Цели работы:
- закрепить навыки исследования и вывода формул площади правильных многоугольников;
- совершенствовать общеучебные умения и навыки сравнивать, анализировать, делать выводы.
Оборудование: калькулятор, таблицы Брадиса, циркуль, линейка, простой карандаш, ластик.
Задание:
- Постройте окружность с центром в точке О. Проведите в ней хорду АВ. Пусть эта хорда будет стороной аn правильного n-угольника. Соедините концы хорды с центром и постройте OD l AB. Отрезок OD называется апофемой hn многоугольника, центр окружности - центром многоугольника.
- Выразите центральный угол ?n, опирающийся на сторону, через 3600 и число сторон (как функцию числа сторон).
- Выразите апофему hn через центральный угол и сторону аn.
- Выведите формулу для расчета площади многоугольника через сторону аn и апофему hn.
- Заполните таблицу № 1.
Таблица № 1
| an |  |
tg |
Формула площади Sn | |
| n=3 | ||||
| n=4 | ||||
| n=5 | ||||
| n=6 | ||||
| n=7 | ||||
| n=8 | ||||
| n=9 | ||||
| n=10 |
- Пусть площадь каждого из рассматриваемых многоугольников равна 1. Выразите сторону аn и вычислите периметр Рn.
- Пусть площадь некоторого круга радиуса r1 равна 1. Найдите длину ограничивающей его окружности.
- Пусть площадь некоторого полукруга радиуса r2 равна 1. Найдите длину ограничивающей его линии.
- Результаты своих вычислений занесите в таблицу Декарта.
Таблица Декарта.
| Площадь плоской фигуры | Формула для стороны аn (радиуса) | Формула для периметра Рn | Числовое значение периметра | |
| круг | 1 | |||
| полукруг | 1 | |||
| треугольник | 1 | |||
| квадрат | 1 | |||
| пятиугольник | 1 | |||
| шестиугольник | 1 | |||
| семиугольник | 1 | |||
| восьмиугольник | 1 | |||
| девятиугольник | 1 | |||
| десятиугольник | 1 |
- Сравнивая круг с другими геометрическими фигурами, равными по площади, великий французский математик Рене Декарт сформулировал изопериметрическую теорему. Попробуйте и вы сформулировать эту теорему! Запишите свою гипотезу в тетрадь.
- Выскажите предположение: как можно сформулировать аналогичную теорему в стереометрии, если сравнивать тела равного объема и площадь их поверхности. Запишите свою гипотезу в тетрадь. Затрудняетесь? Прочитайте подсказку от кота.
Подсказка.
В холодное время кот, приготавливаясь ко сну, сворачивается клубком, то есть, делает свое тело насколько возможно шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела.
- Как вы думаете, почему заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы?