Методика формирования креативных способностей обучающихся в процессе решения эвристических задач

Разделы: Математика

При обучении математике на решение задач отводится большая часть учебного времени. Однако, к сожалению, в массовой школьной практике решение задач чаще всего рассматривается лишь как средство отработки и закрепления обучающимися программного материала, а развитие творческих способностей осуществляется искусственными приемами, чуждыми математике.

В данной статье сделана попытка обобщить опыт обучения математике с использованием эвристических задач для стимулирования, реализации интеллектуально – творческого потенциала и развития креативных способностей обучающихся.

Цель задач – развить творческое мышление обучающихся, заинтересовать их математикой, привести к “открытию” математических фактов.

В системе задач школьного курса математики, безусловно, необходимы задачи, направленные на отработку того или иного математического навыка, задачи иллюстративного характера, тренировочные упражнения, выполняемые по образцу. Но не менее необходимы задачи, направленные на воспитание у обучающихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера и развитию креативных способностей.

Креативность (англ. create – творить, создавать) в той или иной степени свойственна всем обучающимся, а не является уникальным психологическим качеством, “печатью гения”. Хотя, степень её выраженности может существенно различаться. Креативность управляема и развиваема – её можно активизировать и тренировать, в том числе и посредством решения эвристических задач.

Эвристическая задача – лучший способ мгновенно возбудить внимание и учебный интерес, приблизить возможность открытия.

В данной статье сделана попытка обобщить опыт обучения математике с использованием эвристических задач для стимулирования и реализации интеллектуально-творческого потенциала обучающихся.

Традиционно эвристической называется та задача, способ решения которой неизвестен субъекту или задача, вызывающая познавательную активность ребенка.

Мы рассматриваем эвристическую задачу не как алгоритмически неразрешимую для данного субъекта, а как ситуацию проявления эвристических позиций обучающегося в учебном процессе, как субъективно эвристическую задачу.

Задача, в нашем понимании, не может быть эвристической изначально, она становится таковой в зависимости от того, как ее воспринимает обучающийся: как личностно значимую, имеющую для него ценность или как незначимую, неценную.

По степени определенности содержания эвристические задачи классифицируют следующим образом:

  • Задачи определенного содержания, в которых указаны цель деятельности, ее предмет и метод. Необходимо определить лишь средства, использование которых привело бы к ответу на вопрос задачи, и способ ее решения.
  • Задачи полуопределенного содержания, в которых указан предмет, а цель деятельности обучающимся необходимо переформулировать, чтобы задача стала более податлива к решению.
  • Задачи неопределенного содержания, в которых указан предмет, задана цель деятельности, также требующая переформулировки. Необходимо определить средства, выбрать метод и способ решения.

Например, при изучении темы “ Арифметическая прогрессия” (алгебра, 9 класс) мы предлагаем следующие задачи:

Задача определенного содержания: В арифметической прогрессии первый член равен 8, разность 4. Найти сумму первых шестнадцати членов прогрессии.

Задача полуопределенного содержания: Рабочий обслуживает 16 ткацких станков, которые работают автоматически. Производительность станка 20 м/ч. Он пустил первый станок в 8 ч., а каждый следующий – на 5 минут позже. Найти выработку в метрах за первые 2 часа работы.

Задача неопределенного содержания: Из пункта А в пункт В одновременно и с постоянными скоростями отправились пешеход и велосипедист. Велосипедист, прибыв в пункт В, повернул назад и встретил пешехода через 1 ч после начала движения из пункта А. После встречи с пешеходом велосипедист снова поехал в пункт В, а по прибытии туда повернул обратно и встретился с пешеходом через 2/3 ч после первой встречи. после второй встречи велосипедист опять поехал в пункт В, а доехав, повернул обратно и т.д.

Найти время, за которое пешеход пройдет путь АВ.

Такая классификация, разграничивая эвристические задачи по степени определённости, позволяет учителю произвольно изменять их интеллектуальный и творческий потенциал, вводя или удаляя дополнительную информацию в содержание задачи, изменяя способ предъявления задачи школьникам, т.е. развивая субъективный смысл воспринимаемой ими задачи в процессе понимания и решения.

Например, на уроках геометрии, мы обучающимся предлагаем карточки – задания, которые составлены с учетом их индивидуальных способностей.

Содержание этих карточек может быть различным. Однако каждая из них должна быть лишь толчком к самостоятельному отысканию способа доказательства, а не демонстрацией этого доказательства. Одно и то же задание может быть предложено разным обучающимся с различной степенью трудности.

Вот как это можно осуществить на практике. Учитель поставил цель – найти один из способов доказательства свойства средней линии трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD (см. рис. 1). Проведем диагональ АС и соединим середину ее (точка О) с серединами Е и F боковых сторон АВ и CD. В АВС ОЕ является средней линией, и поэтому ОЕ || ВС. Но так как ВС || AD, то и ОЕ || АD. С другой стороны, в ACD аналогично OF || AD.

