экспериментальной задачи;
  • математика: повторение действий с комплексными числами, приложение комплексных чисел к решению практических задач, изучение нового материала.

Оборудование: ПК, интерактивная доска, мультимедийный проектор, цифровая лаборатория по физике "Архимед",модель генератора переменного тока, элементы для сборки электрической цепи: резисторы на 2-10 Ом, реостат, источники постоянного тока на 40 В, ключ, провода, конденсаторы емкости 1000 и 2000 мкФ, лампочка, генератор НЧ, секундомер, индуктивная катушка.

Структура урока

  1. Организационный момент - 1 мин.
  2. Историческая справка - 5 мин.
  3. Актуализация знаний - 5 мин.
  4. Установочный эксперимент - 10 мин.
  5. Решение экспериментальной задачи - 20 мин.
  6. Анализ полученных результатов - 4 мин.
  7. Изучение нового материала - 36 мин.
  8. Домашнее задание - 2 мин.
  9. Итоги - 6 мин.

Резерв времени - 2мин., урок рассчитан на 90 мин.

Ход урока

1. Организационный момент. Добиться внимания.

- Война - это всегда конфликт определённых сторон. Причины войн бывают разные - политические, экономические, религиозные и т.п. А знаете ли вы "войну", которая продолжалась более 100 лет и закончилась в конце 2007 года? Эта была необычная война, война умов, интеллекта. Яркими представителями конфликтующих сторон были Томас Эдисон и Никола Тесла.

- С какими открытиями в физике связаны эти имена? (Томас Эдисон - электрическая лампочка накаливания, фонограф и кинематограф, а также менее значимые - обыкновенный ламповый патрон, выключатель, рубильник, плавкий предохранитель, вощеная бумага, рупор, ротатор, гигрометр и пр., Никола Тесла - переменный ток, электродвигатели, флуоресцентный свет, беспроводная передача энергии, дистанционное управление, лечение высокочастотными токами:)

2. Историческая справка. Описывая эту войну, можно привести слова Гроссмана: "Война Гроссмана - это искусство. В ней дружат элементы расчёта, холодного знания и умного опыта с вдохновением случаем и чем-то совсем иррациональным".

- Что же не поделили Эдисон и Тесла? Основой для разногласий стал рынок сбыта электрической энергии, а точнее, какой ток передавать потребителю: переменный или постоянный. Это была "война токов". Переход к слайду 1 Приложения 3.

- Казалось бы, какая война? Ведь в нашем мире достаточно потребителей как постоянного, так и переменного тока? Сегодня на уроке мы попытаемся в этом разобраться. (Приложение 4. Предыстория войны токов.)

3. Актуализация знаний.

- Давайте вспомним, какой ток называется переменным? Постоянным? (Переменный ток, в отличие от тока постоянного, непрерывно изменяется как по величине, так и по направлению, причем эти изменения происходят периодически, т.е. точно повторяются через равные промежутки времени. Чтобы вызвать в цепи такой ток, используются источники переменного тока, создающие переменную ЭДС, периодически изменяющуюся по величине и направлению. Постоянный ток - электрический ток, не изменяющийся с течением времени ни по силе, ни по направлению.)

Слайд 3. Задание на соответствие предложено на интерактивной доске.

- Соотнесите объекты, изображённые на рисунке с понятием переменный и постоянный ток, стараясь объяснить это логически.

Пары работают с раздаточным материалом на местах, этот материал вынесен на интерактивную доску. Затем один из учащихся предлагает свой вариант решения на интерактивной доске с комментариями, тем самым осуществляется проверка выполненной работы.

Электроснабжение постоянным током неохотно сдавало свои позиции. Хотя уже в начале XX века большинство электростанций выдавали переменный ток, существовало немало потребителей постоянного тока. Переменный ток для них преобразовывался в постоянный с помощью ртутных выпрямителей. Электростанции постоянного тока строились вплоть до 1920-х годов. Хельсинки окончательно перешли на переменный ток в 1940-х годах, Стокгольм в 1960-х. С исчезновением последнего потребителя постоянного тока, в ноябре 2007 года главный инженер компании "Консолидейтед Эдисон", которая предоставляла электроснабжение постоянным током, перерезал символический кабель. Это и положило конец "войне токов".

- Попробуем ответить на следующие вопросы: Почему переменный ток вытеснил постоянный? Каковы проблемы передачи энергии? Есть ли разница, какой ток передавать переменный или постоянный? Существует ли какая-нибудь выгода в передачи энергии в виде переменного тока? Переход к слайду 4.

