Сравнение объемов многогранников

"В задачах по элементарной геометрии приходиться пользоваться очень остроумными,
подчас тонкими приемами, и тот, кто в своей молодости вкусил их прелесть, никогда их не забудет".
Э. Борель

Цель урока: продолжить изучение свойств многогранников, которые можно использовать для решения задач на сравнение их объемов; показать их применение в задачах; развивать умение учащихся применять полученные знания в конкретных ситуациях.

Оборудование: модели многогранников, мультимедийная установка, компьютерный класс, карточки для решения задач.

Ход урока

Организационный момент - постановка цели урока, ознакомление с планом работы на уроке.

Геометрическая разминка - решение задач на готовых чертежах.

Вариант 1.

• Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и каждое из них имеет длину 2 см. Вычислите объем пирамиды.
• Боковая грань АДС тетраэдра ДАВС перпендикулярна плоскости основания АВС. Ребра АВ=АС=BС=АД=ДС=2 см. Найдите объем тетраэдра.
• Двугранные углы треугольной пирамиды равны по 60⁰. Найдите высоту пирамиды, если площадь ее боковой поверхности 72 см², а объем 24 см³.

Вариант 2.

• Плоские углы при вершине тетраэдра прямые, боковые ребра равны 1 см; 2 см; 3 см. Найдите объем тетраэдра.
• В основании треугольной пирамиды ДАВС прямоугольный треугольник АВС, угол С равен 90⁰, АС=ВС. Боковая грань АДВ перпендикулярна плоскости основания. Угол АДВ равен 90, АД=ДВ, АВ=4 см. Найдите объем пирамиды.
• Объем пирамиды 24 см³ . Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если все боковые грани образуют с основанием угол 60⁰, а высота пирамиды равна 2 см.

После решения данных задач проводим проверку ответов, обсуждаем особенности задач.

Вопросы по задачам:

- В чем заключается прием, используемый при решении задачи № 1?

- Какое свойство пирамиды, одна из боковых граней которой перпендикулярна плоскости основания, используется в решении задачи № 2?

- Какая формула связывает площадь основания и площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при ребрах основания равны?

3. Повторение материала, изученного на прошлом уроке.

Среди стереометрических задач часто рассматриваются не только задачи на вычисление объемов, но и на сравнение объемов многогранников, на нахождение отношения объемов частей, на которые многогранник разбивается секущей плоскостью.

В планиметрии мы изучали свойства площадей треугольников, четырехугольников, например:

- отношение площадей треугольников с общим основанием равно отношению их высот;

- медиана делит треугольник на два равновеликих;

- отношение площадей треугольников, имеющих равный угол, равно отношению произведений сторон, заключающих равный угол;

- если в трапеции провести диагонали, то треугольники, прилежащие к боковым сторонам будут равновелики; а треугольники, прилежащие к основаниям, подобны.

На прошлом уроке мы рассмотрели ряд свойств многогранников, связанных с их объемами:

- объемы пирамид с равными высотами пропорциональны площадям их оснований;

- объемы пирамид с общим основанием пропорциональны проведенным к нему высотам;

- объемы тетраэдров, имеющих равные трехгранные углы, относятся как произведения длин ребер, образующих эти углы;

- отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэффициента подобия;

- плоскость, проходящая через ребро тетраэдра и середину противоположного ребра тетраэдра, делит его на две равновеликие части.

Доказательство данных свойств можно изучить в Приложении 1 (фрагмент реферата ученицы 11 класса по теме "Сравнение объемов многогранников", раздел "Некоторые интересные свойства объемов многогранников").

А) Какие из перечисленных свойств вы использовали при выполнении домашнего задания (2.289; 2.328, [2])? Чертежи заготовлены заранее, решение задач обсуждаем.

Б) Работая в парах на компьютерах, примените изученные свойства для решения задач № 4, 5, 6, 7, 8, дополнительно задача № 9 (Диск " Стереометрия" 1С, [7], тема "Сравнение объемов многогранников").

После окончания работы на компьютере фронтально проверяем решения задач, вынося чертежи и условие данных задач на доску через мультимедийную установку.

В) Используя каркасные модели, устно решаем задачу: Как провести сечение тетраэдра и параллелепипеда, чтобы объем отсеченного многогранника был равен половине, четверти, девятой, восьмой части исходного объема?

Г) На листах, где решали задачи на готовых чертежах, постройте сечения так, чтобы объем отсеченного многогранника был равен половине, трети и двадцать седьмой части объема тетраэдра.

Листы сдаем (на листах решение задач геометрической разминки и сечения - задание Г).

4. Изучение нового материала. При определении объемов самых разных по форме многогранников можно эффективно использовать свойства ортогонального проектирования.

Выведем формулу для вычисления объема тела, полученного при пересечении призматической поверхности двумя плоскостями. Для этого рассмотрим теорему и следствие из нее:

- Пусть ABCA₁B₁C₁ - тело, которое получено при пересечении треугольной призматической поверхности 2-мя плоскостями: (ABC), перпендикулярной ребрам призматической поверхности, и (A₁B₁C₁), при этом AA₁ BB₁ CC₁. Тогда объем этого тела равен произведению площади основания, лежащего в плоскости (ABC), и среднего арифметического длин ребер AA₁, BB₁, CC₁.