Цели урока.
Дидактическая: Создать условия для формирования понятия “системы линейных уравнений с двумя переменными”, опираясь на имеющиеся знания и жизненный опыт детей.
Развивающая: Продолжить формирование абстрактно-понятийного мышления на основе анализа взаимосвязи систем линейных уравнений с двумя переменными и их изображением на плоскости в виде графиков. На основе дедуктивных рассуждений, помочь ученикам в составлении алгоритма решения систем графическим способом и апробации его в самостоятельной работе.
Воспитательная: Способствовать формированию системного мышления и адекватной самооценки на основе выбора уровня сложности самостоятельной работы, саморефлексии и самокоррекции.
1 этап. Подготовка к восприятию нового материала
а) Вводная беседа
- В нашей повседневной жизни нам приходится решать как простые задачи “Таня сходи в магазин”, так и сложные “Таня сходи в магазин, приберись, постирай, свари суп, выучи уроки и т.д.”, при этом требуется одновременное выполнение нескольких условий.
В математике тоже бывают задачи простые: “Сумма двух чисел равна 12. Найди эти числа”, чуть сложнее: “Разность двух чисел равна 2. Найди эти числа” и сложные, требующие одновременного выполнения двух и более условий. Именно с одной из таких задач мы познакомимся сегодня на уроке.
Рассмотрим решение такой задачи: “Сумма двух чисел равна 12, а их разность равна 2. Найдите эти числа.” (Записываю на доске, оставив место для темы урока). Определите вид задачи: простая или сложная. Сколько условий должно быть выполнено одновременно? Объединим эти два условия фигурной скобкой (символ целого). В чем сложность решения? Верно, подбор решения займет много времени, а другого способа мы пока не знаем. Как быть? - Познакомиться с новым способом решения таких задач.
б) Работа с терминами (проверка Д.З.)
Давайте вспомним, какие понятия вам известны (Открываю левую часть доски с терминами):
Линейное уравнение с двумя переменными -…
График линейного уравнения с 2 переменными - …
Алгоритм построения графика - …
Взаимное расположение графиков - …
Система - …
Система линейных уравнений с 2 переменными - …
Решение системы - …
Способы решения систем - …
- Озвучьте формулировки известных вам терминов (проверка Д.З.)
Какие из терминов вам незнакомы? Подчеркните их. Какой термин встретился несколько раз? Действительно, ключевым термином нашего урока является “система”.
(В процессе урока дописываем термины, они являются своеобразными ключевыми моментами урока - планом урока, по ним подводим итог урока. В результате получим опорный конспект.)
2 этап. Изучение нового материала
а) Понятие системы
Оказывается, предложенную задачу можно решить быстрее, если воспользоваться таким понятием как система. Знакомо ли вам это слово? Как вы его понимаете? В словаре иностранных слов дается 9 толкований этого слова. Послушайте некоторые из них. (Зачитываю выборочно.) Какие варианты нам больше подходят? Почему? (В списке терминов, на доске, записываю подходящие определения системы)
“Система (греческое слово) - … целое, составленное из частей; соединение.
- символ (знак);
- форма записи одновременного выполнения двух и более условий ”
- Как вы считаете, какая тема урока?
Тема урока
Системы линейных уравнений с двумя переменными
(Записываем тему урока в тетради и на доске)
б) Целеполагание
- Какая цель у вас на уроке?
- Мы должны понять, что такое - система линейных уравнений и как она используется при решении задач, что является решением системы, как ее решать, способы решения системы. Применить эти знания в самостоятельной работе, выбрав соответствующий уровень сложности.
- Как я узнаю, что вы поняли материал?
- Мы скажем: мы поняли и готовы выполнить самостоятельную работу.
- Мне остается пожелать вам успешного достижения поставленной вами цели и помочь каждому из вас, по возможности.
в) Решение системы уравнений
(Символическая запись системы, оформление условия и решения задачи появляются на доске и в тетрадях в процессе решения задачи.)
Вернемся к формулировке задачи и выполним краткую запись условия:
Пусть х - первое число, у - второе число. По 1 условию, их сумма равна 12. Значит, х+у=12. Получили 1 уравнение с двумя переменными. По 2 условию, их разность равна 2. Значит, х-у=2 . Получили 2 уравнение с двумя переменными. (Запись на доске делает ученик)
- Как ответить на вопрос задачи?
- Чтобы ответить на вопрос задачи надо найти такие значения переменных х и у, которые обращают в верное равенство каждое из уравнений, т.е. найти общие решения этих двух уравнений – требуется решить систему двух уравнений с двумя переменными.
