Цель занятия: обобщить понятия первообразной и интеграла и их приложения к разным научным отраслям.
Задачи: систематизация знаний по теме, формирование умения планировать свою учебную деятельность, оформлять результаты работы, формирование навыков самоконтроля (использование различных способов проверки, прикидки, обратных действий), обучение на оптимальном уровне сложности для каждого ученика.
Ход урока (2 ч)
I. Организационный этап.
Сообщение цели и задач работы. Каждому ученику выдается набор заданий и таблица ‹приложение 1›, в ходе заполнения которой в течение урока повторяется и закрепляется материал. Такая же таблица изображена на доске.
II. Актуализация понятий и совершенствование навыков.
Понятие первообразной.
- Какую функцию называют первообразной для f(x) на интервале I? Выслушав ответ одного из учеников, учащиеся записывают в свои таблицы определение.
- Является ли F(x) первообразной для f(x) на интервале I:
- f(x)=
- 
, х ≠ 
+ πn
Z ; F(x)=tgx - 
+ 7 +С - f(x) =
, где х
; F(x)=
+ C - f(x) =
, где х
; F(x) =
ln(2х + 
+С - f(x) =
; F(x)=
+ C - f(x) =
; F(x)=
+ С?
- Следующие задания 1-3 выполните на листах-заданиях ‹приложение 2›:
1. Найти все функции, имеющие производную
=
+
y =
2. Найти какую-нибудь первообразную для f(x) на R, которая принимает отрицательные значения при х=1:
f(x)=4х3- 
+ 2
F(x)=
3. Производная некоторой функции имеет вид 
= cos2x−sin2x. Найти f(x), если её график проходит через точку М (
; 18).
Понятие криволинейной трапеции.
- Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Как можно найти её площадь? (Ученики записывают в таблицу формулу S = F(b) − F(a).) Вычислить, используя эту формулу, площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями f(x) = ℮х , х=0, х=1, y=0. ( В тетрадях и на доске делают чертёж, записывают решение).
Понятие интеграла и определенного интеграла.
- Сообщение ученика об истории возникновения интеграла (три подхода к определению:
- Конец XYII – начало XIX – «сумма бесконечного числа малых величин», происхождение обозначения (Лейбниц) и названия (Бернулли);
- О.Коши и Риман – использование понятия предела для вычисления интеграла;
= 
-
и формула Ньютона-Лейбница.)
Ученики во время сообщения записывают нужные формулы в таблицу.
- Используя наглядное представление интеграла как площади подграфика, заполнить пропуски в №4 на листе заданий, чтобы получилось соответствие ‹приложение 2›.
После выполнения – проверка и выполнение задания более сложного:
- Доказать, что 
< 9.
После обсуждения решения повторяется способ нахождения площади фигуры, ограниченной несколькими графиками, демонстрируются иллюстрации фигур, для вычисления площадей которых используются формулы S = 
и S=
. В заключение этапа решается задача:
- Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=
и y=
Для учащихся, имеющих продвинутый уровень, предусмотрены дополнительные задания:
- Сравнить: а)
; б) 
dx и 
; - Известно, что
= 1, 
.
III. Приложение интеграла:
- в механике: перемещение и работа (запись в таблицу)
Работа по группам: 1 группа с учителем, 2 группа работает самостоятельно по предложенному образцу ‹приложение 3›
Задания для группы 1:
- 1. Найти путь, пройденный при свободном падении телом за первые 5 секунд (g=9,8 м/с2).
Задача решается у доски одним из учащихся, при этом все остальные члены группы принимают участие в решении и записывают его в тетрадь.
Задача для самостоятельного решения:
- Тело движется прямолинейно со скоростью v(t) = 10 – 2t м/с. Найти путь за промежуток времени от 3 до 5 секунд.
- для вычисления объёмов тел ( записывают в таблицу известную из геометрии формулу для вычисления тел вращения 
dx). Задача:
- Вывести формулу для вычисления объёма шара:
Рассмотрим 
) , тогда Vшара=π
)dx = …=
πR3.
В заключение приводится пример вычисления объёма тела, полученного вращением вокруг оси ОХ графика функции y=cosxна промежутке [- 
; 
], а также демонстрируется его иллюстрация.
IV. Подведение итогов. Выполнение проверочной работы
(с целью проверки уровня компетенций, достигнутых при изучении темы, готовности к зачётной работы):
- Найти первообразную для функции f(x)= 3x2- 2x + 4, если известно, что график первообразной проходит через точку М(2; 23).
- Вычислить интегралы: а)
dx; б) 
; 
dx; - Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: a) y = 25-
y =0; б) y =
, y=x, x =2.
V. Домашнее задание ‹приложение 4›.
Литература.
- Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2003.
- Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов средних школ – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1993
- Дорофеев Г.В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике… 11 класс – 5-е изд. –М.: Дрофа, 2002
- Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1993