Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10


Цели урока:

  • Повторить теорему о трех перпендикулярах.
  • Повторить понятие расстояния от точки до прямой и от точки до плоскости.
  • Рассмотреть опорные задачи о свойствах точки, равноудаленной от вершин многоугольника, и точки, равноудаленной от сторон многоугольника.

Ход урока

1. Повторить формулировку и доказательство теоремы о трех перпендикулярах и обратной теоремы (Слайд №2, Презентация).
Доказать ТТП для случая, когда прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, но не проходит через основание наклонной (обобщенная ТТП).
Сформулировать и доказать обратную теорему.

2. Решить задачу* (Слайд №3).
Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба АВСD. Докажите, что прямые ВD и МС перпендикулярны.

3. Решить задачу* №143 (Слайд №4).
Расстояние от точки М до вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ = 6 см.

4. По этому же чертежу (Слайд №5) сформулировать и доказать свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника (на примере треугольника):
Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, описанной около многоугольника.
Сформулировать и доказать обратное утверждение:
Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр описанной около многоугольника окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.

5. Решить задачу* (Слайд №6).
Расстояние от точки до каждой из сторон правильного треугольника АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки S до плоскости треугольника, если АВ=6 см.

*Примечание. При наличии интерактивной доски решение задачи можно кратко записывать на слайде справа от чертежа (Слайды №3, 4, 6).

6. По этому же чертежу (Слайд №7) сформулировать и доказать свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника (на примере треугольника):
Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от сторон многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, вписанной в многоугольник.
Сформулировать и доказать обратное утверждение:
Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр вписанной в многоугольник окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от сторон многоугольника.

7. Составить план решения задач № 202, №203.

8. Домашнее задание: №202, 203, 207