Урок по информатике и ИКТ "Количество информации как мера уменьшения неопределенности знаний. Определение количества информации"

Цели урока: формировать умения и навыки учащихся применять знания по образцу и в изменённой ситуации по изучаемой теме: находить количество информации при решении задач, в условии которых события являются равновероятными и не равновероятными.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

• как найти вероятность события;
• как найти количество информации в сообщении, что произошло одно из равновероятных событий или одно из не равновероятных событий.

Учащиеся должны уметь:

• различать равновероятные и не равновероятные события;
• находить количество информации в сообщении, что произошло одно из равновероятных событий или одно из не равновероятных событий.
• находить количество возможных вариантов того или иного события, если известно количество информации в сообщении о том, что событие произошло.

Программно-дидактическое обеспечение: персональный компьютер, проектор, мультимедийная доска SMART-Board, карточки для опроса учащихся.

Ход урока

I. Постановка целей урока

1. “Вы выходите на следующей остановке?” — спросили человека в автобусе. “Нет”, — ответил он. Сколько информации содержит ответ?
2. В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей было в корзине?
3. В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18 черных шаров. Сообщение о том, что из корзины достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего в корзине шаров?

II. Проверка домашнего задания

Все ли выполнили домашнее задание? Какие задания вызвали трудности?

1. Начнём проверку домашнего задания со следующего: давайте выясним, чья вероятность вызова к доске для ответа больше.

/ Для этого учитель проецируем общее количество оценок, которое мог бы получить учащийся на данный момент времени, а также количество оценок каждого ученика.

Ученики производят вычисления самостоятельно и называют результаты. Далее выполнение домашнего задания ученики показывают в порядке убывания полученных вероятностей. Решение задач демонстрируется на доске в слайдовой презентации./

2. Выборочно проводится опрос по карточкам, приготовленным заранее.

1) Какие существуют подходы к измерению информации?
2) Какое сообщение называют информативным?
3) Может ли количество информации в сообщении быть равным нулю?

Задание: вставьте пропущенные слова.

– Сообщение называется …, если в нем содержатся новые и понятные сведения.

– События, не имеющие преимущество друг перед другом, называются...

– Чем больше начальное число возможных ... событий, тем в большее количество раз   уменьшается ... и тем большее ... будет содержать сообщение о результатах опыта.

– Количество информации, которое находится в сообщении о том, что произошло одно  событие из... равновероятных, принято за единицу измерения информации и равно...

– 1 бит — это количество информации, ... неопределенность знаний в два раза.

– I = log₂N – количество информации в ... событии, где N – это ..., а I – ...

– I = log₂(l/p) – количество информации в ... событии, где р – это ..., а вероятность события выражается в... и вычисляется по формуле:...

Все остальные учащиеся выполняют кроссворд по основным понятиям приложение 1.

III. Решение задач

1. Решение задач, в условии которых события являются равновероятными

В течении 10 минут ученики выполняют решения задач / задаётся произвольный темп решения, т.о., часть детей решит задач больше, часть меньше в меру своих возможностей

Вопросы к задачам:

• Почему в задаче события равновероятные?
• Что нужно найти в задаче: количество информации или количество вариантов информации?
• Какую формулу нужно использовать в задаче?
• Чему равно N? Как найти I?

- Чему равно I? Как найти N?

№1

“Вы выходите на следующей остановке?” – спросили человека в автобусе. “Нет”, — ответил он. Сколько информации содержит ответ?

Решение: человек мог ответить только “Да” или “Нет”, т.е. выбрать один ответ из двух возможных. Поэтому N = 2. Значит I = 1 бит (2 = ).

Ответ: 1 бит.

№2

“Петя! Ты пойдешь сегодня в кино?” – спросил я друга. “Да”, – ответил Петя. Сколько информации я получил?

Решение: Петя мог ответить только “Да” или “Нет”, т.е. выбрать один ответ из двух возможных. Поэтому N = 2. значит I = 1 бит (2 = 2¹).

Ответ: 1 бит.

№3

Сколько информации содержит сообщение, уменьшающее неопределенность знаний в 8 раз?

Решение: так как неопределенность знаний уменьшается в 8 раз, следовательно, она было равна 8, т.е. существовало 8 равновероятных событий. Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 3 бита информации (8 = 2³).

