Авторская педагогическая разработка для физико-математических профильных групп 10–11-х классов "Математические задачи повышенной трудности"

Разделы: Математика

Чем выше человек по умственному и нравственному развитию, тем он свободнее, и тем большее удовольствие доставляет ему жизнь.
А.П. Чехов.

Авторская педагогическая разработка типа учебной программы спецкурса “Математические задачи повышенной трудности” составлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования на профильном уровне, рассчитана на 68 часов (1 час в неделю в 10-м классе, 1 час в неделю в 11-м классе), может быть реализована в физико-математических профильных группах 10–11 классов.

XXI век называют эпохой математизации знаний. Математические методы исследования находят всё более широкое применение во множестве областей знаний и практической деятельности. Овладение любой современной профессией требует знаний по математике.

На уроках математики решается задача обеспечения прочного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения сложных дисциплин. Для продолжения образования этих знаний часто оказывается недостаточно. В последнее время актуальны задания, требующие умения применять полученные знания при решении нестандартных задач или задания, которые не рассматриваются школьной программой по математике в достаточном объёме.

Предлагаемый курс освещает намеченные, но недостаточно проработанные в общем курсе школьной математики вопросы. Навыки решения задач повышенной трудности необходимы каждому ученику, желающему хорошо подготовиться и успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах самого высокого уровня. Эти задачи требуют логической культуры – то, чего не хватает большинству абитуриентов.

Таким образом, спецкурс “Математические задачи повышенной трудности” необходим для:

  1. успешного овладения навыками решения различных (алгебраических, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, неравенств и их систем, текстовых задач на движение, работу, сплавы и смеси, планиметрических и стереометрических задач) задач курсов “Алгебра и начала анализа”, “Геометрия”, “Физика”, “Химия”;
  2. качественной подготовки к поступлению в высшие учебные заведения;
  3. продолжения образования в высших учебных заведениях (техническом или каком-либо другом, дающем профессию, требующую знания математики).

В содержание спецкурса входит изложение нестандартных методов решения основных классов, разделы теории, отсутствующие в базовом школьном курсе. Содержание направлено на приобретение умения решать задачи более высокой сложности.

Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения задач, требующим применения высокой логической и операционной культуры, развивающим научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся.

Основная цель спецкурса:

  • Создать условия для расширенного и углубленного изучения материала, качественной подготовки учащихся к продолжению образования, удовлетворения познавательных интересов, повышения уровня их математической культуры и развития способностей учащихся.

Задачи спецкурса:

  • формировать у учащихся сознательное и прочное овладение системой математических знаний, умений, навыков;
  • как можно полнее развивать потенциальные творческие способности выпускников, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала;
  • обеспечивать систематизацию знаний и углубление умений учащихся;
  • способствовать вовлечению учащихся в самостоятельную исследовательскую деятельность.

Основные формы организации учебных занятий: беседы, лабораторные работы, семинары, посвященные разрешению проблемных ситуаций, разработке мини-теорий в группах, обсуждению результатов индивидуальных и коллективных исследований.

Требования к математической подготовке учащихся:

  • Учащиеся должны знать и правильно употреблять термины “уравнение”, “неравенство”, “система”, “совокупность”, “модуль”, “параметр”, “логарифм”, “функция”, “асимптота”, “экстремум”.
  • Знать методы решения уравнений.
  • Знать основные теоремы и формулы планиметрии и стереометрии.
  • Знать основные формулы тригонометрии и простейшие тригонометрические уравнения.
  • Знать свойства логарифмов и свойства показательной функции.
  • Знать алгоритм исследования функции.
  • Уметь решать алгебраические, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
  • Уметь решать системы уравнений и системы неравенств.
  • Уметь изображать на рисунках и чертежах геометрические фигуры, задаваемые условиями задач; проводить полные обоснования при решении задач; применять основные методы решения геометрических задач: поэтапного решения и составления уравнений.

Эффективность авторской педагогической разработки – это соотнесенность полученных результатов с целями и задачами программы.

Диагностические средства при изучении сформированности познавательного потенциала личности учащегося:

  • Статистический анализ текущей и итоговой успеваемости.
  • Методики изучения развития познавательных процессов личности ребенка.
  • Школьный тест умственного развития.
  • Методы самооценки учащихся.
  • Педагогическое наблюдение.

Методики изучения развития познавательных процессов.

Методики изучения внимания:

  • Методика “корректурная проба”;
  • Методика “Расстановки чисел”.