Через точку О проходят OF || AD и ОЕ || AD, следовательно, EOF прямая. Так как Е и F – середины боковых сторон трапеции, то EF – средняя линия ее, и она, как уже доказали, параллельна основаниям. Доказательство того, что EF = 1/2 (ВС + AD) очевидно.

Сильному ученику учитель может дать лишь рисунок и предложить доказать теорему; другому – в карточке-задании, кроме рисунка трапеции, можно дать указание: “Середину диагонали соединить с серединами боковых сторон”. Это же задание можно еще более упростить и предложить третьему ученику. В этом случае карточка-задание может быть следующего содержания: “В трапеции ABCD середина диагонали АС соединена с серединами боковых сторон; предварительно доказать, что EOF прямая”. Как видим, к одному и тому же способу доказательства могут быть различные указания.

В карточках – заданиях, прежде всего, должно быть записано условие и заключение, а затем в соответствии с требованием задания и индивидуальными способностями обучающихся даны исходные указания, способные служить отправным пунктом к самостоятельной поисковой деятельности. По форме и содержанию эти карточки могут быть различными.

Каждый рассматриваемый вид эвристических задач по математике включает в себя различные типы учебных задач и заданий, требующих творческого мышления, к которым относят:

  1. задачи по практическому приложению;
  2. задачи, направленные на решение проблемных ситуаций или заданий;
  3. постановка вопросов и формулирование задач или заданий;
  4. задачи по обнаружению на основании собственных наблюдений;
  5. задачи по обнаружению на основании собственных рассуждений.

Приведем примеры эвристических задач различного типа:

1. Задачи по практическому содержанию: Длина автомобильного моста через Каму в Перми 1050 м (при 0оС). Найдите зависимость его длины от температуры воздуха. Как изменится длина моста, если температура изменится от -200С до +200С?

2. Задачи, направленные на решение проблемных ситуаций или заданий (решить уравнение):

3. Постановка вопросов и формулировка задач или заданий:

Дано уравнение 8х – 3 = 5х + 6. Составьте задачу, решение которой приводит к решению данного уравнения.

Задачи по обнаружению на основе собственных наблюдений: Определите высоту дома на рисунке, если высота дерева равна двум метрам (см. рис.2).

Рис. 2

Задачи по обнаружению на основе собственных рассуждений: Во время наводнения из 13-ти мостов было разрушено 3 моста, однако сообщение между берегами прекратилось. Какие мосты оказались разрушенными (см. рис.3)?

Рис. 3

Рассмотрим далее действия обучающихся на уроках математики в зависимости от ступеней развития ситуации решения эвристических задач.

Первая ступень – актуализация ситуации ориентировки ребенка. На данном этапе обучающимся предлагаются эвристические задачи с большой степенью определенности содержания. При решении подобных задач обучающиеся выносят первичные представления о связи математики как науки и учебного предмета с материальным миром, о значимости действенных знаний и умений. Причем эти представления достаточно прочные, так как добыты в результате деятельности, то есть с трудом. На этом этапе происходит формирование познавательного интереса и познавательной потребности через развитие других интересов и удовлетворение других потребностей. Например, при изучении темы “Деление с остатком” в 5 классе, наряду с задачей “Найти остаток от деления числа 365 на 7”, допускающей стандартное решение, предлагаются обучающимся следующие вопросы:

  1. Какое наибольшее число воскресений может быть в году?
  2. В 1983 году было 53 субботы. Каким днем недели было 1 января этого года?
  3. 1970 год начался с четверга. С какого дня недели начинались 1976 и 1977 годы?
    На какую закономерность вы обратили внимание?

При этом у обучающихся формируется креативное мышление, причем в таких благоприятных условиях, когда познавательная активность, возникающая при решении задач с интересующим школьников содержанием, снижает физическую и мыслительную нагрузку школьника, делая выполнение данного вида работы эмоционально приятным, потому что содержание задач каждый раз ново и необычно.

На этой ступени обучающимся предлагаются схемы работы с эвристическими задачами

В соответствии со схемами решение эвристической задачи предполагает следующие этапы:

  1. Анализ задачи, который направлен на то, чтобы понять, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования.
  2. Схематическая запись условия.
  3. Поиск способа решения.
  4. Осуществление (изложение) решения.
  5. Проверка решения.
  6. Исследование задачи – на этом этапе необходимо установить, при каких условиях задача имеет решение и сколько различных решений в каждом отдельном случае, при каких условиях задача вообще не имеет решения и т.д.
  7. Ответ задачи.
  8. Анализ выполненного решения, в котором полезно установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т.д.

Приведенная выше последовательность этапов решения является лишь приблизительной и может корректироваться в зависимости от конкретной задачи.
Рассмотрим последовательность решения задачи на конкретном примере.

Задача. Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 ч, а обратный путь она совершила за 8 ч. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?

1. Анализ

В задаче речь идет о 2-х объектах: лодка и плот. Лодка имеет какую-то собственную скорость, а река, по которой плывет и лодка, и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь между пристанями по течению реки за меньшее время (6 ч), чем против течения (8ч). Но эти скорости (собственная лодки и скорость течения реки) в задаче не даны (они неизвестны), так же неизвестно расстояние между пристанями. Однако требуется найти эти расстояния и скорости, а время, за которое плот проплывает – неизвестное расстояние.