Ответ: 3 бита.

№4

Какой объем информации содержит сообщение, уменьшающее неопределенность в 4 раза?

Решение: так как неопределенность знаний уменьшается в 4 раз, следовательно, она было равна 4, т.е. существовало 4 равновероятных событий. Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 2 бита информации (4 = 2²).

Ответ: 2 бита.

№5

Вы подошли к светофору, когда горел желтый свет. После этого загорелся зеленый. Какое количество информации вы при этом получили?

Решение: из двух сигналов (желтого и зеленого) необходимо выбрать один — зеленый. Поэтому N = 2, а I = 1 бит.

Ответ: 1 бит.

№6

Группа школьников пришла в бассейн, в котором 4 дорожки для плавания. Тренер сообщил, что группа будет плавать на дорожке номер 3. Сколько информации получили школьники из этого сообщения?

Решение: из 4 дорожек необходимо выбрать одну, т.е. N = 4. Значит по формуле I = 2, т.к. 4 = 2².

Пояснение: номер дорожки (3) не влияет на количество информации, так как вероятности событий в этих задачах мы приняли считать одинаковыми.

Ответ: 2 бита.

№7

На железнодорожном вокзале 8 путей отправления поездов. Вам сообщили, что ваш поезд прибывает на четвертый путь. Сколько информации вы получили?

Решение: из 8 путей нужно выбрать один. Поэтому N = 8, а I = 3, т.к. 8 = Пояснение: номер пути (4) не влияет на количество информации, так как вероятности событий в этих задачах мы приняли считать одинаковыми.

Ответ: 3 бита.

№8

В коробке лежат 16 кубиков. Все кубики разного цвета. Сколько информации несет сообщение о том, что из коробки достали красный кубик?

Решение: из 16 равновероятных событий нужно выбрать одно. Поэтому N = 16, следовательно, I = 4 (16 = 2⁴).

Пояснение: события равновероятны, т.к. всех цветов в коробке присутствует по одному.

Ответ: 4 бита.

№9

Была получена телеграмма: “Встречайте, вагон 7”. Известно, что в составе поезда 16 вагонов. Какое количество информации было получено?

Решение: так как из 16 вагонов нужно выбрать один, то N = 16, следовательно, 1 = 4(16 = 2⁴).

Ответ: 4 бита.

№10

При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до N было получено 9 бит информации. Чему равно N?

Решение: N = 2⁹ = 512.

Ответ: диапазон чисел имеет значение от 1 до 512.

№11

При угадывании целого числа в некотором диапазоне было получено 8 бит информации. Сколько чисел содержит этот диапазон?

Решение: N = 2⁸ = 256.

Ответ: 256 чисел.

№12

Сообщение о том, что ваш друг живет на 10 этаже, несет 4 бита информации. Сколько этажей в доме?

Решение: N = 2⁴ = 16 этажей.

Пояснение: события равновероятны, т.к. номера этажей не повторяются.

Ответ: 16 этажей.

№13

Сообщение о том, что Петя живет во втором подъезде, несет 3 бита информации. Сколько подъездов в доме?

Решение: N = 2³ = 8 подъездов.

Пояснение: события равновероятны, т.к. номера подъездов не повторяются.

Ответ: 8 подъездов.

№ 14

В школьной библиотеке 16 стеллажей с книгами. На каждом стеллаже 8 полок. Библиотекарь сообщил Пете, что нужная ему книга находится на пятом стеллаже на третьей сверху полке. Какое количество информации библиотекарь передал Пете?

Решение: существует 16*8 = 128 вариантов местонахождения книги. Из этого количеств вариантов необходимо выбрать один. Следовательно, N = 128, а I = 7, т.к. 128 = 2⁷.

Ответ: 7 бит.

№15

Загадано слово из 10 букв. Вы просите открыть пятую букву. Вам ее открыли. Сколько информации вы получили?

Решение: N = 10, следовательно, I = log₂10.

Смотрим по таблице / приложение 2 / и видим, что I = 3,32193 бит.

Ответ: 3,3 бит

№16

В коробке лежат 6 разноцветных фломастеров. Какое количество информации содержит сообщение, что из коробки достали синий фломастер?

Решение: N = 6, следовательно, I = log₂6. Смотрим по таблице и видим, что I = 2,58496 бит.