Посмотрите внимательно на формулы на доске и поясните, как они связаны с передачей электроэнергии. (Потери энергии на нагревание проводов прямо пропорциональны квадрату силы тока в линии электропередач, для уменьшения потерь необходимо уменьшить силу тока в линии или уменьшить сопротивление, а для этого потребуется увеличить площадь сечения проводника, что экономически невыгодно. При передаче энергии на расстояние необходимо оставить неизменной мощность передаваемой энергии. Чтобы при уменьшении силы тока в линии не уменьшилась передаваемая мощность, следует во столько же раз увеличить напряжение.)

- И так, чтобы передать электрическую энергию на большие расстояния без изменения мощности, надо менять или ток, или напряжение, или сопротивление. Предлагаю вам экспериментально проверить, как можно изменить ток, напряжение, сопротивление в цепи переменного и постоянного тока.

4. Установочный эксперимент. Используя цифровую лабораторию "Архимед" и модель генератора переменного тока, получаем зависимость напряжения от времени в виде графика, отображаемого на интерактивной доске (Приложение 1).

- Определите вид наблюдаемой зависимости. (Мы наблюдаем периодическую зависимость, близкую по своему виду к синусоиде или косинусоиде).

- С чем связана неравномерность амплитуды? (Неравномерность амплитуды обусловлена человеческим фактором - вращение рамки в магнитном поле осуществляется рукой человека.)

-Как получить постоянное по амплитуде и частоте изменение напряжения? (Необходимо использование постоянной внешней силы. Например, вращение гидротурбин падающей водой в ГЭС.)

5. Решение экспериментальной задачи. Класс разбивается на 3 группы, перед каждой ставится собственная задача.

1) Исследовать способы изменения силы тока в параллельных цепях постоянного тока.

2) Исследовать влияние ёмкости конденсатора на силу тока в цепи постоянного и переменного тока.

3) Исследовать зависимость силы тока от частоты тока и индуктивности катушки.

Группа получает набор оборудования и сопроводительный лист (Приложение 2), содержащий постановку задачи, таблицу для внесения экспериментальных данных, вопросы для обсуждения и оценку деятельности каждого члена группы.

6. Анализ полученных результатов. Учащиеся выполняют эксперимент, результаты и вывод записывают в сопроводительные листы. По завершении эксперимента группа докладывает свои выводы. Затем делается результирующий вывод по физической стороне урока.

При увеличении расстояния, растёт электрическое сопротивление проводов, и растут потери на их нагрев. При создании электрической линии, рассчитанной на передачу определенной мощности, существенно снизить потери можно только снижая сопротивление (делая провода толще) или повышая напряжение (понижая, тем самым, силу тока). Чтобы вчетверо снизить потери, приходится либо вчетверо снижать сопротивление, либо вдвое повышать напряжение. Таким образом, передача энергии на большие расстояния возможна только при использовании высокого напряжения.

Поскольку эффективных способов изменять напряжение постоянного тока в конце19 - начале 20 веков не существовало, в электростанциях Эдисона использовалось напряжение, близкое к потребительскому - от 100 до 200 вольт. Такие электростанции не позволяли передавать потребителю большие мощности. Преодолеть это ограничение можно было сложными и дорогими мерами: использованием толстых проводов или строительством целой сети местных электростанций. Другими словами, подход Эдисона не позволял построить мощную электростанцию, снабжающую целый регион, равно как и построить ГЭС в удобном для неё месте.

Переход к слайду 5. Напряжение переменного тока легко изменяется с помощью трансформаторов (КПД до 99%). Это даёт возможность, как передавать ток по магистральным линиям весьма высокого напряжения на большие расстояния (сотни километров), так и строить сеть высоковольтных линий меньшего напряжения для поставки энергии на трансформаторные подстанции, а затем и потребителям. С другой стороны, при высоких частотах переменного тока начинает ощутимо сказываться скин-эффект (отсутствующий при постоянном токе), вынуждающий заменять один толстый проводник пучком тонких.

7. Изучение нового материала. Переменным током называется ток, изменяющийся во времени (слайд 6). Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для переменного тока мгновенное значение силы тока является функцией времени. Сила переменного тока обозначается i(t) и является периодической функцией:

i(t+T)=i(t-T)=i(t).

Величина, обратная периоду, называется частотой, измеряется в герцах (Гц) и обозначается .

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01-10 Гц - в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) - до сверхвысоких (3000 - 300000 МГц - миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия).

