Логарифмическая функция. 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цель урока: ввести определение логарифмической функции; исследовать свойства логарифмической функции; научить строить график и применять эти знания в ходе решения упражнений.

Тип урока: комбинированный

Задачи:

  • образовательная: восстановить в памяти учащихся некоторые ранее изученные факты, научить учащихся сочетать различные приёмы решения задач;
  • воспитательная: воспитывать информационную культуру, выработать навыки работы в группе и индивидуально;
  • развивающая: развивать теоретическое и творческое мышление; познавательный интерес; расширять кругозор учащихся.

Оборудование: Интерактивная доска; презентация "Из истории математики"; меловая или маркерная доска; раздаточный материал (приложения 1, 2, 3, 4, 5, 6).

ХОД УРОКА:

I.Организационный момент

II. Самостоятельная работа учащихся на повторение темы: " Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства."

Презентация.

На этом этапе урока проводится разноуровневая работа с учащимися: сильные учащиеся выполняют тестовую работу в программе MyTest, где представлены задания с выбором ответа, на сопоставление, краткой записью ответа (Приложение 1); остальные ребята работают коллективно с преподавателем на интерактивной доске (Приложение 2, созданное в Word)

III. Исследование функции y=logax

Совсем недавно мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида у=logax, и о ее графике и свойствах.

Функцию, заданную формулой у=logax называютлогарифмической с основанием а (а>0, а 1)

Итак, исследованием свойств и построением графика логарифмической функции вы сейчас и займетесь. Для этого вам предстоит поработать в группах(парах): исследовать свойства функции у=logax при а>1 и при 0<а<1 на раздаточном материале (Приложение 4, Приложение 5). Затем на интерактивной доске мы обобщим полученные свойства. Учащимся дается время на работу.

Далее обобщаем полученные свойства (на интерактивной доске графики), а затем вклеиваем раздаточный материал в тетрадь. (Приложение 3)

Свойства функции у = logaх, a > 1

Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели:

1)

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) непрерывна;

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) возрастает на (0;+);

7) имеет вертикальную асимптоту х=0;

8) симметрична графику функции у=ах  ( a > 1) относительно у=х

Свойства функции у = logaх, 0< a< 1

1)

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) непрерывна;

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) убывает на (0;+);

7) имеет вертикальную асимптоту х=0;

8) симметрична графику функции у=ах (0< a< 1) относительно у=х

IV. Закрепление темы

Применяя полученные свойства логарифмической функции решим следующие задания:

1. Найти область определения функции:

  1. у=log8(4-5x);
  2. у= .

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции:

3. Схематично построить графики функций:

  1. у=log2(х+2) -3
  2. у= log2(-х)
  3. у= logхх;
  4. у= 2log2х;
  5. у= хlogх2;

Тест.

V. Из истории математики. (Приложение )

Сегодня на уроке мы продолжили знакомиться с понятием функции, а в частности с новой функцией y=logax, понятие "функция" является важнейшим в математике, с помощью функции описываются различные явления и процессы: физические, химические, статистические, природные и т. п. Этому понятию уделяется много внимания в школьном курсе алгебры и начал анализа.. В частности, вопросам построения и преобразования графиков много внимания уделяется в школьных учебниках.

График - это наглядное изображение функциональной зависимости, он демонстрирует общий характер поведения функции, вскрывает его особенности.

Профессор А. Хинчин называл понятие функции не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем стержнем, который проходит "от элементарной арифметики до внешних разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которого группируется всё математическое преподавание... Поэтому, во-первых, что ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в котором воплощены подвижность, динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин..."*.

Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления связаны между собой. Они ещё не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удаётся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства, земледелия, ремёсел и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Идея зависимости некоторых величин восходит, по-видимому, к древнегреческой науке. Там величины имели геометрическую природу.

Сам термин "функция" возник лишь в 1664 году в работах немецкого учёного Г. Лейбница. Но Лейбниц всё-таки оставался в круге геометрических представлений. Только ученик Лейбница- И. Бернулли дал в 1718 году определение функции, свободное от геометрических образов: "Функцией переменной величины называется количество, образовано каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных". Гениальный ученик Бернулли - петербургский академик Леонард Эйлер определяет функцию так: "Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, принято называть их функциями".

Итак, знание законов природы дало человеку возможность объяснять и предсказывать её разнообразнейшие явления.

"Математическими портретами" закономерности природы служит функция.

В математике всякое правило, устанавливающее соответствие, называется функцией.

VI. Д/З п.38, стр. 240 разобрать примеры 4 и 5, №500(а,в), 509(а), 511(а).

А.Н. Колмогоров, учебник, Алгебра и начала анализа,10-11 класс, М., Просвещение,2000

 Литература.

[1]-А.Н. Колмогоров, учебник, Алгебра и начала анализа,10-11 класс, М., Просвещение,2000

[2]- А.Г. Мордкович, учебник, Алгебра и начала анализа,10-11 класс, М., Мнемозина, 2001

[3]- А.Г. Мордкович, задачник, Алгебра и начала анализа,10-11 класс, М., Мнемозина, 2001

[4]- Е.В. Алтухов, Математика 5-11 классы, Уроки учительского мастерства, Волгоград, "Учитель", 2009

[5]-В.В. Кочагин, ЕГЭ 2009, математика сборник заданий, М., Эксмо, 2008