Одним из фундаментальных понятий школьной математики, составляющей основу ее практических приложений, является понятие функции. Идея функциональной зависимости – основополагающая для понимания и изучения процессов и явлений. Учащиеся 9 – 11 классов овладевают общей идеей функциональной зависимости, рассматривают свойства функций при различных способах их задания, строят графики функций.
В текстах экзамена по математике в форме ЕГЭ все чаще стали встречаться задания на свойства функций. Так при нахождении области значений числовой функции можно использовать и понятие “параметра”.
1) y = 3 + 2x – x2 .
D(y) = R. Используя знания квадратичной функции, находим координаты вершины параболы: xв = 1, yв = 4. E(y) = ( -оо ; 4].
Рассмотрим нахождение E(y) через параметр. Переформулируем задачу: считая y параметром, находим все значения параметра y, для каждого из которых уравнение y = 3 + 2x – x2 имеет, хотя бы одно решение:
x2 – 2x + (y – 3) = 0;
D = 1 – (y – 3) = 4 – y; D > 0 ;
4 – y > 0 ; y 
4.
Значит, E(y) = ( - оо ; 4 ].
2) y = 
.
D(y) = (- оо ; 3 )
(3 ; оо) . Так как x 
3, то y(x – 3) = x2 – x – 5;
x2 – (y + 1)x + (3y – 5) = 0;
D = (y + 1)2 – 4(3y – 5) = y2 – 10y + 21 = (y – 3)(y – 7);
D > 0 ; (y – 3)(y – 7) > 0 ; y 
( - оо ; 3 ][ 7 ; оо ).
Значит, E(y) = (- оо ; 3][ 7 ; оо).
3) y = 
.
D(y) = R. y(x2 + 3) = x2 – 2x + 1 ;
(y – 1)x2 + 2x + (3y – 1) = 0 ;
D = 1 – (y – 1)(3y – 1) = -3y2 + 4y = y(4 – 3y) ;
D > 0 ; y(4 - 3y) > 0 ; y [ 0 ; 1
].
Значит, E(y) = [ 0 ; 1 ].
4) y = 
.
D(y) = R, так как x2 – 2x + 3 > 0 при любом x, но тогда и y > 0 при любом x.
y(x2 –2x + 3) = 1 ;
yx2 – 2yx + (3y – 1) = 0 ;
D= y2 – y(3y – 1) = -2y2 + y = y(1 – 2y) ;
D 
0 ; y(1 - 2y) 0 ; учитывая,
что y > 0, получим y (0 ; 
].
Значит, E(y) = (0 ; ].
5) y = 
.
D(y) = (- оо ; -4 )(-4 ; 4 )(4 ; оо ) , при этом y 0 .
Выразим 
: y( - 4) = 1 ; y = 1 + 4y ; = 
; так
как >
0, тогда >
0 ; y (- оо ;
-
]( 0 ; оо).
Значит, E(y) = ( - оо ; - ]( 0
; оо ).
6) y = x +
.
D(y) = (- оо ; 0 )(0 ; оо). Так как x 0, то yx = x2 + 1 ;
x2 – yx + 1 = 0 ;
D= y2 – 4 = (y – 2)(y + 2) ; D 0 ; (y – 2)(y + 2) > 0 ;
y ( - оо ; -2 ][ 2 ; ? ). E(y) = ( -
оо ; -2 ][ 2 ; оо).
Проанализируем: 1) при x<0, y<0, y ( - оо ; -2 ];
2) при x>0, y>0, y[ 2 ; оо).
7) Решим уравнение (Т.А.Корешкова, В.В.Мирошник, Н.В.Шевелева. Математика. Тренировочные тесты ЕГЭ 2004-2005. М., Изд. ЭКСМО, 2005):
+ 
= 4.
Данное уравнение определено при x>0, y>0.
1. Рассмотрим функцию z = x + 
. D(z) = (- оо ; 0 )(0 ; оо). Найдем
множество значений функции z: zx = x2 + 4 ;
x2 – zx + 4 = 0 ;
D= z2 – 16 = (z – 4)(z + 4) ; D 0 ; (z – 4)(z + 4) 0 ;
z (- оо ; -4 ][ 4 ; оо).
Тогда при x>0, x + > 4, значит > 2 .
2. Рассмотрим функцию k = 4y + 
. D(k) = (- оо ; 0 )(0 ; оо).
Найдем множество значений функции k: ky = 4y2 + 1 ;
4y2 – ky + 1 = 0 ;
D= k2 – 16 = (k – 4)(k + 4) ; D 0 ; (k – 4)(k + 4) > 0 ;
k (
- оо ; -4 ][ 4 ;
оо).
Тогда при y>0, 4y + > 4, значит > 2.
3. Тогда сумма +
> 4, значит исходное неравенство
равносильно системе уравнений:
= 2 ; = 2 .
Решив данную систему, получим ответ: (2 ; 0,5 ).
8) Задания для самостоятельного решения:
- y =
. E(y) = (-
оо ; -4,5 ] - y =
. E(y) = [ - - y =
[-2 ;
оо).
; 1 ].
E(y) = ( 0 ; 1 ].
Приложение (вариант автора)