Одним из фундаментальных понятий школьной математики, составляющей основу ее практических приложений, является понятие функции. Идея функциональной зависимости - основополагающая для понимания и изучения процессов и явлений. Учащиеся 9 - 11 классов овладевают общей идеей функциональной зависимости, рассматривают свойства функций при различных способах их задания, строят графики функций.

В текстах экзамена по математике в форме ЕГЭ все чаще стали встречаться задания на свойства функций. Так при нахождении области значений числовой функции можно использовать и понятие "параметра".

1) y = 3 + 2x - x² .

D(y) = R. Используя знания квадратичной функции, находим координаты вершины параболы: x_в = 1, y_в = 4. E(y) = ( -оо ; 4].

Рассмотрим нахождение E(y) через параметр. Переформулируем задачу: считая y параметром, находим все значения параметра y, для каждого из которых уравнение y = 3 + 2x - x² имеет, хотя бы одно решение:

x² - 2x + (y - 3) = 0;

D = 1 - (y - 3) = 4 - y; D > 0 ;

4 - y > 0 ; y 4.

Значит, E(y) = ( - оо ; 4 ].

2) y = .

D(y) = (- оо ; 3 )(3 ; оо) . Так как x 3, то y(x - 3) = x² - x - 5;

x² - (y + 1)x + (3y - 5) = 0;

D = (y + 1)² - 4(3y - 5) = y² - 10y + 21 = (y - 3)(y - 7);

D > 0 ; (y - 3)(y - 7) > 0 ; y ( - оо ; 3 ][ 7 ; оо ).

Значит, E(y) = (- оо ; 3][ 7 ; оо).

3) y = .

D(y) = R. y(x² + 3) = x² - 2x + 1 ;

(y - 1)x² + 2x + (3y - 1) = 0 ;

D = 1 - (y - 1)(3y - 1) = -3y² + 4y = y(4 - 3y) ;

D > 0 ; y(4 - 3y) > 0 ; y [ 0 ; 1 ].

Значит, E(y) = [ 0 ; 1 ].

4) y = .

D(y) = R, так как x² - 2x + 3 > 0 при любом x, но тогда и y > 0 при любом x.

y(x² -2x + 3) = 1 ;

yx² - 2yx + (3y - 1) = 0 ;

D= y² - y(3y - 1) = -2y² + y = y(1 - 2y) ;

D 0 ; y(1 - 2y) 0 ; учитывая, что y > 0, получим y (0 ; ].

Значит, E(y) = (0 ; ].

5) y = .

D(y) = (- оо ; -4 )(-4 ; 4 )(4 ; оо ) , при этом y 0 .

Выразим : y( - 4) = 1 ; y = 1 + 4y ; = ; так

как > 0, тогда > 0 ; y (- оо ; - ]( 0 ; оо).

Значит, E(y) = ( - оо ; - ]( 0 ; оо ).

6) y = x + .

D(y) = (- оо ; 0 )(0 ; оо). Так как x 0, то yx = x² + 1 ;

x² - yx + 1 = 0 ;

D= y² - 4 = (y - 2)(y + 2) ; D 0 ; (y - 2)(y + 2) > 0 ;

y ( - оо ; -2 ][ 2 ; ? ). E(y) = ( - оо ; -2 ][ 2 ; оо).

Проанализируем: 1) при x<0, y<0, y ( - оо ; -2 ];

2) при x>0, y>0, y[ 2 ; оо).

7) Решим уравнение (Т.А.Корешкова, В.В.Мирошник, Н.В.Шевелева. Математика. Тренировочные тесты ЕГЭ 2004-2005. М., Изд. ЭКСМО, 2005):

+ = 4.

Данное уравнение определено при x>0, y>0.

1. Рассмотрим функцию z = x + . D(z) = (- оо ; 0 )(0 ; оо). Найдем множество значений функции z: zx = x² + 4 ;

x² - zx + 4 = 0 ;

D= z² - 16 = (z - 4)(z + 4) ; D 0 ; (z - 4)(z + 4) 0 ;

z (- оо ; -4 ][ 4 ; оо).

Тогда при x>0, x + > 4, значит > 2 .

2. Рассмотрим функцию k = 4y + . D(k) = (- оо ; 0 )(0 ; оо).

Найдем множество значений функции k: ky = 4y² + 1 ;

4y² - ky + 1 = 0 ;

D= k² - 16 = (k - 4)(k + 4) ; D 0 ; (k - 4)(k + 4) > 0 ;

k ( - оо ; -4 ][ 4 ; оо).

Тогда при y>0, 4y + > 4, значит > 2.

3. Тогда сумма + > 4, значит исходное неравенство равносильно системе уравнений:

= 2 ; = 2 .

Решив данную систему, получим ответ: (2 ; 0,5 ).

8) Задания для самостоятельного решения:

• y = . E(y) = (- оо ; -4,5 ][-2 ; оо).
• y = . E(y) = [ - ; 1 ].
• y =

E(y) = ( 0 ; 1 ].

Приложение (вариант автора)

Приложения

• pril1.doc (123.90 КБ)