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой и обозначается Im (слайд 7).

Из всех возможных форм периодических токов самым распространенным является синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока он позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи.

Рассмотрим переменный синусоидальный ток:

,

где - фаза синусоиды, j - начальная фаза.

Величина w характеризует скорость изменения фазы угла и называется угловой частотой. Так как за время T одного периода фазовый угол изменяется на 2p , то угловая частота

.

Рассмотрим изображение синусоидальной силы тока (слайд 8) на декартовой координатной плоскости. Построим радиус вектор, равный модулю амплитуды силы тока и образующий с положительным направлением оси абсцисс угол j . Начнем вращать этот вектор со скоростью w против часовой стрелки (это направление вращения считается положительным) и будем проецировать этот вектор на ось ординат (рисунок 1).

Рис. 1

Тогда уравнение проекции в любой момент времени имеет вид

.

Такое изображение синусоидального тока называется векторной диаграммой. С практической точки зрения удобнее считать, что вектор остается неподвижным, а против часовой стрелки вращается сама система координат с той же скоростью w . Векторные диаграммы используют при расчете цепи: они делают его более наглядным и простым. Таким образом, сложение и вычитание мгновенных значений силы тока можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Рассмотрим пример (слайд 9). Пусть в точке разветвления суммарный ток i3 равен сумме двух токов i1 и i2 (рисунок 2), так как угловая частота при этом не изменяется, то

,

,

.

Рис. 2

Необходимо вычислить начальную фазу и амплитуду результирующего тока. Воспользуемся векторной диаграммой. Так как векторы, изображающие токи, вращаются с одинаковой скоростью, то параллелограмм остается неизменным с течением времени. По теореме косинусов

.

Рис. 3

Величина искомой начальной фазы находится по приведенной ниже формуле, вывод которой достаточно сложен, но позже мы ее получим другим способом:

.

Определение амплитуды и начальной фазы результирующего тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Поэтому операции с векторами заменяют алгебраическими действиями с комплексными числами, что позволяет значительно повысить точность вычислений. Переход к слайду 10.

Чтобы не происходило путаницы в обозначениях, вместо стандартного обозначения мнимой единицы i используют . Любое комплексное число может быть записано в алгебраической и тригонометрической z=r(cos j +j sin j ) формах. Как и ранее поместим вектор в начало координат и спроектируем его на действительную и мнимую оси. Тогда

.

При этом фазовый угол можно определить по проекциям вектора на оси: .

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно коэффициенту при мнимой единице. Используя свойства умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим

.

Величина называется поворотным сомножителем или оператором поворота и обозначается . Величина называется комплексной амплитудой.

Возвращаясь к рассмотренному примеру (слайд 11), получим:

, ,

.

Откуда

,

.

Этот алгоритм вычислений распространяется на любое число слагаемых. Заметим, что сложение и вычитание силы тока удобно проводить в алгебраической форме, а в том случае, когда надо выполнить деление или умножение, удобно пользоваться тригонометрической формой записи. Переход к слайду 12.

Достоинство комплексного метода состоит еще и в том, что при его применении в анализе цепей переменного тока можно применять все известные методы анализа постоянного тока. Так, например, первый закон Кирхгофа в комплексной форме звучит так: алгебраическая сумма комплексных действующих значений токов в узле равна нулю: .

В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные. Открытие комплексных чисел вооружило ученых новыми, более общими методами исследования. Многие теоремы алгебры, которые раньше приходилось разбивать на ряд частных случаев, после введения комплексных чисел приобрели общность. Новыми методами пополнилось решение уже известных задач, существенно обогатилось и само содержание их, стала бурно развиваться одна из важнейших ветвей математического анализа - теория функции комплексного переменного. Аппарат комплексных чисел является хорошим аналитическим средством для решения различных геометрических задач. Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам элементарными выкладками. Выбор этих формул диктуется условиями задачи и ее требованием. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды, полет самолетов и ракет. Применяются они при вычерчивании географических карт, используются для изучения явлений в атомах и атомных ядрах и т.д.

Методы теории функции комплексной переменной используется при построении фракталов, которые в последние время очень популярны. Фракталы находят применение, например, в компьютерном дизайне, в алгоритмах сжатия информации, используются при анализе и классификации сигналов сложной формы, применяются в физике твердого тела, в динамике активных сред.

