Задания с параметрами

Цели: обобщение и систематизация знаний учащихся; формирование навыков решения заданий с параметрами, соответствующих материалу 7-9 классов.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Практика экзаменов по математике показывает, что задачи с параметрами представляют для выпускников как основной, так и полной средней школы наибольшую сложность и в логическом, и в техническом плане. При решении уравнений и неравенств, содержащих параметры, кроме использования определённых алгоритмов решения, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить каких-либо тонкостей. Задачи с параметрами – это тема, на которой проверяется не «натасканность» ученика, а подлинное понимание им материала. Обучать этому надо всех учащихся, и особенно этой темой надо заниматься с сильными учениками, ведь задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно–исследовательской работы.

С параметрами учащиеся встречаются уже в седьмом классе при введении некоторых понятий. В качестве примеров рассмотрим следующие объекты:

• функция прямая пропорциональность: y = k x (x и y –переменные, k –параметр,    k0);
• линейная функция: y = k x + b (x - переменная, к и  b - параметры);
• линейное уравнение: a x + b = 0 (x - переменная, a и b - параметры);
• квадратное уравнение: a x+ b x + c = 0  (x - переменная, a, b, c - параметры,  a 0).

К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе математики, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений о общем виде, исследование их корней в зависимости от значений параметров.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример №1. Сравнить  -а и 3а.

Решение. Рассмотрим три случая: если   a < 0,  то   - a  > 3a;

если   a = 0,  то- a = 3a;

если   a > 0,  то   - a < 3a.

Пример №2. Решить уравнение   а х = 1.

Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: х = 1 / а.

Однако при а = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:

если а = 0, то решений нет; если а 0, то х = 1 / а.

Пример №3. Решить уравнение   (а- 1) х = а + 1.

Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

а)  а = 1; тогда уравнение принимает вид   0 х = 2 и не имеет решений;

б)  а = - 1; получаем  0 х = 0, и очевидно, что х – любое;

в)  а 1; имеем  х = .

Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно отразить в ответе все этапы решения. В последнем примере запись ответа практически повторяет решение.

Ответ. Если  а = - 1, то х –любое; если  а = 1, то нет решения; если  а 1, то х = .

Линейные уравнения с параметрами

а х + в = 0	Условия на а, в.
х = -	a 0
Нет решений	а = 0,   в 0
х R	а = в = 0

Пример №4. Решить уравнение  - 1 +  = 0.

Решение. Это уравнение равносильно системе:

- 1 = 0,   - 1 = 0,

= 0 а (х – 1) = 0

При  a 0  второе уравнение системы, а значит, и сама система, имеет единственное решение х = 1. Если же а = 0, то из второго уравнения получаем х – любое. Следовательно, в этом случае система имеет два решения х = 1 или х = -1.

Ответ: если a 0, то х = 1; если  а = 0, то х =1.

Во всех рассмотренных примерах областью допустимых значений как для переменной, так и для параметра, является всё множество действительных чисел.

Пример №5. Решить уравнение = 0.

Решение. Легко увидеть, что х = а – единственный корень. Условие   х 1 влечёт за собой требование   a 1.

Ответ: если a 1, то х = а, если а = 1, то решений нет.

Квадратные уравнения с параметрами

a х+ b x + c = 0	Условия на a, b, c, D
Два различных действительных корня	a 0, D > 0
Единственное решение	1) a 0, D = 0 2) a = 0,  b 0  (линейное уравнение)
Нет корней	1)   a 0, D < 0 2)  a = b = 0, c0
Бесчисленное множество решений (не менее трёх, четырёх, … корней)	a = b = c = 0

Пример №6. При каких значениях параметра m неравенство x- m x – m + 3  0 имеет хотя бы одно решение?

Решение. Парабола  y = x- m x – m + 3   не должна быть расположена целиком выше оси Ох, поэтому  D = m- 4 (3 – m)  0. Решив неравенство, получим  m  - 6,  m 2.

Знаки корней квадратного уравнения.

Корни квадратного уравнения а х+ в х + с = 0	Условия  на   а, b, с, D
Имеют одинаковые знаки а) положительные б) отрицательные	a 0,   D 0,   > 0 a 0,   D 0,   > 0, -  > 0 a 0,   D 0,    > 0, -  < 0
Имеют разные знаки	a 0,   D 0,   < 0

Задачи

1. При  каких  значениях  параметра  a  уравнение  x- 6x + a = 0 имеет один корень?

2. При  каких  значениях  параметра  a  уравнение  x+ 2x + a = 0   имеет общий корень
с уравнением   3x- 4x - a = 0 ?

3. При каких значениях параметра  a  уравнение  x- ax + 9 = 0  имеет два различных  корня?

4. При каких значениях параметра   a  уравнение  x- ax + 9 = 0   имеет два корня?

5. При каких значениях параметра   a  уравнение  x- ax + 9 = 0   не имеет  корней?

6. При каких значениях параметра   b  уравнение   (b – 2)x+ x + 1 = 0  имеет единственное решение?

7. При каких значениях параметра   b  уравнение   (2b – 5)x- 2(b – 1)x + 3 = 0  имеет два различных корня?

8. Укажите  наибольшее  целое  значение  параметра  а, при  котором  уравнение
x- 2ах + 2а + 24 = 0  имеет различные отрицательные корни.

9. Укажите все значения параметра  а,  при которых уравнение  х - 2ах- (2а – 3)х = 0 имеет три различных корня.

10. При каких отрицательных значениях параметра  к  график функции у = к х – 6 пересекает график функции у = x+ x – 5  в двух различных точках?

11. При каких положительных значениях параметра   к  прямая  у = к х – 1 пересекает параболу  у = x+ х +5  в двух различных точках?

12. Укажите все значения параметра  к, при которых прямая  у = к х – 2  имеет единственную общую точку с параболой   у = x+ х + 7.

13. Укажите все отрицательные значения параметра  к, при которых графики функций
 у = x- 3 х +1  и  у = х +1 - к  не имеют общих точек.

14. Укажите все значения параметра  к, при которых графики функций у = к x- 2 х - 8  и
у = x- 6 х + 8  пересекают ось абсцисс хотя бы в одной общей точке.

15. Укажите  наименьшее  целое  значение  параметра  а, при  котором  неравенство
- x- 4 х + 3 – а < 0   выполняется при любых значениях  х.

16. При  каких  значениях  а  уравнение   (а + 4х - х- 1)(а + 1 - ) = 0  имеет  ровно три  корня?

17. С  помощью  графиков  определите, при  каких  значениях  параметра  р   уравнение
 = х – р  имеет единственный  корень.

Литература

1. Амелькин В.В., Рябцевич В.Л. Задачи с параметрами. Минск, «Асар», 1996.

2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М.: «Илекса», 2005.

3. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. М.: «Просвещение», 1989.

4. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М.: «Просвещение», 1972.

5. Математика. Учебно-методическая газета. Изд. дом «Первое сентября», 2003.