Методики изучения памяти:

  • Методика “Оперативная память”;
  • Методика “Память на числа”.

Методика для оценки логики мышления:

  • Методика “Количественные отношения”.

Анкеты:

  • Изучение учебной мотивации и отношения к учебным предметам
  • Самостоятельная работа
  • Готовность к саморазвитию

Содержание спецкурса.

1. Алгебраические уравнения и неравенства, их системы.

Алгебраические уравнения с одной переменной. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним. Уравнения высших степеней. Уравнения и системы с параметрами. Однородные уравнения. Однородные системы уравнений. Симметрические системы уравнений. Задачи на составление уравнений. Неравенства. Системы неравенств.

2. Тригонометрические уравнения, системы и неравенства.

Метод разложения на множители. Метод введения новой переменной. Метод введения дополнительного угла. Метод оценок. Однородные уравнения. Системы тригонометрических уравнений. Тригонометрические неравенства. Уравнения, содержащие параметр. Системы уравнений, содержащие параметр. Неравенства, содержащие параметр.

3. Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства.

Логарифмирование и потенцирование. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения. Системы уравнений. Уравнения, содержащие параметр. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства. Метод интервалов. Метод интервалов для сложной экспоненты. Решение логарифмических неравенств, содержащих параметр.

4. Функции и их графики.

Область определения функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Асимптоты. Возрастание (убывание) функции. Критические точки функции, максимумы и минимумы. Построение графиков функций.

5. Планиметрия.

Подобие треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Свойства медиан и биссектрис. Свойства касательных, хорд, секущих. Вписанные и описанные четырехугольники. Теоремы косинусов, синусов. Применение тригонометрии к решению геометрических задач. Площадь треугольника. Площадь выпуклых многоугольников. Рисунок в геометрической задаче.

6. Стереометрия.

Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Уравнение плоскости. Угол между двумя плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Сфера и многоугольники.

7. Практикум по текстам ЕГЭ.

Литература для учащихся:

  1. Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. Алгебраические уравнения и неравенства. – Минск: Тривиум,1995.
  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцов С.Б. и др. Геометрия: учебник для 10–11 класса общеобразовательных учреждений. – М.: просвещение, 2008.
  3. Белоносов В.С., Фокин М.В. Задачи вступительных экзаменов по математике. – Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета: Сиб. унив. изд-во, 2002.
  4. Бояркина Г.П., Пащенко Г.Я. Задачи с параметрами. – Иркутск: Издательство ИрИИТ, 2001.
  5. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Начала анализа. – М.: Наука, 1990.
  6. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 10 класс. – М.: Мнемозина, 2007.
  7. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 11 класс. – М.: Мнемозина, 2007.
  8. Денищева Л.О., Безрукова Г.К., и др. Единый государственный экзамен. Математика. Контрольные измерительные материалы. – М.: Просвещение, 2005.
  9. Денищева Л.О., Безрукова Г.К., и др. Единый государственный экзамен. Математика. Контрольные измерительные материалы. – М.: Просвещение, 2006.
  10. Иванов М.А. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. Учебное пособие. – М.: Вентана – Граф, 2002.
  11. Колесникова С.И. Математика, решение сложных задач ЕГЭ. – М.: Айрис-пресс, 2007.
  12. Кочагин В.В., Бойченко Е.М.Математика: ЕГЭ – 2008:реальные задания. – М.; АСТ: Астрель, 2008.
  13. Креславская О.А., Крылов В.В. и др., Математика. ЕГЭ. Сдаем без проблем! – м.; Эксмо, 2007.
  14. Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1999.
  15. Мальцев Д.А., Мальцев А.А.. “Математика”: ЕГЭ шаг за шагом: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Издатель Мальцев Д.А.; М.: НИИ школьных технологий, 2007.
  16. Сканави М.И. Полный сборник решений задач для поступающих в вузы. Группа повышенной сложности. – М.: Альянс-В,1999.
  17. Студенецкая В.Н., Гребнева З.С. Готовимся к ЕГЭ. Учебное пособие. Часть 1, 2. – Волгоград: Учитель, 2003.
  18. Шабунин М.И. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
  19. Шарыгин И.Ф. Профильная школа: Математика. Решение задач.– М.: Просвещение, 2007.