Переход к слайду 13.Остановимся на построении фракталов подробнее. Каждому комплексному числу соответствует некоторая точка плоскости. Возведем это число в квадрат - появится другая точка, еще раз возведем в квадрат (или любую другую степень), появляется новая точка на плоскости. Повторим многократно эту операцию. Если z=r(cos + j sin  ), то zn=rn(cos n + j sin n). В зависимости от начального числа могут быть три варианта:

1) |z|>1, процесс пошел вразнос |z|>1, число резко растет,

2) |z|<1, число быстро уменьшается,

3) |z|=1. При определенных начальных значениях новые числа группируются внутри некоторой области, а при отображении их на плоскости появляются невероятные изображения. Это группирование возводимых в квадрат комплексных чисел впервые подметил и описал Жюлиа в 1916 году. И это, так называемое множество Жюлиа, послужило отправной точкой для Бенуа Р. Мандельброта, математика из Исследовательского центра им. Томаса Уотстона при IBM, впервые предложившего термин "фрактал" для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам.

Рис. 4

Суть технологии получения фрактала состоит в следующем. Берется комплексное число. Выбранное число возводится в квадрат и прибавляется фиксированное комплексное число. Простейшая итерационная формула Zнов=Z2стар+ с, соответствующая множеству Жюлиа, нарисует подобие куклы-неваляшки. Края ее размыты (рисунок 4). Одной из характерных особенностей такой границы является ее самоподобие. Если взять любую часть границы, то можно обнаружить, что она встречается в разных местах границы и имеет разные размеры. Различные значения параметра с могут порождать разнообразные множества Жюлиа, малейшее изменение этого параметра нередко приводит к существенным метаморфозам.

Переход к слайду 14. Исходя из сказанного, известная вам салфетка Серпинского является фракталом. Ее трехмерный аналог - тоже фрактал (слайд 15). Еще один простой в построении фрактал - снежинка Коха (слайд 16). Фракталы не являются чем-то надуманным математиками. Фрагменты объектов, подобных фракталам, достаточно часто встречаются в окружающем нас мире (слайд 17). Взгляните на рельеф береговой линии. При увеличении масштаба становится заметно, что ее части самоподобны. Такую же ситуацию мы сможем увидеть, если рассматривать вилок цветной капусты (посмотреть на него издали и вблизи).

Переход к слайду 18. Рассмотрим лист папоротника. Выбрав одну из его составляющих и увеличив ее, заметим, что она подобна целому листу. Это действие можно повторить еще раз, но уже на следующем, третьем шаге, сделать этого нельзя. Т.е. рассматриваемый объект является самоподобным с ограничением. Если рассмотреть структуру соцветия молочая Миля, то она близка к древовидному фракталу, используемому для сжатия информации.

Переход к слайду 19. Говоря о фракталах, нельзя не упомянуть об их широком применении в компьютерной графике (построение ландшафтов и структур). Вашему вниманию предлагаются изображения несколько интересных фракталов (слайды 20, 21). Здесь возникает естественный вопрос: откуда и как берутся разные цвета? Фрактал является функцией комплексного аргумента, ее значение - также комплексное число, а изобразить функцию надо в трехмерной системе координат. В этом случае используют следующее соглашение: оси абсцисс и ординат отвечают соответственно действительной и мнимой части аргумента, по оси аппликат откладывают действительную часть значения функции и получившуюся точку окрашивают в цвет, отвечающий заранее сформированной цветовой шкалы (градиента) в зависимости от мнимой части значения функции.

Переход к слайду 22. С помощью теории функций комплексного переменного (т.е. функций, у которых значениями аргументов и значениями самих функций являются комплексные числа) в начале прошлого века выдающийся русский ученый в области механики Н.Е.Жуковский вывел формулу для определения подъемной силы крыла самолета (слайд 23), ставшей основой аэродинамических расчетов в самолетостроении (поперечные элементы конструкции предотвращают вращение крыла).

8. Домашнее задание:

по математике:

В рассмотренном примере разветвления цепи , . Определите i3(t).

Решите систему уравнений:

по физике: составить таблицу количественного и качественного сравнения двух токов.

9. Итоги. Учащиеся формулируют теоретические и экспериментальные задачи, решенные на уроке, и основные результаты. Ответ учащихся комментируется учителем.

Учащимся предлагается оценить работу товарищей как по математике, так и по физике и аргументировать свое мнение. Затем учитель подводит итоги и выставляет отметки.

Замечание. При подготовке презентации в ряде случаев использовались рисунки и анимации, найденные на различных сайтах, иллюстрации, приводимые в книгах и журналах (Приложение 5).

Приложения 2.