Ответ: 2,5 бит.

№17

Какое количество информации несет сообщение: “Встреча назначена на май”?

Решение: так как месяцев в году 12, то из этого количества сообщений нужно выбрать одно. Значит N = 16, а I = log₂12. Смотрим по таблице и видим, что I = 3,58496 бит.

Ответ: 3,5 бит.

№18

Какое количество информации несет сообщение о том, что встреча назначена на 20 число?

Решение: так как дней в месяце 30 или 31, то из этого количества сообщений нужно выбрать одно. Значит N = 30 или 31, а I = log₂30 (или 31). Смотрим по таблице и видим, что I = 4,9 бит.

Ответ: 4,9 бит.

2. Решение задач, в условии которых события не равновероятны

Запишите формулу на доске для нахождения количества информации в ситуации с не равновероятными событиями. Что означает каждая буква и как выразить одну величину через другую.

В соответствии с уровнем обучаемости 1 группа детей решают более простые задачи №1 – №5, 2 группа -более сложные – №6 – №9.

Вопрос к задачам:

Почему события в задаче не равновероятные? Сравните вероятности событий между собой.

№1

В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько информации несет сообщение о том, что достали черный шар?

Дано: N, = 8; N₆ = 24.

Найти: I_ч = ?

Решение:

1. N = 8 + 24 = 32 — шара всего;
2. р_ч = = — вероятность доставания черного шара;
3. I = log₂( ) = 2 бита. Ответ: 2 бита.

№2

В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей было в корзине?

Дано: N = 64; I₆ = 4.

Найти: К = ?

Решение:

1) I₆ = log₂(l/p₆); 4 = log2(l/p₆); 1/р_б = 16; p₆ = 1/16 – вероятность доставания белого карандаша;

2) р_б = ; = ; = = 4 белых карандаша.

Ответ: 4 белых карандаша.

№3

В классе 30 человек. За контрольную работу по математике получено 15 пятерок, 6 четверок, 8 троек и 1 двойка. Какое количество информации в сообщении о том, что Андреев получил пятерку?

Дано: N = 30; К₅ = 6; К₄ = 15; К₃ = 8; К, = 1.

Найти: I₄ — ?

Решение: 1) р₄ = = — вероятность получения оценки “5”;

2)I₄ = log₂( ) = log₂( )=1бит

Ответ: 1 бит.

№4

Известно, что в ящике лежат 20 шаров. Из них 10 – синих, 5 – зеленых, 4 — желтых и 1 — красный. Какое количество информации несут сообщения о том, что из ящика случайным образом достали черный шар, белый шар, желтый шар, красный шар?

Дано: К = 10; К = 5; К_ж = 4; К = 1; N = 20.

Найти: I_ч, I₆,I_ж, I_к.

Решение:

1. р_ч = К/N = = – вероятность доставания синего шара;
2. р₆ = K/N = = — вероятность доставания зеленого шара;
3. р_ж = К_ж/N = = – вероятность доставания желтого шара;
4. р_к = K_K/N = – вероятность доставания красного шара;
5. I_ч = log ₂(1/1/2) = 1бит;

6)I₆ = log₂(l/l/4) = 2 бит;

7)I_ж = 1оg₂(1/1/5) = 2,236 бит;

8) I_к = log₂( 1/1/20) – 4,47213 бит.

Ответ: I_с = 1 бит, I_з = 2 бит, I_ж = 2,236 бит, I_к = 4,47213 бит.

№5

За четверть ученик получил 100 оценок. Сообщение о том, что он получил пятерку, несет 2 бита информации. Сколько пятерок ученик получил за четверть?

Дано: N = 100,I₄ = 2 бита.

Найти: К₄ — ?

Решение:

1) I₄ = log₂(l/p₄), 2 = log₂(l/p₄), = 4, р₄ = – вероятность получения “5”;

2) I₄ = К₄/100, К₄ = 100/4 = 25 – количество “5”.

Ответ: 25 пятерок.

№6

В ящике лежат перчатки (белые и черные). Среди них – 2 пары черных. Сообщение о том, что из ящика достали пару черных перчаток, несет 4 бита информации. Сколько пар белых перчаток было в ящике?

Дано: К_ч = 2,1_ч = 4 бита.

Найти: К₆ – ?

