Степенные функции, их свойства и графики

Разделы: Математика

Цели урока:

  • изучить свойства степенных функций с рациональными показателями;
  • научиться строить эскиз графика степенной функции y = xr для любого рационального показателя r;
  • узнать где применяются степенные функции.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Напомнить, правило техники безопасности в компьютерном классе;

II. Актуализация знаний

(Устные задания записаны на доске).

1) Имеет ли смысл выражение:

а) 4– 1/2;
б) (– 8)1/3;
в) 0,032/7;
г) 0– 1/8;

2) Вычислите:

а) 85/3 = 32;
б) 3/2 = 3;
в) (1/625)– 1/4 = 5;

3) Решите уравнение:

а) х3 = 8;
б) х4 = – 16;
в) х6 – 7 = 0;
г) х3 = 2 – х;
д) = 1;
е) х2/3 = 1;
ж) х2/3 = 12 – х;

В уравнениях под буквами г) и д) рассмотреть несколько способов решения: графический (показать на слайде), аналитический.
Решение уравнения ж) вызовет затруднение.
Итак, чтобы решить уравнение нам надо узнать, как выглядит график функции y = x2/3 и ее свойства.

III. Новая тема

– Открыли тетради, записали число и тему урока

Определение: Функции вида y = xr, где r – любое действительное число называют степенными функциями.

Вопрос: Какие числа, принадлежат множеству действительных чисел?
Ответ: Рациональные и иррациональные.

– Сегодня мы ограничимся только степенными функциями с рациональным показателем.
Приведите примеры степенных функций: y = x2, y = x3, y = x– 4, y = x– 3, y = x0, y = x1/2, y = x2/3, y = x– 1/4, y = x2,5, y = x– 3,5.
Некоторые из названых функций, мы уже изучали. Их свойства и графики вам известны из курса 7-9 классов. Это функции с целым показателем. Напомним свойства и графики этих функций. (Приложение 1)

– А сегодня на уроке мы исследуем степенные функции с дробным показателем, построим их графики и установим зависимость между показателем степени и эскизом графика функции. Результат исследований запишем в таблицу.

IV. Каждый из вас получит индивидуальное задание, после выполнения сравним получившиеся результаты.

Раздаются карточки и таблицы (Приложение 3)

1. Построить график функции y = x1/4.
2. Исследовать свойства функции по графику.		 1. Построить график функции y = x4,5.
2. Исследовать свойства функции по графику.
1. Построить график функции y = x1,5.
2. Исследовать свойства функции по графику.		 1. Построить график функции y = x– 2,5.
2. Исследовать свойства  функции по графику.
1. Построить график функции y = x– 4/5.
2.Исследовать свойства функции по графику.		 1. Построить график функции y = x0,3.
2. Исследовать свойства функции по графику.
1. Построить график функции y = x5/6.
2. Исследовать свойства функции по графику.		 1. Построить график функции y = x7/2.
2. Исследовать свойства функции по графику.

V. Построение графиков с помощью программы GraphPlotter

– Конечно, строить графики – работа не из самых увлекательных, особенно когда приходится вычислять значения функций в ряде точек. Но мы имеем возможность строить графики практически мгновенно с помощью программы GraphPlotter.

(Учащиеся строят графики на компьютере, и перечисляют свойства функций по графику.)

– Посмотрите на экран. У кого получился график похожий на эскиз графика на экране? Назовите функции. Что представляют показатели степени степенных функций первой группы? (Правильные дроби). Второй группы? (Неправильные дроби). Третьей группы? (Отрицательные рациональные числа).

После выполнения работы, обучающиеся делают вывод: вид графика степенной функции зависит от показателя  степени и заполняют таблицу.

VI. Рефлексия

– Итак, мы исследовали степенные функции с дробным показателем и узнали их свойства, поэтому можем решить уравнение:  х2/3 = 12 – х  (графическое решение уравнения показано на слайде). Ответ: 8.

1) На рисунке схематически изображены графики функций, которые заданы формулами: y = x3; y = x1/3; y = x4; y = x2; y = 1/x2; y = x1/2; y = x – 1; y = x– 1/2. Установите,  какая формула из данного списка примерно соответствует каждому из графиков.
2) Укажите область определения степенной функции y = xr, если показатель степени  r принимает значения: а) n; б) – n; в) 1/n, n N.
3) Найдите область значений функции: а) y = x2/3 + 4; б) y = 7 – x1,5; в) y = 2x– 1/4;
4) Постройте график функции y = (x – 3)1/3 + 4.
5) Укажите область определения функции: а) y = х – 4/5 + 8; б) y = 2х/(х 1/4 – 2);

VII. Сообщение о применении степенных функций

– Каждый раз изучая новую функцию, как математическую модель, возникает вопрос: «Где она используется?» (Приложение 2)

VIII. Домашнее задание: п.44, № 1249, № 1258 (а), № 1260 (а, б), № 1284 (г).

Литература:

  1. А.Г. Мордкович «Алгебра» 7 класс.
  2. А.Г. Мордкович «Алгебра» 8 класс.
  3. Н.Я. Виленкин «Алгебра: учебное пособие для учащихся 9 кл. c  углубленным изучением математики».
  4. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс.