Серия «Учимся решать задачи с параметром»
IV. Квадратные уравнения и неравенства с параметром
IV.1. Основные понятия
Определение. Функцию вида 
(1), где 
, 
, 
–
данные функции от параметра а,
рассматриваемые на пересечении их областей
определения, назовём квадратичной функцией с
параметром а.
В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.
Примеры.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
Определение. Под областью
определения квадратичной функции (1) с параметром
а будем понимать всё множество пар значений х
и а вида (х; а), при каждой из
которых выражение 
не теряет смысла.
Установим области определения 
функций 1-10.
1. 
2.
3. 
4. 5.
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Если параметр принимает одно из числовых
значений из 
, то
функция (1) примет вид одной из функций с
числовыми коэффициентами:
;
;
;
;
;
;
,
где k, b, c – действительные числа.
Обратим внимание на то, что при некоторых
значениях параметра из квадратичная функция с параметром
принимает вид либо квадратичной функции без
параметра, либо – линейной.
Так как квадратичная функция с параметром чаще всего «порождает» семейство квадратичных или линейных функций с числовыми коэффициентами, то говоря о графиках квадратичной функции с параметром, мы будем подразумевать множество графиков этого семейства.
Определение. Квадратным
уравнением с параметром а называется
уравнение вида 
(1)
где , , – данные функции от параметра а,
рассматриваемые на пересечении их областей
определения.
В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.
Примеры.
, (1)
,
(2)
, (3)
, (4)
. (5)
Используя определение квадратичной функции с параметром, можно дать такое определение квадратного уравнения с параметром.
Определение. Квадратным
уравнением с параметром а называется
уравнение вида ,
где –
квадратичная функция с параметром а.
Если 
, то
уравнение (1) является квадратным в традиционном
смысле, т.е. второй степени.
Если же 
, то
уравнение (1) становится линейным.
При всех допустимых значениях параметра а,
при которых и
, по известным
формулам получаем выражения корней уравнения (1)
через параметр.
Те значения а, при которых , следует рассматривать
отдельно в качестве особых случаев.
Так, например, уравнение (5) при 
примет вид 
, откуда 
.
IV.2. Квадратные уравнения с параметром
№1. Решите уравнение 
.
Решение
ООУ: 
–
уравнение-следствие. Получим: 
, 
.
В системе координат (аОх) завершаем решение. (Рис. 1)
Ответ: 1. Если ,
то 
.
2. Если 
, то .
3. Если 
, 
, то , .
№2. Найдите значение параметра а,
при котором уравнение 
имеет единственный корень. Если таких
значений несколько, в ответе запишите их сумму.
Решение
ООУ: 
Данное уравнение сводится к равносильной системе:
Приведём её к виду: 
и решим графически в системе
координат (хОа). (Рис. 2).
Уравнение имеет единственный корень при 
, 
и 
.
0 + 1 + 4 =5.
Ответ: 5.
№3. Найдите все значения х такие,
что при любом значении параметра а, не
принадлежащем промежутку (0; 2], выражение 
не равно выражению 
. (ЕГЭ-2007).
Решение
Переформулируем задачу: «Найдите все значения х
такие, что при любом значении параметра 
уравнение 
не имеет корней».
Выразим а через х:
; 
.
1) Пусть . Тогда 
. Поэтому уравнение
имеет корни. Значит, не удовлетворяет условию.
2) Пусть 
. Тогда 
. Воспользуемся
системой координат (хОа). (Рис. 3).
Условию удовлетворяют 
.
Ответ: .
№4. Сколько корней в зависимости от
параметра а имеет уравнение 
?
Решение
ООУ:
Раскроем модуль:
В системе координат (хОу) построим график функции
и
несколько прямых пучка параллельных прямых,
задаваемых уравнением 
. (Рис. 4).
Ответ: 1. Если 
,
то корней нет.
2. Если 
, то один
корень.
3. Если 
, то два
корня.
IV.3. Квадратные неравенства с параметром
№5. Решите неравенство 
.
Решение
1 способ.
Учтём, что 
.
Тогда 
-
решение данного неравенства при любом b. (Рис.
5).
Если 
, то
переходим к неравенству 
, множество решений которого изобразим в
системе координат (bOx). (Рис. 6).
Совместим рис. 5 и 6.
А теперь по рис. 7, рассекая его вертикальными прямыми, легко получить ответ.
Ответ: 1. Если 
,
то 
.
2. Если 
, то 
.
3. Если 
, то 
2 способ.
Решим неравенство графическим методом в системе координат (хОb):
. (Рис. 8).
Рассмотрим два случая.
1) . Тогда
неравенство примет вид 
, откуда 
.
2) , тогда 
.
График функции 
и
часть плоскости, содержащая точки, координаты
которых удовлетворяют неравенству , изображены на рисунке 8.
Ответ:
1. Если , то .
2. Если , то . 3. Если , то .
3 способ.
Привёдем теперь графическое решение в системе координат (хОу). Для этого раскроем модуль:
Рассмотрим функцию 
.
, 
- корни квадратного
трёхчлена 
.
Сравним 
и 
.
1) 
, откуда .
Получаем совокупность 
. (Рис. 9)
2) 
, откуда . (Рис. 10).
Тогда 
т.е. .
3) 
, откуда . (Рис. 11).
Тогда 
т.е. .
Ответ: 1. Если ,
то .
2. Если , то 
.
3. Если , то .
№6. Найдите все значения параметра а,
для которых наименьшее значение функции 
больше 2.
Решение
Достаточно найти все значения параметра а,
для каждого из которых для любого 
верно неравенство 
. Перепишем неравенство в
виде 
.
Решим его графически в системе координат (хОу).
Для этого рассмотрим функции 
(1), 
(2).
(1) 
(Рис. 12).
Неравенство будет выполняться для всех , если график
функции будет
выше графика функции .
Рассмотрим 2 случая: 1) прямая 
является касательной к
графику функции 
;
2) прямая 
является
касательной к графику функции .
1. 
, 
, 
, 
, 
-
уравнение касательной. Откуда 
, 
. Тогда 
.
2. График функции проходит через точку с координатами
(1; 1): 
, откуда 
.
Условию задачи удовлетворяют все 
.
Ответ: 
.
№7. Решите совокупность неравенств 
Решение
Установим сначала область определения совокупности:
Будем решать совокупность графически в системе координат (хОа). (Рис. 13).
Перепишем совокупность в виде 
Введем функцию 
. (0; 0), (6; 0) - точки пересечения с осями
координат; (3; 9) - вершина параболы.
Найдём корни квадратного трёхчлена 
: 
; 
.
На рис. 13 множество решений совокупности выделено цветом (темным или светлым).
Ответ:
1. Если 
, то
решений нет.
2. Если 
, то 
.
3. Если 
, то 
.
4. Если 
, то 
.
5. Если 
, то 
.
6. Если 
, то 
.
7. Если 
, то 
.
Рис. 13
В данной статье мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств с параметром. Более подробно с теорией и методикой решения линейных и квадратных уравнений, неравенств, их систем и совокупностей с параметром вы можете ознакомиться в учебном пособии: авторы Беляева Э.С., Титоренко С.А., Потапов А.С. «Графический метод решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметром». (Воронеж: Изд-во «Наука-ЮНИПРЕСС», 2010. - 300 с.).