Решение:

1. I_ч = log₂(l/p₄), 4 = log₂(l/p), 1/р_ч = 16, р_ч = 1/16 – вероятность доставания черных перчаток;
2. р = К /N, N = К_ч/р_ч, N = 2-16 = 32 — всего перчаток в ящике;

3) К₆ = N – К = 32 – 2 = 30 пар белых перчаток.

Ответ: 30 пар белых перчаток.

No 7

Для ремонта школы использовали белую, синюю и коричневую краски. Израсходовали одинаковое количество банок белой и синей краски. Сообщение о том, что закончилась банка белой краски, несет 2 бита информации. Синей краски израсходовали 8 банок. Сколько банок коричневой краски израсходовали на ремонт школы?

Дано: Кб = Кс =8, I₆ = 2 бита.

Найти: К – ?

Решение:

1. I_б = log₂(l/p₆), 2 = log₂(l/p₆), 1/р₆ = 4, р₆ = Vi – вероятность расхода белой банки;
2. N = = = 32 – банки с краской было всего;

3) К_к = N – К₆ – К_с = 32 – 8 – 8 — 16 банок коричневой краски.

Ответ: 16 банок коричневой краски.

№8

В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18 черных шаров. Сообщение о том, что из корзины достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего в корзине шаров?

Дано: К = 16, I = 2 бита.

Найти: N – ?

Решение:

1) 1/р₆ = 2^I, 1/р₆ = 2² = 4, р₆ = – вероятность доставания белого шара;

2) р_б = = , = , К₆ + 18 = 4 • , 18 = 3 • К₆,

К_б = 6 – белых шаров;

3) N = К_ч+К; = 18 + 6 = 24 шара было в корзине.

Ответ: 24 шара лежало в корзине.

№9

На остановке останавливаются троллейбусы с разными номерами. Сообщение о том, что к остановке подошел троллейбус с номером N1 несет 4 бита информации. Вероятность появления на остановке троллейбуса с номером N2 в два раза меньше, чем вероятность появления троллейбуса с номером N1. Сколько информации несет сообщение о появлении на остановке троллейбуса с номером N2?

Дано: I_NI = 4 бита, p_N1 = 2p_N2

Найти: I_N2 — ?

Решение: 1) 1/P_N, ⁼ 2^1NI =2⁴= 16, p_NI = 1/16-вероятность появления троллейбуса N1;

2. p_N| = 2-p_N2, p_N2 = p_N,/2 = 1/32 – вероятность появления троллейбуса N2;
3. I_N2 = log₂(l/p_N2) = log₂32 = 5 бит — несет сообщение о появлении троллейбуса N2.

Ответ: 5 бит несет сообщение о появлении на остановке троллейбуса №2.

IV. Итоги урока

Оценка работы класса и отдельных учащихся, отличившихся на уроке.

V. Домашнее задание

Уровень знания: Решите задачи:

1. В розыгрыше лотереи участвуют.64 шара. Выпал первый шар. Сколько информации содержит зрительное сообщение об этом?
2. В игре “ лото” используется 50 чисел. Какое количество информации несет выпавшее число?

Уровень понимания:

1. Какое количество информации несет сообщение о том, что встреча назначена на 3 июля в 18.00 часов?
2. Вы угадываете знак зодиака вашего друга. Сколько вопросов вам нужно при этом задать? Какое количество информации вы получите?
3. В ящике лежат фигурки разной формы — треугольные и круглые. Треугольных фигурок в ящике 15. Сообщение о том, что из ящика достали фигуру круглой формы, несет 2 бита информации. Сколько всего фигурок было в ящике?
4. В ведерке у рыбака караси и щуки. Щук в ведерке 3. Зрительное сообщение о том, что из ведра достали карася, несет 1 бит информации. Сколько всего рыб поймал рыбак?

Уровень применения:

Дополнительный материал. 1. Частотный словарь русского языка — словарь вероятностей (частот) появления букв в произвольном тексте – приведен ниже. Определите, какое количество информации несет каждая буква этого словаря.

2. Используя результат решения предыдущей задачи, определите количество информации в слове “компьютер”.

Используемая литература:

• О.Л. Соколова “ Вероятностный подход к определению количества информации”, Москва, ВАКО, 2006 г.
• журналы “Информатика и образования”, 2007 г.