- Как записать систему? С помощью какого символа? (Выслушиваю все версии ответов)
- Действительно, систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки, только скобка ставится слева. (Делаю запись системы в общем виде, рядом с системой по задаче.)
Системой линейных уравнений с 2 переменными называется…запись
- Что значит - решить систему? Как это сделать?
- Мы можем подобрать пары чисел. (Подбирают решение)
- Проверим ваше решение, подставив эту пару чисел в систему:
Оба равенства являются верными, значит пара чисел (7;5) - это решение системы. (Записываем ответ) Ответ: (7;5)
- Подбор пары чисел - это универсальный способ решения систем? Почему? Какие есть предположения? Познакомимся с другими способами решения систем уравнений, но для этого нужно знать, что является решением системы.
- Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными. (Показываю на записанную в общем виде систему.)
- Сформулируйте, что называется решением системы. Сравните вашу версию с определением в учебнике. (Работа с определением по учебнику.) Чья версия подтвердилась?
Решением системы линейных уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных (пара чисел), обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
- Поработайте с определением по известному вам алгоритму: читаем, записываем, выделяем ключевые слова, проговариваем определение в парах.
- Проверим, как поняли: - Что значит “решить уравнение”?
- Что является решением первого (второго) уравнения?
- Это две разные пары чисел?
- Что значит – “решить систему”? Сформулируйте определение и проверьте себя аналогичным способом. (Работа с определением по алгоритму)
Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Проверим, как поняли: Сколько может быть решений системы: 0,1,2 или больше? Проверить правильность вашего ответа вы сможете, дочитав пункт до конца. Кстати, это и будет первым теоретическим вопросом вашего Д.З., а второй вопрос на знание теории вы придумаете сами. (Д.З. даю по ходу урока)
3 этап. Первичное закрепление новых знаний
Решим № 1120 (устно) Кто понял? Кто сможет решить аналогичный номер Д.З.? Какой? Выберите любой из двух: №1121 или №1122. А сейчас на том номере, который вы не выбрали (№1122 а), поучимся оформлять решение систем.
Решение примеров из учебника (номера указаны на доске) последовательно: а) образец оформления; б) с комментированием; в) желающие – к доске; г) опережая, самостоятельно те, кто понял и т.д.
Эмоциональная пауза. Любопытные есть? Загляните себе под стул. Ничего нет? Странно. А что вы хотели увидеть? А что я хотела увидеть? Верно, я хотела увидеть способы заглядывания под стул. Продемонстрируйте еще раз - пусть и другие посмотрят. К чему все это? Это слово в названии следующего этапа нашего урока:
4 этап. Получение новых знаний
а) Способы решения систем …
Мы уже говорили об их существовании в начале урока. Сколько их? Как они называются?
Это просто здорово, что в вашем классе есть любознательные люди. В чем разница между любопытными и любознательными?
Давайте полистаем учебник вперед и отыщем ответ на вопрос о способах. (Листают или смотрят в оглавление). Запишем способы решения систем на доске и в тетради.
Способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графический способ; способ подстановки; способ сложения.
- Рассмотрим способ решения систем, который опирается на материал предыдущего урока. Напомню вам, что результатом групповой самостоятельной работы был плакат, на котором построены графики линейных уравнений с двумя переменными. Кроме того, мы сделали несколько выводов о взаимном расположении графиков, их формулировки вы записали дома в тетрадь опорных конспектов.
- В самом названии способа прячется подсказка. Какой это способ? Запишем.
Графический способ.
В начале урока, проверяя Д.З., мы вспомнили ряд терминов. (Возвращаемся к списку терминов)
- Какие знания нам сейчас нужны? (Ответы учащихся):
- Графиком линейного уравнения с 2 переменными является прямая.
- В системе записано два таких уравнения, значит нужно построить две прямые.
- Две прямые на плоскости могут пересекаться, не пересекаться или совпадать. (Подвожу детей к выводу о сути графического способа)
Правильно ли я вас поняла, что суть графического способа решения систем в том, что: Графическое решение системы линейных уравнений с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений (т.е. прямых).
- Как это сделать? (Обращаюсь ко всем, выслушиваю все версии, поддерживая тех, кто на правильном пути – создания алгоритма. Вывод делает ученик – консультант. Записываем вывод в опорный конспект).
- Графики двух линейных уравнений системы – это две прямые; для построения каждой нужно две точки. Если прямые пересекутся, то будет одна общая точка (одно решение системы), если прямые не пересекутся - общих точек нет (нет решений системы), а если прямые совпадут – все точки будут общими (бесконечно много решений системы).
- Возьмите в руки карандаш и ручку. Это будут модели двух прямых. Еще раз изобразите все способы их взаимного расположения (показывают три случая).