2. Схематическая запись решения (рис. 4)

Рис. 4

3. Поиск способа решения

Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В. Для этого необходимо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Обозначим расстояние АВ буквой S (км), а скорость течения реки примем равной а км/ч. Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи, нужно знать еще собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, допустим, что она равна V км/ч. Отсюда естественно возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

4. Осуществление решения задачи

Итак, пусть расстояние АВ равно х ч. Тогда скорость лодки по течению равна (V+a)км/ч. Т.к. за 6ч лодка прошла путь АВ в S км, имеем 6(V+а)=S (1).

Против течения лодка идет со скоростью (V-а) км/ч и путь АВ в S км проходит за 8ч, поэтому 8(V-а)=S (2).

Наконец, плот, плывя со скоростью а км/ч, покрыл расстояние S км за х ч, значит, ax=S (3).

Уравнения (1), (2) и (3) образуют систему уравнений относительно S, V, a, x. Т.к. требуется найти только х, то остальные неизвестные постараемся исключить. Для этого из уравнений (1) и (2) найдем: Вычитая из первого уравнения второе, получим: отсюда Подставим найденное выражение для а в уравнение (3): Т.к. очевидно, S не равно 0, то можно обе части полученного уравнения разделить на S. Тогда найдем: х=48.

5. Проверка решения

Итак, мы нашли, что плот проплывает расстояние между пристанями за 48 часов. Его скорость равна Скорость лодки по течению равна а против течения Для того, чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами:

а) от скорости лодки по течению отнять скорость течения реки, т.е.

б) к скорости лодки против течения прибавить скорость течения, т.е. Получим верное равенство:

6. Исследование. В данном случае этот этап решения не нужен.

7. Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48 часов.

8. Анализ решения

Мы свели решение задачи к решению системы 3-х уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти-то надо было лишь одно. Поэтому возникает мысль, что приведенное решение не самое удачное. Можно предложить другое.

Зная, что лодка проплыла по течению расстояние за 6ч, а против течения – за 8ч, найдем, что в 1ч лодка, идя по течению, проходит часть этого расстояния, а против течения – Тогда разность между ними есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1ч. Значит, плот за 1ч проплывает часть расстояния. Значит, все расстояние АВ он проплывёт за 48 часов.

Эффективным способом организации решения таких эвристических задач мы считаем устную работу. Например, на уроках геометрии – это решение с анализом условия и требований наглядно – поисковых задач по готовым чертежам. При устном обсуждении решения задачи каждый обучающийся имеет возможность высказаться, и в результате свободной дискуссии рождается решение. Поскольку предлагаются эвристические задачи с большой долей определенности содержания, за 7–10 минут урока удается решить 4–5 таких задач, причем каждый раз новых.

Ребята очень любят работать устно, так как при этом задается быстрый темп, и есть возможность исправить или дополнить себя по ходу решения. Причем активно работают не только “сильные”, а даже скорее наоборот, “слабые” в математике ученики. Отсутствие однообразия и монотонности превращает урок в “живой” и интересный для ребят. Часто можно услышать от них: “А какие интересные задачи вы нам сегодня дадите?”.

На уроках мы пользуемся следующими приемами решения устных эвристических задач:

  • отыскание готовой задачи в методической литературе;
  • составление задачи с использованием авторских идей;
  • преобразование задачи;
  • конструирование задачи;
  • составление задачи.

На этой ступени наиболее эффективной формой работы является фронтальный опрос.

Вторая ступень – актуализация ситуации поиска. Основанием для создания ситуаций служат эвристические задачи, требующие творческой переработки содержания. В ходе этого дальнейшее развитие получают способности обучающихся к рефлексии. Кроме того, формируется умение ставить вопросы, отвечая на которые учащиеся достигают осознания средств и оснований собственной деятельности.

Например, пусть в условии некоторой задачи говорится о том, что треугольник АВС (см. рис.5) делится прямой MN, параллельной основанию, на две части (треугольник и трапецию), площади которых относятся как 2:3.

Рис. 5

Еще не начиная решение этой задачи, обучающиеся вспоминают известную им аналогичную по содержанию теорему об отношении площадей подобных треугольников. Но наличие в условии отношения площадей треугольника и трапеции может затормозить стремление использовать эту терему при решении задачи.

Однако существует простая возможность заменить эту часть условия задачи эквивалентным ему условием, после проведения чего аналогия с известной теоремой станет полной. Для этого достаточно сказать, что треугольник АВС делится этой прямой на два треугольника, отношение площадей которых легко установить.

Применение эвристических задач на данной ступени актуализации ситуации выявило возможность использования уже имеющегося познавательного интереса к выполнению учебных действий через практическую направленность задачи, её проблемность, необходимость исследования или доказательства.

Рассмотрим более подробно это положение на примере проводимого урока – практикума по геометрии в 8-м классе.

Продолжение статьи смотреть в Приложении 1