Литература для учителя:

  1. Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. Алгебраические уравнения и неравенства. – Минск: Тривиум,1995.
  2. Алтынов П.И. Контрольные и зачётные работы по алгебре, 10 кл.– м.: Экзамен, 2003.
  3. Алтынов П.И.и др. 2600 тестов и проверочных заданий для школьников и поступающих в вузы.– М.: Дрофа, 2003.
  4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцов С.Б. и др. Геометрия: учебник для 10–11 класса общеобразовательных учреждений. – М.: просвещение, 2008.
  5. Белоносов В.С., Фокин М.В. Задачи вступительных экзаменов по математике. – Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета: Сиб. унив. изд-во, 2002.
  6. Бояркина Г.П., Пащенко Г.Я. Задачи с параметрами. – Иркутск: Издательство ИрИИТ, 2001.
  7. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Начала анализа. – М.: Наука, 1990.
  8. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 10 класс. – М.: Мнемозина, 2007.
  9. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 11 класс. – М.: Мнемозина, 2007.
  10. Галицкий М.Л. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
  11. Денищева Л.О., Безрукова Г.К., и др. Единый государственный экзамен. Математика. Контрольные измерительные материалы. – М.: Просвещение, 2005.
  12. Денищева Л.О., Безрукова Г.К., и др. Единый государственный экзамен. Математика. Контрольные измерительные материалы. – М.: Просвещение, 2006.
  13. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ 2007. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся. – М.; Интеллект – Центр, 2007.
  14. Иванов М.А. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. Учебное пособие. – М.: Вентана – Граф, 2002
  15. Казак В.В., Козак А.В., Тесты по математики. – м.: ИКЦ “ МарТ”, 2003.
  16. Ким Н.А. неравенства: через тернии к успеху. Алгебра 10-11. – Волгоград: Корифей, 2005.
  17. Колесникова С.И. Математика, решение сложных задач ЕГЭ. – М.: Айрис-пресс, 2007.
  18. Кочагин В.В., Бойченко Е.М. Математика: ЕГЭ – 2008:реальные задания. – М.; АСТ: Астрель, 2008.
  19. Креславская О.А., Крылов В.В. и др., Математика. ЕГЭ. Сдаем без проблем! – м.; Эксмо, 2007.
  20. Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1999.
  21. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990.
  22. Мальцев Д.А., Мальцев А.А.. “Математика”: ЕГЭ шаг за шагом: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Издатель Мальцев Д.А.; М.: НИИ школьных технологий, 2007.
  23. Мерзляк А.Г. Тригонометрия. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1998.
  24. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы. – М.: Дрофа, 2001.
  25. Паповский В.М. Углублённое изучение геометрии в 10–11 классах. – М.: Просвещение, 1993.
  26. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. – М.: Столетие, 1995.
  27. Сканави М.И. Полный сборник решений задач для поступающих в вузы. Группа повышенной сложности. – М.: Альянс-В,1999.
  28. Студенецкая В.Н., Гребнева З.С. Готовимся к ЕГЭ. Учебное пособие. Часть 1,2. – Волгоград: Учитель, 2003.
  29. Шабунин М.И. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
  30. Шарыгин И.Ф. Профильная школа: Математика. Решение задач.– М.: Просвещение, 2007.
  31. Шклярский Д.О. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия). – М.: Физматлит, 2000.
  32. Шклярский Д.О. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (стереометрия). – М.: Физматлит, 2000
  33. Шклярский Д.О. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. – М.: Физматлит, 2001
  34. Яковлев Г.Н. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Физматлит, 2001.

Электронные пособия:

  1. Алгебра и начала анализа. Уникальные технологические компоненты программы. – М.: Просвещение – МЕДИА, 2003.
  2. Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников. – М.: Просвещение – МЕДИА, 2003.
  3. Геометрия. Решебник. Пособие для абитуриентов. 400 задач. – М.: Экзамен, 2007.
  4. Математика. Интерактивный курс подготовки к ЕГЭ.– М.: Экзамен, 2003.
  5. Математика. + Варианты ЕГЭ.2006 – М.: Фирма “1С”.
  6. Математика. Тригонометрия, функция.– М.: МАНАМЕДИА, 2001.
  7. Математика. Готовимся к ЕГЭ. Версия 2.0. – М.: Просвещение – МЕДИА, 2005.
  8. Открытая математика. Стереометрия. – М.: Физикон, 2005.
  9. Открытая математика. Алгебра. Версия 2.6 – М.: Физикон, 2006.
  10. Открытая математика. Функции и графики. Версия 2.6 – М.: Физикон, 2006.
  11. Планиметрия, 7–9. – М.: 1С Паблишинг, 2006.
  12. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия 10 класс.
  13. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия 11 класс.