- А сейчас все три случая найдите на плакате (показываю плакат с опорным конспектом прошлого урока и закрепляю его на доске - справа).
- Назовите пару уравнений, графики которых пересекаются в одной точке и координаты этой точки. Запишите эту пару уравнений в виде системы. Что будет решением системы? Для двух других случаев системы запишите сами, воспользовавшись результатом прошлого Д.З.
5 этап. Первичное закрепление нового материала
- Давайте, опробуем открытый вами способ решения систем на той задаче, которую вы решили подбором вначале урока, ведь нам уже известен ее ответ. Способы решения могут быть разные, а ответ один и тот же. (Решаем систему графическим способом, комментируя решение фразами, из которых в дальнейшем составим алгоритм.)
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом (на конкретном примере). Приложение
На доске крепится плакат с графическим решением системы.
6 этап. Закрепление и первичный контроль знаний
а) Составление алгоритма (Работа в группах)
Инструктаж: Объединитесь в группы по 4 человека, возьмите конверт с разрезанным на части алгоритмом решения систем графическим способом. Вам нужно:
1) собрать алгоритм на листе бумаги, пронумеровав его части.
2) воспользоваться готовым алгоритмом при решении предложенной вам системы (№1124 а) б) в))
3) проверить правильность выполнения заданий (можно с помощью вашего консультанта)
Время выполнения задания группой 10 минут (после выполнения задания группа проверяет алгоритм и решение системы в присутствии консультанта из другой группы, он оценивает работу группы, комментируя свою оценку).
Результатом работы группы будет собранный алгоритм следующего вида:
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом:
1. Строим в координатной плоскости графики каждого уравнения системы, т.е. две прямые (опираясь на алгоритм построения графика линейного уравнения с 2 переменными).
2. Отыскиваем точку пересечения графиков. Записываем ее координаты.
3. Делаем вывод о числе решений системы.
4. Записываем ответ.
- Этот способ решения систем называется графическим. У него есть один недостаток. О каком недостатке идет речь?
Подводя итог работы групп, еще раз проговариваем этапы алгоритма (раздаю памятки с алгоритмом)
б) Решение с комментированием №1126 а), б) подготовка к самостоятельной работе. (Обращаю внимание на формулировку задания, этапы выполнения (алгоритм), оформление записи решения).
- Кто понял, как выполняются такие задания? (Самооценивание) Оцените свои знания (ставят оценку на полях тетради).
- Кому нужна помощь?
- Кто готов проверить свои силы, выполнив самостоятельную работу?
в) Самостоятельная работа (обучающая, разноуровневая)
Инструктаж: Ознакомьтесь с текстом работы. Все ли понятно в тексте?
Выберите уровень сложности работы (самопрогнозирование). Поднимите руку те, кто выбрал уровень А, уровень Б, уровень В. (Считаю число выбравших каждый уровень: можно спрогнозировать % усвоения нового материала на репродуктивном, конструктивном, творческом уровне).
Время выполнения работы 10-12 минут.
7 этап. Домашнее задание
(Во время выполнения самостоятельной работы на доске записываю домашнее задание, которое мы оговорили по ходу урока)
Уровень А: Контрольные вопросы (с.184); №1121, №1125а), №1126 а)
Уровень Б и уровень В: Контрольные вопросы (с.184) +3 вопроса:
- Всегда ли система имеет решение? (Сколько их может быть: 0,1,2 …)
- Можно ли, не решая систему, определить, сколько у нее решений? Как?
- Решить №1121, №1125 а) б) №1126 г) д) е).
По желанию: Теория: п.41,п.15 (доработать опорный конспект в тетради правил: заполнить таблицу “Взаимное расположение графиков линейных уравнений).
8 этап. Подведение итогов урока
(систематизация знаний, самопроверка, самоконтроль, самоанализ результата, самооценка):
- Вспомним ключевые моменты урока – новые термины (прием неоконченных предложений: я фразу начинаю, а дети ее заканчивают)
- Кто считает, что справился с самостоятельной работой? Запишите ответы себе в тетрадь, а работу сдайте. (Открываю ответы к С.Р. на обороте доски или плаката). - Проверьте свои ответы и оцените свой прогноз (адекватность самопрогнозирования, адекватность самооценки).
- У кого прогноз совпал с результатом? Как вам это удалось? Кто не смог сегодня подтвердить свой прогноз? Что помешало? У кого результат выше прогноза? Это соответствует вашим возможностям?
- Устраивает ли вас результат? Что еще нужно доработать? (Самокоррекция)
- Кто без помощи родителей сможет выполнить Д.З.? Запишите его.